连续随机变量

数学· 9709 S1 第6章，S2 第3章· 12 分钟阅读

1. 概率密度函数（PDF）的核心性质★★☆☆☆⏱ 15 min

与离散随机变量不同，连续随机变量无法用单点概率表示，因为其所有可能取值的总数是不可数无穷的。概率密度函数f(x)对于其定义域内的所有x值都必须满足两个不可妥协的条件。

f(x) \geq 0 \text{ for all } x, \quad \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1

📘 定义

有效概率密度函数

在整个定义域上非负，且随机变量全取值范围内曲线下的总面积恰好等于1的函数

📐 例题

验证定义在0 ≤ x ≤ 2上、其余区域取值为0的函数f(x) = k(4 - x²)是有效PDF，并求常数k的值

1
首先确认f(x)在0 ≤ x ≤ 2上非负：4 - x²的取值范围是4到0，因此定义域内所有x都满足f(x) ≥ 0
2
将定义域上的总定积分设为1，求解k：
$\int_{0}^{2} k(4 - x^2) dx = 1$
3
计算积分：
$k \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = k \left( 8 - \frac{8}{3} \right) = \frac{16k}{3} = 1$
4
整理得到k：
$k = \frac{3}{16}$

✓ 快速检测

测试你对PDF有效性规则的理解：

以下哪个函数在1 ≤ x ≤ 3区间上满足有效PDF的基本要求？
- f(x) = -0.5x + 2
- f(x) = 0.5x - 1
- f(x) = 2x - 1
- f(x) = x²
显示答案
f(x) = -0.5x + 2 —
该函数在1 ≤ x ≤ 3上非负，且总积分等于1

2. 累积分布函数（CDF）★★★☆☆⏱ 18 min

累积分布函数F(x)给出随机变量X取值小于等于x的概率，计算方式为从定义域下界到x的PDF定积分。对于分段PDF，你需要为每个区间推导对应的分段CDF。

F(x) = P(X \leq x) = \int_{a}^{x} f(t) dt, \quad \text{for domain } a \leq X \leq b

🔬 推导

目标:

从PDF f(x) = 3/16 (4 - x²)（0 ≤ x ≤ 2）推导CDF

1
将PDF从0积分到x：
$F(x) = \int_{0}^{x} \frac{3}{16}(4 - t^2) dt$
2
计算原函数：
$F(x) = \frac{3}{16} \left[ 4t - \frac{t^3}{3} \right]_0^x = \frac{12x - x^3}{16}$
3
补充边界条件：x < 0时F(x) = 0，x > 2时F(x) = 1

结果:

完整的CDF是一个在定义域内从0单调递增到1的分段函数

📐 例题

已知CDF F(x) = \frac{x^2}{9} 定义在0 ≤ x ≤ 3，求P(1 ≤ X ≤ 2)

1
回忆对于连续变量，P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a)
2
代入b=2和a=1：
$P(1 \leq X \leq 2) = F(2) - F(1) = \frac{4}{9} - \frac{1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

3. 连续随机变量的期望与方差★★★☆☆⏱ 15 min

连续随机变量的期望E[X]（均值）是将x乘以PDF在全定义域上积分得到的。方差的计算式为E[X²] - (E[X])²，和离散变量使用的恒等式完全相同。

E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx, \quad E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f(x) dx

📐 例题

计算定义在0 ≤ x ≤ 2上的PDF f(x) = 3/16 (4 - x²)的E[X]和Var(X)

1
首先计算E[X]：
$E[X] = \int_{0}^{2} x \cdot \frac{3}{16}(4 - x^2) dx = \frac{3}{16} \int_{0}^{2} 4x - x^3 dx$
2
计算积分：
$E[X] = \frac{3}{16} \left[ 2x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_0^2 = \frac{3}{16} (8 - 4) = \frac{12}{16} = 0.75$
3
计算用于求方差的E[X²]：
$E[X^2] = \int_{0}^{2} x^2 \cdot \frac{3}{16}(4 - x^2) dx = \frac{3}{16} \int_{0}^{2} 4x^2 - x^4 dx$
4
化简得到方差：
$E[X^2] = \frac{3}{16} \left[ \frac{4x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right]_0^2 = \frac{3}{16} \left( \frac{32}{3} - \frac{32}{5} \right) = 0.8$
5
应用方差恒等式：
$Var(X) = 0.8 - (0.75)^2 = 0.8 - 0.5625 = 0.2375$

4. 中位数、众数和百分位数★★★★☆⏱ 12 min

连续分布的中位数m是满足F(m) = 0.5的取值，即PDF曲线下总面积的一半位于该点左侧。众数是f(x)取最大值时的x值，对于可导函数可以通过求导得到。

📐 例题

求CDF为F(x) = (12x - x³)/16（0 ≤ x ≤ 2）的分布的中位数

1
令F(m) = 0.5：
$\frac{12m - m^3}{16} = 0.5$
2
整理得到三次方程：
$m^3 - 12m + 8 = 0$
3
按照CIE考试要求对三次方程进行数值求解，得到m ≈ 0.694，该值位于定义域0 ≤ m ≤ 2内

5. 常见陷阱

错误做法:

将连续变量的P(X = a)视为非零值

原因:

单点在PDF曲线下的宽度为0，因此其概率始终为0

正确做法:

始终在区间[a, b]上计算概率，不要针对单个点计算

错误做法:

推导CDF时忘记添加边界条件

原因:

CIE阅卷官会因缺失x < 下界时F(x)=0和x > 上界时F(x)=1的条件扣1分

正确做法:

在你的解答中明确写出完整CDF的所有分段区间

错误做法:

计算方差时只算E[X²]，没有减去(E[X])²

原因:

这样得到的是二阶原点矩，不是方差，结果完全错误

正确做法:

在开始计算前先把方差恒等式写在你的解题步骤最上方

错误做法:

通过定位PDF的最大值来求中位数

原因:

这样得到的是众数，不是基于累积概率的中位数

正确做法:

令CDF等于0.5，求解得到中位数

错误做法:

对分段函数在整个实数域上积分PDF

原因:

这会浪费时间，并且对于仅在小区间内非零的函数容易出现计算错误

正确做法:

仅在PDF非零的定义域区间上积分

6. 速查表

统计量	连续随机变量X的公式
PDF有效性	$f (x) \geq 0$ , $\int_{d o m} f (x) d x = 1$
CDF	$F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$
期望 $E [X]$	$\int_{d o m} x f (x) d x$
方差 $V a r (X)$	$E [X^{2}] - (E [X])^{2}$
中位数 $m$	$F (m) = 0.5$
众数	使 $f (x)$ 取最大值的x值

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · 72
PDF有效性验证与期望计算
2022 · 73
从分段PDF推导CDF
2021 · 71
求中位数和四分位距
2020 · 62
涉及连续变量的组合概率问题

下一步

掌握连续随机变量是你后续学习CIE 9709考试中所有连续分布主题的关键基础，包括正态分布、均匀分布和连续抽样概念。你将经常结合这些PDF和CDF核心技能，以及在纯数学中学到的积分技巧，解答几乎每套统计试卷都会出现的8-12分的扩展问答题。这类题目得分率很高，即使你在求解初始常数k时出错，只要后续步骤符合规则，仍然可以拿到部分分数。接下来完成针对性的习题集巩固你的理解，然后继续学习相关的后续子主题，搭建完整的统计学科知识体系。