# 牛顿运动定律

> CIE A-Level 数学 · 9709 A-Level 数学（力学）
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u3-newton-s-laws-of-motion/

本模块讲解牛顿三大运动定律、核心关系$F_{net}=ma$，以及该定律在CIE A-Level力学1中常见的一维和二维动力学问题中的应用。你将学习为加速物体建立正确的力的方程。

**先修:** [力与力的分解](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u3-forces-and-equilibrium/); [一维运动学](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u3-kinematics-1d/)

## 学习目标

- 正确表述并应用牛顿三大运动定律
- 使用 $F=ma$ 解决一维和二维动力学问题
- 对斜面上的加速物体进行力的分解
- 解决涉及连接体和电梯的常见考题

## 真题考频

据 OwlsPrep 对官方 CIE 9709 M1 真题的聚合（2016–2025）: **牛顿运动定律** 近 10 年出现 **96 次**——占 M1 全部真题的 **21.4%**（443 题中 96 题）.

最常考形式: 连接体问题 (66), 牛顿第二定律 (32).

## 牛顿三大运动定律

**牛顿三大运动定律** — 1. 第一定律：除非受到合外力作用，否则物体保持静止或匀速直线运动状态。2. 第二定律：质量不变时，合力满足 $\vec{F} = m\vec{a}$。3. 第三定律：如果A对B施加一个力，那么B对A也施加一个大小相等、方向相反、同类型的力。

*例:* 放在桌面上的书：重力和支持力不是一对第三定律的作用力与反作用力。第三定律的相互作用力对是地球拉书，和书拉地球。

> **warning**
>
> 牛顿第三定律的相互作用力对始终作用在不同物体上，永远不会作用在同一物体上。

**概念自测**

测试你的理解：

1. 网球被球拍击打，下列哪一对是牛顿第三定律的相互作用力？

   - 球拍对球的力，球对球拍的力
   - 球的重力，空气对球的阻力
   - 球拍对球的力，球的重力

   *答案:* 球拍对球的力，球对球拍的力

   *解析:* 正确！这两个力作用在不同物体上，大小相等方向相反，且是同类型的接触力。

## 一维运动中的牛顿第二定律

对于直线运动，将所有力沿运动方向分解，取加速度方向为正方向，然后应用$F_{net}=ma$求解未知加速度或力。

**例题:** 一个5kg的箱子被水平绳子拉动，绳子张力为20N，沿光滑水平面运动，求箱子的加速度。

1. 光滑表面没有摩擦力，因此水平方向只有张力：
2. $$F_{net} = 20 \, \text{N}$$
3. 应用牛顿第二定律：
4. $$20 = 5a \implies a = 4 \, \text{m s}^{-2}$$

**例题:** 一辆质量1000kg的汽车以20 m s⁻¹的速度行驶，在50m距离内刹车停下，求恒定的制动力大小。

1. 首先用运动学公式 $v^2 = u^2 + 2as$ 求加速度：
2. $$0^2 = 20^2 + 2a(50) \implies a = -4 \, \text{m s}^{-2}$$
3. 负加速度表示加速度与运动方向相反，合力就是制动力 $F$：
4. $$-F = ma = 1000(-4) \implies F = 4000 \, \text{N}$$

> **考试提示:** 写力的方程前一定要先画出标注清晰的受力图，始终坚持你的符号约定。

## 二维运动中的牛顿第二定律

对于斜面上的运动，将力分解到两个垂直方向：一个平行于加速度（沿斜面），另一个垂直于斜面，该方向加速度为零。

**斜面上重力的分量** — 重力 $mg$ 分解为两个分量：平行斜面分量：$mg\sin\theta$，垂直斜面分量：$mg\cos\theta$。

*记法:* 与水平方向夹角 $\theta$

**例题:** 一个质量4kg的质点沿粗糙的25°斜面下滑，动摩擦因数为0.2，求加速度。

1. 沿垂直斜面方向分解（加速度 = 0，因此合力 = 0）：
2. $$R - 4g\cos 25^\circ = 0 \implies R \approx 35.5 \, \text{N}$$
3. 摩擦力 $F = \mu R = 0.2 \times 35.5 \approx 7.1 \, \text{N}$，方向沿斜面向上：
4. 沿平行斜面方向分解，取向下为正方向：
5. $$4g\sin 25^\circ - F = 4a$$
6. $$16.6 - 7.1 = 4a \implies a \approx 2.4 \, \text{m s}^{-2}$$

> **考试提示:** 检查你的分量：如果 $\theta = 0^\circ$（水平面），平行分量应该为零。如果你得到的平行分量是$mg$，说明你把sin和cos搞反了。

## 常见考题应用：滑轮连接体

对于光滑滑轮上的轻质不可伸长绳子，绳子两端张力相等，两个质点的加速度大小相等。对每个质点分别列力的方程，然后消去张力即可求解。

**例题:** 质量分别为2kg和3kg的两个质点通过轻质绳子连接在光滑滑轮两侧，求系统加速度和绳子张力。

1. 设 $a$ = 加速度，$T$ = 张力。3kg质点向下加速，2kg质点向上加速。
2. 对3kg质点应用牛顿第二定律（向下为正）：
3. $$3g - T = 3a$$
4. 对2kg质点应用牛顿第二定律（向上为正）：
5. $$T - 2g = 2a$$
6. 将两个方程相加消去T：
7. $$g = 5a \implies a = 1.96 \, \text{m s}^{-2}$$
8. 代回方程求T：
9. $$T = 2g + 2a = 23.52 \, \text{N}$$

> **考试提示:** 将连接体各自的力方程相加总能消去张力，为你在考试中节省时间。

## 常见错误

- **错误做法:** 将作用力与反作用力当成作用在同一物体上并抵消它们
  - 原因: 牛顿第三定律的相互作用力对作用在不同物体上，因此对单个物体来说它们永远不会抵消
  - 正确做法: 计算合力时，只纳入作用在你分析的物体上的力
- **错误做法:** 斜面上重力分量的正弦和余弦搞反
  - 原因: 当夹角是相对于水平面测量时，平行分量是 $mg\sin\theta$，不是 $mg\cos\theta$
  - 正确做法: 用θ=0°（水平面）验证：如果你的平行分量是零，就是对的，否则交换两个函数即可
- **错误做法:** 力方程中用质量代替重力（忘记乘g）
  - 原因: 重力是力，$F=ma$ 要求力的单位是牛顿，质量单位是千克
  - 正确做法: 计算合力时，始终把重力写成 $mg$，不要只写 $m$
- **错误做法:** 对向下加速的物体列方程 $T - mg = ma$
  - 原因: 合力必须指向加速度方向
  - 正确做法: 对向下加速的物体列方程 $mg - T = ma$，这样合力方向才正确
- **错误做法:** 题目未说明时使用 $g = 10 \, \text{m s}^{-2}$
  - 原因: CIE考试标准要求 $g=9.8 \, \text{m s}^{-2}$，用错g会丢分
  - 正确做法: 除非题目明确要求用10，否则始终用g=9.8

## 速查表

| 概念 | 核心规律/公式 |
| --- | --- |
| 牛顿第一定律 | 合力为零 → 速度恒定 |
| 牛顿第二定律 | $F_{net} = ma$（质量恒定） |
| 牛顿第三定律 | 大小相等方向相反，作用在不同物体上 |
| 斜面上的重力（θ相对于水平面） | 平行分量: $mg\sin\theta$, 垂直分量: $mg\cos\theta$ |
| 滑轮连接体 | 将各物体方程相加消去张力 |
| CIE要求的g值 | $g = 9.8 \, \text{m s}^{-2}$ |

## 下一步

牛顿运动定律是所有A-Level力学的基础，掌握本专题对所有后续力学内容至关重要。核心原理 $F_{net}=ma$ 会用于你解的每一道动力学题，从摩擦力到圆周运动再到功和能。学完本专题后，你可以继续学习牛顿定律的更复杂应用，包括摩擦力问题、更复杂的连接体系统和圆周运动。多练习正确画受力图，就能避免常见错误，在考试中拿到满分。

- [能量、功和功率](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u3-energy-work-and-power/)
- [动量](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u3-momentum/)
- [概率与统计](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-overview/)

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