# 能量、功和功率

> CIE A-Level 数学 · 9709 力学第3单元
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u3-energy-work-and-power/

本子主题介绍功、动能、重力势能和功率的核心定义，并展示如何应用机械能守恒解决实际力学运动问题。

**先修:** [力与牛顿运动定律](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u3-forces-newtons-laws/); [直线运动学](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u3-kinematics-straight-line/)

## 学习目标

- 定义恒力做功，并计算不同力方向下的做功大小
- 区分动能和重力势能
- 应用机械能守恒定律求解运动问题
- 计算机械系统的功率和效率

## 真题考频

据 OwlsPrep 对官方 CIE 9709 M1 真题的聚合（2016–2025）: **能量、功和功率** 近 10 年出现 **125 次**——占 M1 全部真题的 **28.2%**（443 题中 125 题）.

最常考形式: 功率 (63), 能量守恒 (56), 动能 (14), 功 (13), 重力势能 (8).

## 恒力做功

**恒力做功** — 力使物体发生位移时转移的能量。$\theta$是力矢量与位移矢量之间的夹角。

*记法:* W = F s \cos\theta

*例:* 一个10 N的力沿与水平成30°角拉动物体移动2 m，做功为 $10 \times 2 \times \cos 30^\circ \approx 17.3$ J。

功可以是正、负或零。如果力的方向与位移方向相同（$\theta = 0^\circ$），$\cos\theta = 1$ 所以 $W = Fs$，即做正功（能量被输入到物体）。如果力阻碍运动（$\theta = 180^\circ$），功为负，意味着能量从物体中被移除。如果力与位移垂直（$\theta = 90^\circ$），做功为零。

**例题:** 一个质量为5 kg的木块被沿斜面平行的绳子拉上粗糙斜面，斜面倾角为20°，拉动距离为4 m。摩擦力大小为8 N，木块以恒定速度运动。计算作用在木块上所有力的总功。

1. 列出所有平行于位移（沿斜面）的力：重力的分量沿斜面向下：
2. $$mg \sin\theta = 5 \times 9.8 \times \sin 20^\circ \approx 16.8 \text{ N}$$
3. 匀速运动时，沿斜面向上的拉力等于摩擦力与重力分量之和：
4. $$T = 16.8 + 8 = 24.8 \text{ N}$$
5. 计算每个力做的功：拉力与位移同向：
6. $$W_T = 24.8 \times 4 = 99.2 \text{ J}$$
7. 摩擦力和重力分量与位移反向，因此它们的做功为负：
8. $$W_f + W_g = (-8 \times 4) + (-16.8 \times 4) = -99.2 \text{ J}$$
9. 总功等于所有单个做功的和：
10. $$W_{\text{total}} = 99.2 - 99.2 = 0 \text{ J}$$
11. 这符合功能原理：动能没有变化意味着总功为零。

> **考试提示:** 务必检查力与位移之间的夹角；许多考生错误地使用$\sin\theta$ 而不是 $\cos\theta$。

## 动能与重力势能

**动能（KE）** — 物体由于运动而具有的能量，单位为焦耳（J）

*记法:* KE = \frac{1}{2}mv^2

*例:* 一个2 kg的物体以3 m s⁻¹运动，动能为 $KE = 0.5 \times 2 \times 3^2 = 9$ J。

**重力势能（GPE）** — 物体在均匀引力场中高度变化 $\Delta h$ 时的能量变化

*记法:* \Delta PE = mg\Delta h

*例:* 将一个10 kg的物体提升2 m，重力势能增加 $10 \times 9.8 \times 2 = 196$ J。

功能原理指出，作用在物体上所有力的总功等于物体动能的变化：$W_{\text{total}} = \Delta KE$。无论是否存在阻力，该原理都成立，因此在解决问题时非常灵活。

**例题:** 一辆质量为1200 kg的汽车以15 m s⁻¹行驶，制动器施加恒定制动力4500 N，求汽车停车前行驶的距离。

1. 计算汽车的初始动能：
2. $$KE_{\text{initial}} = \frac{1}{2} \times 1200 \times 15^2 = 135000 \text{ J}$$
3. 汽车停止时末动能为0，因此动能变化为：
4. $$\Delta KE = 0 - 135000 = -135000 \text{ J}$$
5. 制动力 $F$ 在距离 $d$ 上做的功为 $W = -Fd$。根据功能原理：$W = \Delta KE$
6. $$-4500d = -135000$$
7. 求解停车距离 $d$：
8. $$d = \frac{135000}{4500} = 30 \text{ m}$$

## 机械能守恒

当没有非保守力（如摩擦力或空气阻力）对系统做功时，总机械能（动能与势能之和）守恒。这意味着我们可以将运动开始时的能量与结束时的能量联系起来，而无需计算加速度或时间。

**机械能守恒** — 在没有非保守力的情况下，总机械能保持不变：能量仅在动能和势能之间转换，不会凭空产生或消失。

**例题:** 一个质量为0.5 kg的小球从离地面10 m高度处由静止释放，忽略空气阻力，求小球落地时的速度。

1. 设地面处GPE = 0。初始能量：小球静止，所以 $KE_{\text{initial}} = 0$
2. $$PE_{\text{initial}} = mgh = 0.5 \times 9.8 \times 10 = 49 \text{ J}$$
3. 地面处的末能量：$PE_{\text{final}} = 0$，所有能量都是动能：
4. $$KE_{\text{final}} = \frac{1}{2}mv^2$$
5. 根据能量守恒，初始总能量等于末总能量：
6. $$0 + 49 = \frac{1}{2}(0.5)v^2 + 0$$
7. 求解速度 $v$：
8. $$v^2 = 196 \implies v = 14 \text{ m s}^{-1}$$

> **info**
>
> 如果存在摩擦力，克服摩擦力做的功等于初始总能量与末总能量之差：$E_{\text{initial}} = E_{\text{final}} + W_{\text{against friction}}$。

## 功率和效率

**功率** — 做功的速率，单位为瓦特（W），1 W = 1 J s⁻¹。对于沿运动方向的恒力 $F$，以速度 $v$ 运动，功率等于力与速度的乘积。

*记法:* P = \frac{W}{t} = Fv

**效率** — 衡量输入能量转化为有用输出能量的比例。由于摩擦生热等能量损失，实际系统的效率总是小于100%。

*记法:* \text{Efficiency} = \frac{\text{useful power output}}{\text{power input}} \times 100\%

**例题:** 汽车发动机的有用输出功率为60 kW，以恒定速度20 m s⁻¹沿水平道路行驶，计算作用在汽车上的总阻力。

1. 为了单位统一，将功率从千瓦转换为瓦特：
2. $$P = 60 \text{ kW} = 60000 \text{ W}$$
3. 匀速运动时，根据牛顿第一定律，驱动力等于总阻力：$F_{driving} = F_{resistive}$
4. 使用瞬时功率公式 $P = Fv$：
5. $$F = \frac{P}{v} = \frac{60000}{20} = 3000 \text{ N}$$
6. 因此作用在汽车上的总阻力为3000 N。

## 常见错误

- **错误做法:** 当力与位移成夹角时，直接使用$W = Fs$，忽略$\cos\theta$项
  - 原因: 功取决于力平行于位移的分量，而非力的总大小
  - 正确做法: 始终使用 $W = Fs \cos\theta$ 其中 $\theta$ 是力与位移矢量之间的夹角
- **错误做法:** 物体升高时认为$\Delta PE$为负
  - 原因: 重力势能随高度增加而增加，因此变化量应为正
  - 正确做法: 使用 $\Delta PE = mg(h_{final} - h_{initial})$，物体向上运动时结果为正
- **错误做法:** 应用机械能守恒时，没有考虑克服摩擦力做的功
  - 原因: 只有当没有非保守力做功时，总机械能守恒才成立
  - 正确做法: 如果存在摩擦力，使用：$\text{初始总能量} = \text{末总能量} + \text{克服摩擦力做的功}$
- **错误做法:** 计算前忘记将功率从千瓦转换为瓦特
  - 原因: 功率必须以瓦特为单位才能得到单位为牛顿的力，否则结果会偏大或偏小1000倍
  - 正确做法: 代入公式前，始终将千瓦乘以1000转换为瓦特
- **错误做法:** 将效率计算为输入功率除以输出功率
  - 原因: 对于大多数实际系统，这会得到大于100%的结果，这是不可能的
  - 正确做法: 使用：$\text{Efficiency} = \frac{\text{Useful output power}}{\text{Total input power}} \times 100\%$

## 速查表

| 物理量 | 公式 | 要点提示 |
| --- | --- | --- |
| 恒力做功 | $W = Fs \cos\theta$ | $\theta$ = 力$F$与位移$s$的夹角 |
| 动能 | $KE = \frac{1}{2}mv^2$ | 运动对应的能量 |
| 重力势能变化 | $\Delta PE = mg\Delta h$ | 高度增加时变化量为正 |
| 功能原理 | $W_{total} = \Delta KE$ | 适用于所有力的情况 |
| 能量守恒（无阻力） | $KE_1 + PE_1 = KE_2 + PE_2$ | 总机械能保持恒定 |
| 平均功率 | $P = \frac{W}{t}$ | 单位：瓦特（W）= J/s |
| 瞬时功率 | $P = Fv$ | 力平行于速度方向 |
| 效率 | $\frac{P_{out}}{P_{in}} \times 100\%$ | 实际系统效率始终 < 100% |

## 下一步

理解能量、功和功率是A-Level数学中所有高阶力学主题的基础，包括圆周运动、动量和刚体平衡。能量守恒是一个特别强大的解题工具，与直接使用牛顿定律相比，它通常可以简化计算，尤其是对于力随位置变化的曲线路径运动。掌握本主题还能帮助你准备结合多个核心概念的综合力学题，这类题在CIE A-Level考试中很常见。

- [动量](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u3-momentum/)
- [概率与统计](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-overview/)
- [数据表示](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u4-data-representation/)

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