运动学

CIE A-Level 数学· 45 分钟阅读

1. 运动物理量之间的关系★★☆☆☆⏱ 15 min

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📘 定义

变加速度运动学

当加速度不恒定时，SUVAT公式不成立，因此我们使用微积分来建立作为时间 $t$ 函数的位移、速度和加速度之间的关系。

例:

随时间变化的加速度 $a = 6 t - 2$ 需要使用微积分求解。

速度是位移对时间的一阶导数，加速度是速度对时间的一阶导数（即位移对时间的二阶导数）：

v = \frac{ds}{dt}, \quad a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2}

反向推导时，我们通过积分从加速度得到速度，从速度得到位移，其中 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 是积分常数，可由初始条件求得：

v(t) = \int a(t) dt + C_1, \quad s(t) = \int v(t) dt + C_2

📐 例题

一质点沿直线运动，在时刻 $t$ 的加速度为 $a = 6 t - 2 ms^{- 2}$ 。已知 $t = 0$ 时 $v = 4 ms^{- 1}$ 、 $s = 0 m$ ，求 $s$ 关于 $t$ 的表达式。

1
对加速度积分得速度：
2
$v = \int (6t - 2) dt = 3t^2 - 2t + C$
3
代入 $v = 4, t = 0$ 求常数 $C$ ：
4
$4 = 0 - 0 + C \implies C = 4$
5
对速度积分得位移：
6
$s = \int (3t^2 - 2t + 4) dt = t^3 - t^2 + 4t + D$
7
代入 $s = 0, t = 0$ 求常数 $D$ ：
8
$0 = 0 - 0 + 0 + D \implies D = 0$
9
位移的最终表达式：
10
$s = t^3 - t^2 + 4t$

2. 运动物理量的最大值与最小值★★★☆☆⏱ 20 min

✓ 计算器

我们使用求导法求速度或位移的最值，和处理其他任何函数的方法一样。当该物理量的导数等于零时，存在最值：

位移的最值出现在 $v = \frac{d s}{d t} = 0$
速度的最值出现在 $a = \frac{d v}{d t} = 0$

📐 例题

一质点在 $t \geq 0$ 时的速度为 $v = t^{3} - 6 t^{2} + 9 t ms^{- 1}$ ，求速度取最大值或最小值时的 $t$ 值，并说明分别对应最大值还是最小值。

1
对 $v$ 求导得加速度：
2
$a = \frac{dv}{dt} = 3t^2 - 12t + 9$
3
令 $a = 0$ 求驻点：
4
$3(t^2 - 4t + 3) = 0 \implies (t-1)(t-3) = 0 \implies t = 1, t=3$
5
求 $v$ 的二阶导数用于检验：
6
$\frac{d^2v}{dt^2} = 6t - 12$
7
检验 $t = 1$ 处：
8
$6(1) - 12 = -6 < 0 \implies \text{Maximum at } t=1$
9
检验 $t = 3$ 处：
10
$6(3) - 12 = 6 > 0 \implies \text{Minimum at } t=3$

3. 位移的函数形式加速度★★★★☆⏱ 25 min

✓ 计算器

📘 定义

加速度的链式法则恒等式

a = v \frac{dv}{ds}

当加速度给定位移 $s$ 的函数形式时，我们使用链式法则将加速度重写为可积分的形式。

分离变量后对两边积分可得 $v$ 和 $s$ 的关系：

\int a ds = \int v dv

📐 例题

一质点从 $s = 0$ 处由静止出发，加速度为 $a = 2 s + 1 ms^{- 2}$ 。求 $s = 2 m$ 时的 $v$ ，假设质点沿正方向运动。

1
代入恒等式 $a = v \frac{d v}{d s}$ ：
2
$v \frac{dv}{ds} = 2s + 1$
3
分离变量，结合初始边界积分：
4
$\int_{0}^{v} v dv = \int_{0}^{s} (2s + 1) ds$
5
计算两个积分：
6
$\left[ \frac{1}{2}v^2 \right]_0^v = \left[ s^2 + s \right]_0^s \implies \frac{1}{2}v^2 = s^2 + s$
7
代入 $s = 2$ ：
8
$\frac{1}{2}v^2 = 4 + 2 = 6 \implies v^2 = 12 \implies v = 2\sqrt{3} \text{ ms}^{-1}$

4. 常见陷阱

错误做法:

对变加速度问题使用SUVAT公式

原因:

SUVAT仅适用于恒定加速度，对于非恒定加速度它总会得到错误答案

正确做法:

如果题目没说加速度恒定，永远使用微积分（微分/积分）

错误做法:

忘记计算积分常数

原因:

大多数问题的初始条件非零，省略常数会得到错误的最终表达式

正确做法:

积分后立即使用给定初始条件求出积分常数

错误做法:

当加速度是 $s$ 的函数时使用 $a = \frac{d ^{2} s}{d t ^{2}}$

原因:

这会得到一个二阶微分方程，在A-Level阶段很难求解

正确做法:

当加速度依赖位移时，永远使用链式法则恒等式 $a = v \frac{d v}{d s}$

错误做法:

跳过检验驻点是最大值还是最小值的步骤

原因:

阅卷官要求你证明驻点的性质，跳过检验会丢分

正确做法:

永远使用二阶导数检验确认驻点是最大值还是最小值

5. 速查表

关系	公式
由位移求速度	$v = \frac{d s}{d t}$
由速度求加速度	$a = \frac{d v}{d t} = \frac{d ^{2} s}{d t ^{2}}$
由加速度求速度	$v = \int a d t + C$
由速度求位移	$s = \int v d t + C$
$a$ 作为 $s$ 的函数	$a = v \frac{d v}{d s}$
$v$ 的最值出现在	$a = 0$
$s$ 的最值出现在	$v = 0$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · 33
变加速度问题
2022 · 31
速度最值问题
2021 · 32
位移函数型加速度问题

下一步

运动学是CIE A-Level 9709中所有力学主题的基础，它描述了物体的运动方式，后续你会将其拓展到与力、能量和动量的联系中。掌握基于微积分的运动学几乎是考试中所有应用力学问题的核心，所以请多多练习运动函数的微分和积分，直到你完全掌握。