能量、功和功率

CIE A-Level 数学· 第3单元：力学· 5 分钟阅读

1. 恒力做功★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

恒力做功

W = F s \cos\theta

力使物体发生位移时转移的能量。 $θ$ 是力矢量与位移矢量之间的夹角。

例:

一个10 N的力沿与水平成30°角拉动物体移动2 m，做功为 $10 \times 2 \times cos 3 0^{\circ} \approx 17.3$ J。

功可以是正、负或零。如果力的方向与位移方向相同（ $θ = 0^{\circ}$ ）， $cos θ = 1$ 所以 $W = F s$ ，即做正功（能量被输入到物体）。如果力阻碍运动（ $θ = 18 0^{\circ}$ ），功为负，意味着能量从物体中被移除。如果力与位移垂直（ $θ = 9 0^{\circ}$ ），做功为零。

📐 例题

一个质量为5 kg的木块被沿斜面平行的绳子拉上粗糙斜面，斜面倾角为20°，拉动距离为4 m。摩擦力大小为8 N，木块以恒定速度运动。计算作用在木块上所有力的总功。

1
列出所有平行于位移（沿斜面）的力：重力的分量沿斜面向下：
2
$mg \sin\theta = 5 \times 9.8 \times \sin 20^\circ \approx 16.8 \text{ N}$
3
匀速运动时，沿斜面向上的拉力等于摩擦力与重力分量之和：
4
$T = 16.8 + 8 = 24.8 \text{ N}$
5
计算每个力做的功：拉力与位移同向：
6
$W_T = 24.8 \times 4 = 99.2 \text{ J}$
7
摩擦力和重力分量与位移反向，因此它们的做功为负：
8
$W_f + W_g = (-8 \times 4) + (-16.8 \times 4) = -99.2 \text{ J}$
9
总功等于所有单个做功的和：
10
$W_{\text{total}} = 99.2 - 99.2 = 0 \text{ J}$
11
这符合功能原理：动能没有变化意味着总功为零。

Exam tip:

务必检查力与位移之间的夹角；许多考生错误地使用 $sin θ$ 而不是 $cos θ$ 。

2. 动能与重力势能★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

动能（KE）

KE = \frac{1}{2}mv^2

物体由于运动而具有的能量，单位为焦耳（J）

例:

一个2 kg的物体以3 m s⁻¹运动，动能为 $K E = 0.5 \times 2 \times 3^{2} = 9$ J。

📘 定义

重力势能（GPE）

\Delta PE = mg\Delta h

物体在均匀引力场中高度变化 $Δ h$ 时的能量变化

例:

将一个10 kg的物体提升2 m，重力势能增加 $10 \times 9.8 \times 2 = 196$ J。

功能原理指出，作用在物体上所有力的总功等于物体动能的变化： $W_{total} = Δ K E$ 。无论是否存在阻力，该原理都成立，因此在解决问题时非常灵活。

📐 例题

一辆质量为1200 kg的汽车以15 m s⁻¹行驶，制动器施加恒定制动力4500 N，求汽车停车前行驶的距离。

1
计算汽车的初始动能：
2
$KE_{\text{initial}} = \frac{1}{2} \times 1200 \times 15^2 = 135000 \text{ J}$
3
汽车停止时末动能为0，因此动能变化为：
4
$\Delta KE = 0 - 135000 = -135000 \text{ J}$
5
制动力 $F$ 在距离 $d$ 上做的功为 $W = - F d$ 。根据功能原理： $W = Δ K E$
6
$-4500d = -135000$
7
求解停车距离 $d$ ：
8
$d = \frac{135000}{4500} = 30 \text{ m}$

3. 机械能守恒★★★☆☆⏱ 20 min

当没有非保守力（如摩擦力或空气阻力）对系统做功时，总机械能（动能与势能之和）守恒。这意味着我们可以将运动开始时的能量与结束时的能量联系起来，而无需计算加速度或时间。

📘 定义

机械能守恒

在没有非保守力的情况下，总机械能保持不变：能量仅在动能和势能之间转换，不会凭空产生或消失。

📐 例题

一个质量为0.5 kg的小球从离地面10 m高度处由静止释放，忽略空气阻力，求小球落地时的速度。

1
设地面处GPE = 0。初始能量：小球静止，所以 $K E_{initial} = 0$
2
$PE_{\text{initial}} = mgh = 0.5 \times 9.8 \times 10 = 49 \text{ J}$
3
地面处的末能量： $P E_{final} = 0$ ，所有能量都是动能：
4
$KE_{\text{final}} = \frac{1}{2}mv^2$
5
根据能量守恒，初始总能量等于末总能量：
6
$0 + 49 = \frac{1}{2}(0.5)v^2 + 0$
7
求解速度 $v$ ：
8
$v^2 = 196 \implies v = 14 \text{ m s}^{-1}$

4. 功率和效率★★★☆☆⏱ 15 min

📘 定义

功率

P = \frac{W}{t} = Fv

做功的速率，单位为瓦特（W），1 W = 1 J s⁻¹。对于沿运动方向的恒力 $F$ ，以速度 $v$ 运动，功率等于力与速度的乘积。

📘 定义

效率

\text{Efficiency} = \frac{\text{useful power output}}{\text{power input}} \times 100\%

衡量输入能量转化为有用输出能量的比例。由于摩擦生热等能量损失，实际系统的效率总是小于100%。

📐 例题

汽车发动机的有用输出功率为60 kW，以恒定速度20 m s⁻¹沿水平道路行驶，计算作用在汽车上的总阻力。

1
为了单位统一，将功率从千瓦转换为瓦特：
2
$P = 60 \text{ kW} = 60000 \text{ W}$
3
匀速运动时，根据牛顿第一定律，驱动力等于总阻力： $F_{d r i v in g} = F_{r es i s t i v e}$
4
使用瞬时功率公式 $P = F v$ ：
5
$F = \frac{P}{v} = \frac{60000}{20} = 3000 \text{ N}$
6
因此作用在汽车上的总阻力为3000 N。

5. 常见陷阱

错误做法:

当力与位移成夹角时，直接使用 $W = F s$ ，忽略 $cos θ$ 项

原因:

功取决于力平行于位移的分量，而非力的总大小

正确做法:

始终使用 $W = F s cos θ$ 其中 $θ$ 是力与位移矢量之间的夹角

错误做法:

物体升高时认为 $Δ P E$ 为负

原因:

重力势能随高度增加而增加，因此变化量应为正

正确做法:

使用 $Δ P E = m g (h_{f ina l} - h_{ini t ia l})$ ，物体向上运动时结果为正

错误做法:

应用机械能守恒时，没有考虑克服摩擦力做的功

原因:

只有当没有非保守力做功时，总机械能守恒才成立

正确做法:

如果存在摩擦力，使用： $初始总能量 = 末总能量 + 克服摩擦力做的功$

错误做法:

计算前忘记将功率从千瓦转换为瓦特

原因:

功率必须以瓦特为单位才能得到单位为牛顿的力，否则结果会偏大或偏小1000倍

正确做法:

代入公式前，始终将千瓦乘以1000转换为瓦特

错误做法:

将效率计算为输入功率除以输出功率

原因:

对于大多数实际系统，这会得到大于100%的结果，这是不可能的

正确做法:

使用： $Efficiency = \frac{Useful output power}{Total input power} \times 100%$

6. 速查表

物理量	公式	要点提示
恒力做功	$W = F s cos θ$	$θ$ = 力 $F$ 与位移 $s$ 的夹角
动能	$K E = \frac{1}{2} m v^{2}$	运动对应的能量
重力势能变化	$Δ P E = m g Δ h$	高度增加时变化量为正
功能原理	$W_{t o t a l} = Δ K E$	适用于所有力的情况
能量守恒（无阻力）	$K E_{1} + P E_{1} = K E_{2} + P E_{2}$	总机械能保持恒定
平均功率	$P = \frac{W}{t}$	单位：瓦特（W）= J/s
瞬时功率	$P = F v$	力平行于速度方向
效率	$\frac{P _{o u t}}{P _{in}} \times 100%$	实际系统效率始终 < 100%

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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理解能量、功和功率是A-Level数学中所有高阶力学主题的基础，包括圆周运动、动量和刚体平衡。能量守恒是一个特别强大的解题工具，与直接使用牛顿定律相比，它通常可以简化计算，尤其是对于力随位置变化的曲线路径运动。掌握本主题还能帮助你准备结合多个核心概念的综合力学题，这类题在CIE A-Level考试中很常见。