# 连续随机变量

> 数学 · CIE A-Level 9709
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-continuous-random-variables/

本模块涵盖连续随机变量的核心性质、概率密度函数、累积分布函数，以及CIE 9709考试问题中关键统计量的计算方法。

**先修:** [基础定积分计算](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-p3-integration-techniques/); [离散随机变量基础概念](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-discrete-random-variables/)

## 学习目标

- 定义连续随机变量的概率密度函数（PDF）并验证其有效性
- 从给定PDF计算累积分布函数（CDF），反之亦然
- 计算连续分布的期望、方差、中位数、众数和百分位数
- 解决符合CIE考试要求的涉及连续随机变量的实际概率问题

## 真题考频

据 OwlsPrep 对官方 CIE 9709 S2 真题的聚合（2016–2025）: **连续随机变量** 近 10 年出现 **131 次**——占 S2 全部真题的 **30.6%**（428 题中 131 题）.

最常考形式: 样本均值分布、中心极限定理 (81), 总体均值置信区间 (43), 由 pdf 求均值与方差 (28).

## 概率密度函数（PDF）的核心性质

与离散随机变量不同，连续随机变量无法用单点概率表示，因为其所有可能取值的总数是不可数无穷的。概率密度函数f(x)对于其定义域内的所有x值都必须满足两个不可妥协的条件。

$$f(x) \geq 0 \text{ for all } x, \quad \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$$

**有效概率密度函数** — 在整个定义域上非负，且随机变量全取值范围内曲线下的总面积恰好等于1的函数

**例题:** 验证定义在0 ≤ x ≤ 2上、其余区域取值为0的函数f(x) = k(4 - x²)是有效PDF，并求常数k的值

1. 首先确认f(x)在0 ≤ x ≤ 2上非负：4 - x²的取值范围是4到0，因此定义域内所有x都满足f(x) ≥ 0
2. 将定义域上的总定积分设为1，求解k：

   $$\int_{0}^{2} k(4 - x^2) dx = 1$$
3. 计算积分：

   $$k \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = k \left( 8 - \frac{8}{3} \right) = \frac{16k}{3} = 1$$
4. 整理得到k：

   $$k = \frac{3}{16}$$

**概念自测**

测试你对PDF有效性规则的理解：

1. 以下哪个函数在1 ≤ x ≤ 3区间上满足有效PDF的基本要求？

   - f(x) = -0.5x + 2
   - f(x) = 0.5x - 1
   - f(x) = 2x - 1
   - f(x) = x²

   *解析:* 该函数在1 ≤ x ≤ 3上非负，且总积分等于1

## 累积分布函数（CDF）

累积分布函数F(x)给出随机变量X取值小于等于x的概率，计算方式为从定义域下界到x的PDF定积分。对于分段PDF，你需要为每个区间推导对应的分段CDF。

$$F(x) = P(X \leq x) = \int_{a}^{x} f(t) dt, \quad \text{for domain } a \leq X \leq b$$

**推导:** 从PDF f(x) = 3/16 (4 - x²)（0 ≤ x ≤ 2）推导CDF

1. 将PDF从0积分到x：

   $$F(x) = \int_{0}^{x} \frac{3}{16}(4 - t^2) dt$$
2. 计算原函数：

   $$F(x) = \frac{3}{16} \left[ 4t - \frac{t^3}{3} \right]_0^x = \frac{12x - x^3}{16}$$
3. 补充边界条件：x < 0时F(x) = 0，x > 2时F(x) = 1

*结论:* 完整的CDF是一个在定义域内从0单调递增到1的分段函数

**例题:** 已知CDF F(x) = \frac{x^2}{9} 定义在0 ≤ x ≤ 3，求P(1 ≤ X ≤ 2)

1. 回忆对于连续变量，P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a)
2. 代入b=2和a=1：

   $$P(1 \leq X \leq 2) = F(2) - F(1) = \frac{4}{9} - \frac{1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$

**考试命令词**

CIE考试的CDF题目使用特定的指令术语：

- **Show that the CDF is...** — 你必须完整展示每一步积分和边界条件定义，才能拿到全部分数

- **Hence find P(X > 1.5)** — 使用已推导的CDF计算，不要从头重新积分PDF

## 连续随机变量的期望与方差

连续随机变量的期望E[X]（均值）是将x乘以PDF在全定义域上积分得到的。方差的计算式为E[X²] - (E[X])²，和离散变量使用的恒等式完全相同。

$$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx, \quad E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f(x) dx$$

**例题:** 计算定义在0 ≤ x ≤ 2上的PDF f(x) = 3/16 (4 - x²)的E[X]和Var(X)

1. 首先计算E[X]：

   $$E[X] = \int_{0}^{2} x \cdot \frac{3}{16}(4 - x^2) dx = \frac{3}{16} \int_{0}^{2} 4x - x^3 dx$$
2. 计算积分：

   $$E[X] = \frac{3}{16} \left[ 2x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_0^2 = \frac{3}{16} (8 - 4) = \frac{12}{16} = 0.75$$
3. 计算用于求方差的E[X²]：

   $$E[X^2] = \int_{0}^{2} x^2 \cdot \frac{3}{16}(4 - x^2) dx = \frac{3}{16} \int_{0}^{2} 4x^2 - x^4 dx$$
4. 化简得到方差：

   $$E[X^2] = \frac{3}{16} \left[ \frac{4x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right]_0^2 = \frac{3}{16} \left( \frac{32}{3} - \frac{32}{5} \right) = 0.8$$
5. 应用方差恒等式：

   $$Var(X) = 0.8 - (0.75)^2 = 0.8 - 0.5625 = 0.2375$$

> **tip**
>
> 始终使用Var(X) = E[X²] - (E[X])²恒等式，而不是积分(x - μ)² f(x) dx，这会在考试中为你节省2-3分钟时间

## 中位数、众数和百分位数

连续分布的中位数m是满足F(m) = 0.5的取值，即PDF曲线下总面积的一半位于该点左侧。众数是f(x)取最大值时的x值，对于可导函数可以通过求导得到。

**例题:** 求CDF为F(x) = (12x - x³)/16（0 ≤ x ≤ 2）的分布的中位数

1. 令F(m) = 0.5：

   $$\frac{12m - m^3}{16} = 0.5$$
2. 整理得到三次方程：

   $$m^3 - 12m + 8 = 0$$
3. 按照CIE考试要求对三次方程进行数值求解，得到m ≈ 0.694，该值位于定义域0 ≤ m ≤ 2内

> **mnemonic**
>
> MMM：中位数来自令CDF等于0.5，众数来自PDF的最大值，均值来自x f(x)的积分

## 常见错误

- **错误做法:** 将连续变量的P(X = a)视为非零值
  - 原因: 单点在PDF曲线下的宽度为0，因此其概率始终为0
  - 正确做法: 始终在区间[a, b]上计算概率，不要针对单个点计算
- **错误做法:** 推导CDF时忘记添加边界条件
  - 原因: CIE阅卷官会因缺失x < 下界时F(x)=0和x > 上界时F(x)=1的条件扣1分
  - 正确做法: 在你的解答中明确写出完整CDF的所有分段区间
- **错误做法:** 计算方差时只算E[X²]，没有减去(E[X])²
  - 原因: 这样得到的是二阶原点矩，不是方差，结果完全错误
  - 正确做法: 在开始计算前先把方差恒等式写在你的解题步骤最上方
- **错误做法:** 通过定位PDF的最大值来求中位数
  - 原因: 这样得到的是众数，不是基于累积概率的中位数
  - 正确做法: 令CDF等于0.5，求解得到中位数
- **错误做法:** 对分段函数在整个实数域上积分PDF
  - 原因: 这会浪费时间，并且对于仅在小区间内非零的函数容易出现计算错误
  - 正确做法: 仅在PDF非零的定义域区间上积分

## 速查表

| 统计量 | 连续随机变量X的公式 |
| --- | --- |
| PDF有效性 | $f(x) \geq 0$, $\int_{dom} f(x) dx = 1$ |
| CDF | $F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$ |
| 期望 $E[X]$ | $\int_{dom} x f(x) dx$ |
| 方差 $Var(X)$ | $E[X^2] - (E[X])^2$ |
| 中位数 $m$ | $F(m) = 0.5$ |
| 众数 | 使$f(x)$取最大值的x值 |

## 下一步

掌握连续随机变量是你后续学习CIE 9709考试中所有连续分布主题的关键基础，包括正态分布、均匀分布和连续抽样概念。你将经常结合这些PDF和CDF核心技能，以及在纯数学中学到的积分技巧，解答几乎每套统计试卷都会出现的8-12分的扩展问答题。这类题目得分率很高，即使你在求解初始常数k时出错，只要后续步骤符合规则，仍然可以拿到部分分数。接下来完成针对性的习题集巩固你的理解，然后继续学习相关的后续子主题，搭建完整的统计学科知识体系。

- [正态分布基础](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-normal-distribution/)
- [离散随机变量复习](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-discrete-random-variables/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-continuous-random-variables/