# 力与平衡

> A-Level 数学 · CIE 9709
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u3-forces-and-equilibrium/

本子主题涵盖二维力的分解、质点平衡条件、斜面问题和力三角形法则。你将为CIE 9709的所有静力学和动力学力学问题建立核心技能。

**先修:** 直角三角形三角学; [二维向量](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u2-vectors/)

## 学习目标

- 在二维问题中将任意力分解为垂直分量
- 将平衡条件应用于静止状态下的质点
- 求解有摩擦和无摩擦斜面上的平衡问题
- 对三力平衡问题使用力三角形法则

## 真题考频

据 OwlsPrep 对官方 CIE 9709 M1 真题的聚合（2016–2025）: **力与平衡** 近 10 年出现 **197 次**——占 M1 全部真题的 **34.3%**（443 题中 197 题）.

最常考形式: 质点平衡 (91), 摩擦力 (66), 斜面问题 (44), 力的分解 (25).

## 将力分解为分量

任何与参考轴成一定角度的力都可以分解为两个垂直分量。这简化了合力的计算，是几乎所有二维力问题的第一步。

**力分量** — 两个垂直矢量，相加后得到原力，方向与你选择的坐标轴对齐。

*记法:* $F_x, F_y$

*例:* 一个与水平方向成30°的10 N力，其分量为 $F_x = 10\cos 30^\circ$ 和 $F_y = 10\sin 30^\circ$

**例题:** 将一个平行于倾角为20°斜面的25 N力分解为水平和竖直分量。

1. 该力平行于斜面，因此它与水平方向成20°角。
2. 计算水平分量：
3. $$F_x = 25 \cos 20^\circ \approx 25 \times 0.9397 = 23.5 \text{ N}$$
4. 计算竖直分量：
5. $$F_y = 25 \sin 20^\circ \approx 25 \times 0.3420 = 8.55 \text{ N}$$
6. 分量为 23.5 N（水平）和 8.55 N（竖直）。

> **考试提示:** 对于斜面问题，始终选择平行和垂直于斜面的坐标轴。这样你就不需要分解法向反作用力或摩擦力了。

## 平衡条件

质点处于平衡状态时，加速度为零。根据牛顿第一定律，这意味着质点在所有方向上的净（合）力都为零。这为二维问题给出了两个简单的方程。

**静平衡** — 质点静止的状态，净力为零，加速度为零。

对于任何二维问题，平衡条件为：x方向所有力的和 = 0，y方向所有力的和 = 0。你只需为每个坐标轴指定正负方向即可。

**例题:** 一个质量为4 kg的质点静止在光滑水平面上平衡。它被水平向左的力$P$拉动，同时受到一个与水平方向成30°向上向右的10 N力。求$P$。

1. 画出受力图：重力 $4g$ N 向下，法向反作用力 $R$ 向上，$P$ 向左，10 N 力向右向上。
2. 取向右为水平正方向，应用平衡条件：
3. $$\sum F_x = 0 \implies 10\cos 30^\circ - P = 0$$
4. 求解 $P$：
5. $$P = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8.66 \text{ N}$$

## 斜面上的平衡

斜面平衡是本主题最常见的考题之一。当你选择平行和垂直于斜面的坐标轴时，只需要分解质点的重力。

> **重力分量记忆法**
>
> 倾角$\theta$斜面上的重力：平行于斜面的分量为 $mg\sin\theta$，垂直分量为 $mg\cos\theta$。记住：*正弦配斜面*。

**例题:** 一个质量为12 kg的箱子静止在倾角为30°的粗糙斜面上平衡。求作用在箱子上的摩擦力大小。

1. 取平行和垂直于斜面的坐标轴。将重力分解为分量：
2. $$\text{平行: } 12g \sin 30^\circ, \quad \text{垂直: } 12g \cos 30^\circ$$
3. 摩擦力沿斜面向上，阻碍箱子下滑。对平行方向的力应用平衡条件：
4. $$F - 12g \sin 30^\circ = 0$$
5. 代入 $g = 9.8 \text{ ms}^{-2}$ 和 $\sin 30^\circ = 0.5$：
6. $$F = 12 \times 9.8 \times 0.5 = 58.8 \text{ N}$$

> **考试提示:** 始终检查摩擦力的方向：它阻碍移除摩擦力后质点会运动的方向。如果质点被拉上斜面，摩擦力就向下。

## 三力平衡的力三角形法

如果质点在恰好三个力作用下平衡，你可以使用力三角形法代替分解法，对于存在直角的问题，这种方法通常更快。

**力三角形法则** — 如果作用于同一点的三个力平衡，它们可以首尾相连构成闭合三角形的三条边。

**例题:** 一个重15 N的质点用轻绳悬挂在固定点，被一个8 N的水平力维持平衡。求绳中的张力。

1. 共有三个力：15 N 向下（重力），8 N 向右（外力），T 向左上（张力）。首尾相连后构成一个直角三角形。
2. 对闭合三角形应用勾股定理：
3. $$T^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$$
4. 求解 T：
5. $$T = \sqrt{289} = 17 \text{ N}$$

## 常见错误

- **错误做法:** 混淆斜面上的重力分量：使用 $mg\cos\theta$ 作为平行斜面的分量。
  - 原因: 分量混淆会导致问题中所有力的值都错误，整道题得零分。
  - 正确做法: 使用记忆法：*正弦配斜面*，因此平行分量 = $mg\sin\theta$，垂直分量 = $mg\cos\theta$。
- **错误做法:** 当题目没有明确提及时，忘记在受力图中加上重力。
  - 原因: 除非题目说明质点是轻质或无质量的，否则它一定有重力，必须包含在内。
  - 正确做法: 除非题目说明质点无质量，否则始终在受力图中加上重力 $mg$。
- **错误做法:** 写平衡方程时没有给力指定方向。
  - 原因: 相反方向的力必须相减而不是相加，所以你会得到错误的合力。
  - 正确做法: 为每个坐标轴选择一个正方向，给相反方向的力加上负号，再求和为零。
- **错误做法:** 假设摩擦力始终沿斜面向下。
  - 原因: 摩擦力方向取决于无摩擦时质点滑动的方向，这个方向可以沿斜面向上或向下。
  - 正确做法: 检查摩擦力阻碍的运动：如果质点会下滑，摩擦力向上；如果会上滑，摩擦力向下。

## 速查表

| 概念 | 法则/公式 |
| --- | --- |
| 一般平衡 | $\sum F_x = 0, \sum F_y = 0$ |
| 斜面上的重力 ($\theta$) | 平行: $mg\sin\theta$, 垂直: $mg\cos\theta$ |
| 三力平衡 | 首尾相连的闭合力三角形 |
| 法向反作用力 (光滑斜面) | $R = mg\cos\theta$ |
| 最大静摩擦 | $F \leq \mu R$ |

## 下一步

力与平衡是CIE A-Level力学所有后续主题的基础。你在这里学到的力分解技巧和平衡法则会用于之后每个力学主题，从加速运动到力矩和能量系统。掌握本子主题对解决几乎所有力学问题都至关重要，因为受力图是每道题的起点。当你熟练掌握静平衡后，你可以将知识拓展到涉及加速度（合力非零）的问题，以及更复杂的涉及力矩的静力学问题。

- [牛顿运动定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u3-newton-s-laws-of-motion/)
- [能量、功和功率](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u3-energy-work-and-power/)
- [动量](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u3-momentum/)

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