力与平衡

A-Level 数学· 第3单元：力学1，主题2· 25 分钟阅读

1. 将力分解为分量★★☆☆☆⏱ 8 min

任何与参考轴成一定角度的力都可以分解为两个垂直分量。这简化了合力的计算，是几乎所有二维力问题的第一步。

📘 定义

力分量

$F_{x}, F_{y}$

两个垂直矢量，相加后得到原力，方向与你选择的坐标轴对齐。

例:

一个与水平方向成30°的10 N力，其分量为 $F_{x} = 10 cos 3 0^{\circ}$ 和 $F_{y} = 10 sin 3 0^{\circ}$

📐 例题

将一个平行于倾角为20°斜面的25 N力分解为水平和竖直分量。

1
该力平行于斜面，因此它与水平方向成20°角。
2
计算水平分量：
3
$F_x = 25 \cos 20^\circ \approx 25 \times 0.9397 = 23.5 \text{ N}$
4
计算竖直分量：
5
$F_y = 25 \sin 20^\circ \approx 25 \times 0.3420 = 8.55 \text{ N}$
6
分量为 23.5 N（水平）和 8.55 N（竖直）。

Exam tip:

对于斜面问题，始终选择平行和垂直于斜面的坐标轴。这样你就不需要分解法向反作用力或摩擦力了。

2. 平衡条件★★☆☆☆⏱ 7 min

质点处于平衡状态时，加速度为零。根据牛顿第一定律，这意味着质点在所有方向上的净（合）力都为零。这为二维问题给出了两个简单的方程。

📘 定义

静平衡

质点静止的状态，净力为零，加速度为零。

对于任何二维问题，平衡条件为：x方向所有力的和 = 0，y方向所有力的和 = 0。你只需为每个坐标轴指定正负方向即可。

📐 例题

一个质量为4 kg的质点静止在光滑水平面上平衡。它被水平向左的力 $P$ 拉动，同时受到一个与水平方向成30°向上向右的10 N力。求 $P$ 。

1
画出受力图：重力 $4 g$ N 向下，法向反作用力 $R$ 向上， $P$ 向左，10 N 力向右向上。
2
取向右为水平正方向，应用平衡条件：
3
$\sum F_x = 0 \implies 10\cos 30^\circ - P = 0$
4
求解 $P$ ：
5
$P = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8.66 \text{ N}$

3. 斜面上的平衡★★★☆☆⏱ 10 min

斜面平衡是本主题最常见的考题之一。当你选择平行和垂直于斜面的坐标轴时，只需要分解质点的重力。

📐 例题

一个质量为12 kg的箱子静止在倾角为30°的粗糙斜面上平衡。求作用在箱子上的摩擦力大小。

1
取平行和垂直于斜面的坐标轴。将重力分解为分量：
2
$\text{平行: } 12g \sin 30^\circ, \quad \text{垂直: } 12g \cos 30^\circ$
3
摩擦力沿斜面向上，阻碍箱子下滑。对平行方向的力应用平衡条件：
4
$F - 12g \sin 30^\circ = 0$
5
代入 $g = 9.8 ms^{- 2}$ 和 $sin 3 0^{\circ} = 0.5$ ：
6
$F = 12 \times 9.8 \times 0.5 = 58.8 \text{ N}$

Exam tip:

始终检查摩擦力的方向：它阻碍移除摩擦力后质点会运动的方向。如果质点被拉上斜面，摩擦力就向下。

4. 三力平衡的力三角形法★★★☆☆⏱ 8 min

如果质点在恰好三个力作用下平衡，你可以使用力三角形法代替分解法，对于存在直角的问题，这种方法通常更快。

📘 定义

力三角形法则

如果作用于同一点的三个力平衡，它们可以首尾相连构成闭合三角形的三条边。

📐 例题

一个重15 N的质点用轻绳悬挂在固定点，被一个8 N的水平力维持平衡。求绳中的张力。

1
共有三个力：15 N 向下（重力），8 N 向右（外力），T 向左上（张力）。首尾相连后构成一个直角三角形。
2
对闭合三角形应用勾股定理：
3
$T^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$
4
求解 T：
5
$T = \sqrt{289} = 17 \text{ N}$

5. 常见陷阱

错误做法:

混淆斜面上的重力分量：使用 $m g cos θ$ 作为平行斜面的分量。

原因:

分量混淆会导致问题中所有力的值都错误，整道题得零分。

正确做法:

使用记忆法：正弦配斜面，因此平行分量 = $m g sin θ$ ，垂直分量 = $m g cos θ$ 。

错误做法:

当题目没有明确提及时，忘记在受力图中加上重力。

原因:

除非题目说明质点是轻质或无质量的，否则它一定有重力，必须包含在内。

正确做法:

除非题目说明质点无质量，否则始终在受力图中加上重力 $m g$ 。

错误做法:

写平衡方程时没有给力指定方向。

原因:

相反方向的力必须相减而不是相加，所以你会得到错误的合力。

正确做法:

为每个坐标轴选择一个正方向，给相反方向的力加上负号，再求和为零。

错误做法:

假设摩擦力始终沿斜面向下。

原因:

摩擦力方向取决于无摩擦时质点滑动的方向，这个方向可以沿斜面向上或向下。

正确做法:

检查摩擦力阻碍的运动：如果质点会下滑，摩擦力向上；如果会上滑，摩擦力向下。

6. 速查表

概念	法则/公式
一般平衡	$\sum F_{x} = 0, \sum F_{y} = 0$
斜面上的重力 ( $θ$ )	平行: $m g sin θ$ , 垂直: $m g cos θ$
三力平衡	首尾相连的闭合力三角形
法向反作用力 (光滑斜面)	$R = m g cos θ$
最大静摩擦	$F \leq μ R$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · 12
斜面上的平衡
2023 · 13
连接质点平衡
2024 · 11
三力平衡问题

下一步

力与平衡是CIE A-Level力学所有后续主题的基础。你在这里学到的力分解技巧和平衡法则会用于之后每个力学主题，从加速运动到力矩和能量系统。掌握本子主题对解决几乎所有力学问题都至关重要，因为受力图是每道题的起点。当你熟练掌握静平衡后，你可以将知识拓展到涉及加速度（合力非零）的问题，以及更复杂的涉及力矩的静力学问题。