牛顿运动定律

CIE A-Level 数学· 力学1: 3.2 牛顿运动定律· 15 分钟阅读

1. 牛顿三大运动定律★☆☆☆☆⏱ 3 min

📘 定义

牛顿三大运动定律

第一定律：除非受到合外力作用，否则物体保持静止或匀速直线运动状态。2. 第二定律：质量不变时，合力满足 $F = m a$ 。3. 第三定律：如果A对B施加一个力，那么B对A也施加一个大小相等、方向相反、同类型的力。

例:

放在桌面上的书：重力和支持力不是一对第三定律的作用力与反作用力。第三定律的相互作用力对是地球拉书，和书拉地球。

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测试你的理解：

网球被球拍击打，下列哪一对是牛顿第三定律的相互作用力？
- 球拍对球的力，球对球拍的力
- 球的重力，空气对球的阻力
- 球拍对球的力，球的重力

2. 一维运动中的牛顿第二定律★★☆☆☆⏱ 5 min

对于直线运动，将所有力沿运动方向分解，取加速度方向为正方向，然后应用 $F_{n e t} = ma$ 求解未知加速度或力。

📐 例题

一个5kg的箱子被水平绳子拉动，绳子张力为20N，沿光滑水平面运动，求箱子的加速度。

1
光滑表面没有摩擦力，因此水平方向只有张力：
2
$F_{net} = 20 \, \text{N}$
3
应用牛顿第二定律：
4
$20 = 5a \implies a = 4 \, \text{m s}^{-2}$

📐 例题

一辆质量1000kg的汽车以20 m s⁻¹的速度行驶，在50m距离内刹车停下，求恒定的制动力大小。

1
首先用运动学公式 $v^{2} = u^{2} + 2 a s$ 求加速度：
2
$0^2 = 20^2 + 2a(50) \implies a = -4 \, \text{m s}^{-2}$
3
负加速度表示加速度与运动方向相反，合力就是制动力 $F$ ：
4
$-F = ma = 1000(-4) \implies F = 4000 \, \text{N}$

Exam tip:

写力的方程前一定要先画出标注清晰的受力图，始终坚持你的符号约定。

3. 二维运动中的牛顿第二定律★★★☆☆⏱ 4 min

对于斜面上的运动，将力分解到两个垂直方向：一个平行于加速度（沿斜面），另一个垂直于斜面，该方向加速度为零。

📘 定义

斜面上重力的分量

与水平方向夹角 $θ$

重力 $m g$ 分解为两个分量：平行斜面分量： $m g sin θ$ ，垂直斜面分量： $m g cos θ$ 。

📐 例题

一个质量4kg的质点沿粗糙的25°斜面下滑，动摩擦因数为0.2，求加速度。

1
沿垂直斜面方向分解（加速度 = 0，因此合力 = 0）：
2
$R - 4g\cos 25^\circ = 0 \implies R \approx 35.5 \, \text{N}$
3
摩擦力 $F = μ R = 0.2 \times 35.5 \approx 7.1 N$ ，方向沿斜面向上：
4
沿平行斜面方向分解，取向下为正方向：
5
$4g\sin 25^\circ - F = 4a$
6
$16.6 - 7.1 = 4a \implies a \approx 2.4 \, \text{m s}^{-2}$

Exam tip:

检查你的分量：如果 $θ = 0^{\circ}$ （水平面），平行分量应该为零。如果你得到的平行分量是 $m g$ ，说明你把sin和cos搞反了。

4. 常见考题应用：滑轮连接体★★★★☆⏱ 5 min

对于光滑滑轮上的轻质不可伸长绳子，绳子两端张力相等，两个质点的加速度大小相等。对每个质点分别列力的方程，然后消去张力即可求解。

📐 例题

质量分别为2kg和3kg的两个质点通过轻质绳子连接在光滑滑轮两侧，求系统加速度和绳子张力。

1
设 $a$ = 加速度， $T$ = 张力。3kg质点向下加速，2kg质点向上加速。
2
对3kg质点应用牛顿第二定律（向下为正）：
3
$3g - T = 3a$
4
对2kg质点应用牛顿第二定律（向上为正）：
5
$T - 2g = 2a$
6
将两个方程相加消去T：
7
$g = 5a \implies a = 1.96 \, \text{m s}^{-2}$
8
代回方程求T：
9
$T = 2g + 2a = 23.52 \, \text{N}$

Exam tip:

将连接体各自的力方程相加总能消去张力，为你在考试中节省时间。

5. 常见陷阱

错误做法:

将作用力与反作用力当成作用在同一物体上并抵消它们

原因:

牛顿第三定律的相互作用力对作用在不同物体上，因此对单个物体来说它们永远不会抵消

正确做法:

计算合力时，只纳入作用在你分析的物体上的力

错误做法:

斜面上重力分量的正弦和余弦搞反

原因:

当夹角是相对于水平面测量时，平行分量是 $m g sin θ$ ，不是 $m g cos θ$

正确做法:

用θ=0°（水平面）验证：如果你的平行分量是零，就是对的，否则交换两个函数即可

错误做法:

力方程中用质量代替重力（忘记乘g）

原因:

重力是力， $F = ma$ 要求力的单位是牛顿，质量单位是千克

正确做法:

计算合力时，始终把重力写成 $m g$ ，不要只写 $m$

错误做法:

对向下加速的物体列方程 $T - m g = ma$

原因:

合力必须指向加速度方向

正确做法:

对向下加速的物体列方程 $m g - T = ma$ ，这样合力方向才正确

错误做法:

题目未说明时使用 $g = 10 m s^{- 2}$

原因:

CIE考试标准要求 $g = 9.8 m s^{- 2}$ ，用错g会丢分

正确做法:

除非题目明确要求用10，否则始终用g=9.8

6. 速查表

概念	核心规律/公式
牛顿第一定律	合力为零 → 速度恒定
牛顿第二定律	$F_{n e t} = ma$ （质量恒定）
牛顿第三定律	大小相等方向相反，作用在不同物体上
斜面上的重力（θ相对于水平面）	平行分量: $m g sin θ$ , 垂直分量: $m g cos θ$
滑轮连接体	将各物体方程相加消去张力
CIE要求的g值	$g = 9.8 m s^{- 2}$

7. 常见问题

在CIE考试中我应该使用哪个数值的 $g$ ？

除非题目明确指定使用 $10 m s^{- 2}$ ，否则CIE要求使用 $g = 9.8 m s^{- 2}$ 。

我需要逐字背诵牛顿定律吗？

考试很少要求你逐字表述定律，但你必须正确理解才能解题，核心表述值得记忆。

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · M1
斜面上的连接体
2023 · M1
加速电梯中的物体
2021 · M1
固定滑轮上的两个物块

深入阅读

syllabusCIE 9709 官方大纲

下一步

牛顿运动定律是所有A-Level力学的基础，掌握本专题对所有后续力学内容至关重要。核心原理 $F_{n e t} = ma$ 会用于你解的每一道动力学题，从摩擦力到圆周运动再到功和能。学完本专题后，你可以继续学习牛顿定律的更复杂应用，包括摩擦力问题、更复杂的连接体系统和圆周运动。多练习正确画受力图，就能避免常见错误，在考试中拿到满分。