# 运动学

> CIE A-Level 数学 · 9709 第3单元 力学
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u3-kinematics/

本小节讲解变加速度运动的一维运动学。你将使用微分和积分建立位移、速度和加速度的关系，并解决CIE A-Level力学中的常见应用运动问题。

**先修:** [基础微分与积分](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-basic-calculus/); 恒定加速度运动学（SUVAT）

## 学习目标

- 对变加速度运动，使用微积分建立位移、速度和加速度的关系
- 解决非恒定加速度的一维运动相关问题
- 使用求导法求速度/位移的最大值和最小值
- 应用链式法则恒等式处理位移的函数形式的加速度

## 真题考频

据 OwlsPrep 对官方 CIE 9709 M1 真题的聚合（2016–2025）: **运动学** 近 10 年出现 **221 次**——占 M1 全部真题的 **39.7%**（443 题中 221 题）.

最常考形式: 匀加速运动公式 (136), 变加速运动（微积分） (62), v-t 图 (41), s-t 图 (5), 速度与加速度 (2).

## 运动物理量之间的关系

**变加速度运动学** — 当加速度不恒定时，SUVAT公式不成立，因此我们使用微积分来建立作为时间 $t$ 函数的位移、速度和加速度之间的关系。

*例:* 随时间变化的加速度 $a = 6t - 2$ 需要使用微积分求解。

速度是位移对时间的一阶导数，加速度是速度对时间的一阶导数（即位移对时间的二阶导数）：

$$v = \frac{ds}{dt}, \quad a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2}$$

反向推导时，我们通过积分从加速度得到速度，从速度得到位移，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是积分常数，可由初始条件求得：

$$v(t) = \int a(t) dt + C_1, \quad s(t) = \int v(t) dt + C_2$$

**例题:** 一质点沿直线运动，在时刻 $t$ 的加速度为 $a = 6t - 2 \text{ ms}^{-2}$。已知 $t=0$ 时 $v = 4 \text{ ms}^{-1}$、$s = 0 \text{ m}$，求 $s$ 关于 $t$ 的表达式。

1. 对加速度积分得速度：
2. $$v = \int (6t - 2) dt = 3t^2 - 2t + C$$
3. 代入 $v=4, t=0$ 求常数 $C$：
4. $$4 = 0 - 0 + C \implies C = 4$$
5. 对速度积分得位移：
6. $$s = \int (3t^2 - 2t + 4) dt = t^3 - t^2 + 4t + D$$
7. 代入 $s=0, t=0$ 求常数 $D$：
8. $$0 = 0 - 0 + 0 + D \implies D = 0$$
9. 位移的最终表达式：
10. $$s = t^3 - t^2 + 4t$$

> **tip**
>
> 阅卷官至少会给正确求出积分常数一步一分，所以永远不要跳过这一步。

*计算器:* allowed

## 运动物理量的最大值与最小值

我们使用求导法求速度或位移的最值，和处理其他任何函数的方法一样。当该物理量的导数等于零时，存在最值：

- 位移的最值出现在 $v = \frac{ds}{dt} = 0$
- 速度的最值出现在 $a = \frac{dv}{dt} = 0$

> **info**
>
> 如果题目要求你证明你的答案，你必须使用二阶导数检验确认驻点的性质（最大值/最小值）。

**例题:** 一质点在 $t \geq 0$ 时的速度为 $v = t^3 - 6t^2 + 9t \text{ ms}^{-1}$，求速度取最大值或最小值时的 $t$ 值，并说明分别对应最大值还是最小值。

1. 对 $v$ 求导得加速度：
2. $$a = \frac{dv}{dt} = 3t^2 - 12t + 9$$
3. 令 $a=0$ 求驻点：
4. $$3(t^2 - 4t + 3) = 0 \implies (t-1)(t-3) = 0 \implies t = 1, t=3$$
5. 求 $v$ 的二阶导数用于检验：
6. $$\frac{d^2v}{dt^2} = 6t - 12$$
7. 检验 $t=1$ 处：
8. $$6(1) - 12 = -6 < 0 \implies \text{Maximum at } t=1$$
9. 检验 $t=3$ 处：
10. $$6(3) - 12 = 6 > 0 \implies \text{Minimum at } t=3$$

*计算器:* allowed

## 位移的函数形式加速度

**加速度的链式法则恒等式** — 当加速度给定位移 $s$ 的函数形式时，我们使用链式法则将加速度重写为可积分的形式。

*记法:* a = v \frac{dv}{ds}

分离变量后对两边积分可得 $v$ 和 $s$ 的关系：

$$\int a ds = \int v dv$$

**例题:** 一质点从 $s=0$ 处由静止出发，加速度为 $a = 2s + 1 \text{ ms}^{-2}$。求 $s = 2 \text{ m}$ 时的 $v$，假设质点沿正方向运动。

1. 代入恒等式 $a = v \frac{dv}{ds}$：
2. $$v \frac{dv}{ds} = 2s + 1$$
3. 分离变量，结合初始边界积分：
4. $$\int_{0}^{v} v dv = \int_{0}^{s} (2s + 1) ds$$
5. 计算两个积分：
6. $$\left[ \frac{1}{2}v^2 \right]_0^v = \left[ s^2 + s \right]_0^s \implies \frac{1}{2}v^2 = s^2 + s$$
7. 代入 $s=2$：
8. $$\frac{1}{2}v^2 = 4 + 2 = 6 \implies v^2 = 12 \implies v = 2\sqrt{3} \text{ ms}^{-1}$$

> **exam_tip**
>
> 这个恒等式是本主题最常考的知识点之一，一定要记住它！

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 对变加速度问题使用SUVAT公式
  - 原因: SUVAT仅适用于恒定加速度，对于非恒定加速度它总会得到错误答案
  - 正确做法: 如果题目没说加速度恒定，永远使用微积分（微分/积分）
- **错误做法:** 忘记计算积分常数
  - 原因: 大多数问题的初始条件非零，省略常数会得到错误的最终表达式
  - 正确做法: 积分后立即使用给定初始条件求出积分常数
- **错误做法:** 当加速度是 $s$ 的函数时使用 $a = \frac{d^2s}{dt^2}$
  - 原因: 这会得到一个二阶微分方程，在A-Level阶段很难求解
  - 正确做法: 当加速度依赖位移时，永远使用链式法则恒等式 $a = v \frac{dv}{ds}$
- **错误做法:** 跳过检验驻点是最大值还是最小值的步骤
  - 原因: 阅卷官要求你证明驻点的性质，跳过检验会丢分
  - 正确做法: 永远使用二阶导数检验确认驻点是最大值还是最小值

## 速查表

| 关系 | 公式 |
| --- | --- |
| 由位移求速度 | $v = \frac{ds}{dt}$ |
| 由速度求加速度 | $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2}$ |
| 由加速度求速度 | $v = \int a \; dt + C$ |
| 由速度求位移 | $s = \int v \; dt + C$ |
| $a$ 作为 $s$ 的函数 | $a = v \frac{dv}{ds}$ |
| $v$ 的最值出现在 | $a = 0$ |
| $s$ 的最值出现在 | $v = 0$ |

## 下一步

运动学是CIE A-Level 9709中所有力学主题的基础，它描述了物体的运动方式，后续你会将其拓展到与力、能量和动量的联系中。掌握基于微积分的运动学几乎是考试中所有应用力学问题的核心，所以请多多练习运动函数的微分和积分，直到你完全掌握。

- [动量](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u3-momentum/)
- [力与平衡](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u3-forces-and-equilibrium/)
- [牛顿运动定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u3-newton-s-laws-of-motion/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u3-kinematics/