# 动量

> CIE A-Level 数学 · 力学 3
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u3-momentum/

本子主题涵盖线动量、冲量，以及一维碰撞和爆炸问题中的动量守恒定律，是解决CIE A-Level力学碰撞问题的核心概念。

**先修:** [牛顿第二运动定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u2-forces-newtons-laws/); [直线运动运动学](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-kinematics/)

## 学习目标

- 计算运动物体的线动量和冲量
- 将动量守恒定律应用于一维碰撞和爆炸问题
- 区分弹性碰撞和非弹性碰撞
- 解答涉及动量和冲量的标准考试习题

## 真题考频

据 OwlsPrep 对官方 CIE 9709 M1 真题的聚合（2016–2025）: **动量** 近 10 年出现 **34 次**——占 M1 全部真题的 **7.4%**（443 题中 34 题）.

最常考形式: 动量守恒 (34), 线动量 (1).

## 动量与冲量

**线动量** — 方向与物体速度方向相同的矢量

*记法:* $p = mv$

*例:* 质量为2 kg的物体以$3 \text{ m s}^{-1}$运动，动量为$6 \text{ kg m s}^{-1}$

冲量定义为物体动量的变化量，由合外力在一段时间内的作用产生。在力-时间图像中，冲量等于图像下方的面积。

$$I = \Delta p = F_{\text{avg}} \Delta t = m(v - u)$$

**例题:** 一个质量为5 kg的球以$8 \text{ m s}^{-1}$运动，被球棒击中后反向运动，速度变为$12 \text{ m s}^{-1}$。计算球棒对球施加的冲量。

1. 1. 取球最终运动方向为正方向。由于初速度方向与正方向相反，因此初速度为负。
2. 2. 计算初动量和末动量：
3. $$p_{\text{initial}} = mu = 5(-8) = -40 \text{ kg m s}^{-1}, \quad p_{\text{final}} = mv = 5(12) = 60 \text{ kg m s}^{-1}$$
4. 3. 将冲量计算为动量的变化量：
5. $$I = \Delta p = 60 - (-40) = 100 \text{ N s}$$
6. 作用在球上的冲量大小为100 N s，方向与末速度方向相同。

> **考试提示:** 务必先规定正方向，避免动量和冲量计算中出现符号错误。

## 动量守恒定律

**线动量守恒定律** — 对于不受合外力的封闭系统，碰撞前的总动量等于碰撞后的总动量。

该定律适用于一维和二维的所有碰撞和爆炸问题。对于两个碰撞物体，其数学表达式为：

$$m_1u_1 + m_2u_2 = m_1v_1 + m_2v_2$$

**例题:** 一个质量为2 kg的物体以$5 \text{ m s}^{-1}$运动，与静止的3 kg物体碰撞。碰撞后，2 kg物体仍沿原方向以$2 \text{ m s}^{-1}$运动。求碰撞后3 kg物体的速度。

1. 1. 取2 kg物体原运动方向为正方向。3 kg物体的初速度为0。
2. 2. 将数值代入动量守恒公式：
3. $$(2)(5) + (3)(0) = (2)(2) + (3)v_2$$
4. 3. 化简并求解$v_2$：
5. $$10 = 4 + 3v_2 \implies 3v_2 = 6 \implies v_2 = 2 \text{ m s}^{-1}$$
6. 正号说明速度方向与原方向相同，因此末速度为$2 \text{ m s}^{-1}$。

> **tip**
>
> 务必在最终答案中说明速度的方向，阅卷考官要求这一点才能给满分。

## 爆炸相关问题

爆炸是动量守恒定律的常见应用场景。爆炸前物体静止，因此总初动量为零。根据动量守恒定律，总末动量也必须为零，因此：

$$m_1v_1 + m_2v_2 = 0 \implies m_1v_1 = -m_2v_2$$

这说明爆炸碎片以大小相等、方向相反的动量运动。

**例题:** 一个质量为4 kg的静止炮弹爆炸成两块碎片，质量分别为1 kg和3 kg。质量为1 kg的碎片以$12 \text{ m s}^{-1}$运动，求3 kg碎片的速度。

1. 1. 总初动量为零，因此总末动量也为零。取1 kg碎片的运动方向为正方向。
2. 2. 代入动量方程：
3. $$(1)(12) + (3)v = 0$$
4. 3. 求解v：
5. $$3v = -12 \implies v = -4 \text{ m s}^{-1}$$
6. 负号说明3 kg碎片的运动方向与1 kg碎片相反，速度大小为$4 \text{ m s}^{-1}$。

## 弹性碰撞与非弹性碰撞

**弹性碰撞与非弹性碰撞** — 弹性碰撞：动量和动能都守恒。非弹性碰撞：动量守恒，动能不守恒。碰撞后粘在一起的碰撞是完全非弹性碰撞。

CIE考试经常要求通过比较碰撞前后的总动能来判断碰撞是否为弹性碰撞。

**例题:** 对于第2节中的碰撞（2 kg物体以5 m/s撞击静止的3 kg物体，碰撞后2 kg速度为2 m/s，3 kg速度为2 m/s），判断该碰撞是否为弹性碰撞。

1. 1. 计算碰撞前的总动能：
2. $$KE_{\text{initial}} = \frac{1}{2}m_1u_1^2 + \frac{1}{2}m_2u_2^2 = \frac{1}{2}(2)(5)^2 + 0 = 25 \text{ J}$$
3. 2. 计算碰撞后的总动能：
4. $$KE_{\text{final}} = \frac{1}{2}(2)(2)^2 + \frac{1}{2}(3)(2)^2 = 4 + 6 = 10 \text{ J}$$
5. 3. 比较两个值：$KE_{\text{final}} < KE_{\text{initial}}$，因此动能不守恒。
6. 结论：该碰撞为非弹性碰撞。

> **考试提示:** 除非题目明确说明或要求你判断，否则不要默认碰撞是弹性碰撞。

## 常见错误

- **错误做法:** 忘记动量是矢量，不对相反方向使用负号。
  - 原因: 这会导致冲量和末速度计算错误，丢失大量分数。
  - 正确做法: 解答任何动量问题都要在开头明确规定正方向，然后为速度赋予正确符号。
- **错误做法:** 对非弹性碰撞使用动能守恒。
  - 原因: 只有弹性碰撞动能才守恒，因此会得到错误结果。
  - 正确做法: 只有题目说明碰撞是弹性碰撞，或是要求你判断碰撞是否弹性时，才能使用动能守恒。
- **错误做法:** 将冲量计算为末动量而非动量的变化量。
  - 原因: 当速度反向时（如之前的球棒击球例子），这会造成很大的误差。
  - 正确做法: 始终使用$I = mv - mu$，并为初速度$u$赋予正确符号。
- **错误做法:** 物体碰撞前都在运动时，仍错误将初动量设为零。
  - 原因: 只有静止爆炸物体的总初动量才为零，这不适用于一般碰撞问题。
  - 正确做法: 用正确符号计算所有物体碰撞前动量的和，不要默认总初动量为零。
- **错误做法:** 完全非弹性碰撞中物体粘在一起后，忘记将质量相加。
  - 原因: 粘在一起后，总质量是两个物体质量之和，不是单个质量。
  - 正确做法: 两个物体碰撞后粘在一起时，将末动量写为$(m_1 + m_2)v$。

## 速查表

| 概念 | 公式 | 要点 |
| --- | --- | --- |
| 线动量 | $p = mv$ | 矢量：符号表示方向 |
| 冲量 | $I = \Delta p = F_{\text{avg}} \Delta t$ | 等于F-t图下的面积 |
| 动量守恒定律 | $m_1u_1 + m_2u_2 = m_1v_1 + m_2v_2$ | 要求系统不受外力 |
| 弹性碰撞 | p和KE都守恒 | 通过比较碰撞前后KE判断 |
| 静止爆炸 | $m_1v_1 + m_2v_2 = 0$ | 碎片向相反方向运动 |

## 下一步

动量是CIE A-Level高级力学后续主题的核心基础，包括二维碰撞、连接体和相互作用系统的能量分析。掌握动量和冲量的符号约定，能帮助你避免在Paper 3中常见的多主题综合题中犯常见错误。大多数长考试问答题都会结合动量概念和能量分析，因此牢固掌握本主题对考试高分至关重要。

- [概率与统计](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-overview/)
- [数据表示](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-data-representation/)
- [排列与组合](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-permutations-and-combinations/)

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