三维向量几何（直线与平面）

CIE A-Level 数学· 5 分钟阅读

1. 三维空间中直线的向量方程★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

三维直线的向量方程

$r = a + t d$

其中 $r$ 是直线上任意一点的位置向量， $a$ 是直线上一个已知点的位置向量， $t$ 是标量参数， $d$ 是直线的方向向量。

过两点 $A$ 和 $B$ 的直线的方向向量为 $A B = b - a$ 。也可以整理方程，从 $x 、 y 、 z$ 分量中解出 $t$ ，将直线改写为直角坐标形式。

📐 例题

求过点 $A (1, 2, 3)$ 和 $B (4, 5, 7)$ 的直线的向量方程。

1
首先，计算直线的方向向量：
2
$\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a} = \begin{pmatrix}4 - 1 \\ 5 - 2 \\ 7 - 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 3 \\ 4\end{pmatrix}$
3
取点 $A$ 的位置向量作为已知点的位置向量 $a$ ，代入直线的一般方程：
4
$\mathbf{r} = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}3 \\ 3 \\ 4\end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}$

2. 平面的向量方程★★★☆☆⏱ 20 min

📘 定义

平面方程的点积形式

$r \cdot n = k$

其中 $n$ 是垂直于平面的法向量， $k$ 是常数， $r$ 是平面上任意一点的位置向量。可转换为直角坐标形式 $a x + b y + cz = k$ ，其中 $n = a b c$ 。

要求过三个点的平面的法向量，先计算平面上的两个向量，再取它们的叉积，得到同时垂直于两个向量的向量，即为法向量。

📐 例题

求过点 $A (1, 0, 0)$ 、 $B (0, 1, 0)$ 和 $C (0, 0, 1)$ 的平面的直角坐标方程。

1
求平面上的两个向量：
2
$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$
3
通过叉积 $A B \times A C$ 计算法向量：
4
$\begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(-1 \cdot 1 - 0 \cdot -1) + \mathbf{k}(-1 \cdot 0 - 1 \cdot -1) = \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$
5
将点 $A$ 的位置向量代入 $r \cdot n = k$ 求出 $k$ ：
6
$k = (1)(1) + (1)(0) + (1)(0) = 1$
7
转换为直角坐标形式得到最终答案：
8
$x + y + z = 1$

3. 角度与距离★★★★☆⏱ 25 min

✓ 计算器

所有角度计算都使用点积公式。对于任意两个向量，它们之间夹角的余弦为 $cos θ = \frac{u \cdot v}{∣ u ∣∣ v ∣}$ 。我们总是对点积取绝对值以得到锐角，这也是考题一贯要求的。

两条直线的夹角：对 $u$ 和 $v$ 使用方向向量
两个平面的夹角：对 $u$ 和 $v$ 使用法向量
点 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 到平面 $a x + b y + cz = d$ 的距离： $\frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} - d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$

📐 例题

求平面 $x + y + z = 1$ 和 $2 x - y + 3 z = 2$ 之间的锐角，结果保留一位小数。

1
从平面的直角坐标方程中提取法向量：
2
$\mathbf{n_1} = \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}, \quad \mathbf{n_2} = \begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 3\end{pmatrix}$
3
计算点积以及法向量的模长：
4
$\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2} = (1)(2) + (1)(-1) + (1)(3) = 4 \\ |\mathbf{n_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3} \\ |\mathbf{n_2}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{14}$
5
使用角度公式，取绝对值得到锐角：
6
$\cos\theta = \frac{|\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2}|}{|\mathbf{n_1}||\mathbf{n_2}|} = \frac{4}{\sqrt{3} \sqrt{14}} = \frac{4}{\sqrt{42}} \approx 0.617$
7
计算角度：
8
$\theta \approx 51.9^\circ$

4. 直线与平面的交点★★★☆☆⏱ 20 min

要求直线与平面的交点，先写出直线的参数坐标，代入平面方程，求解标量参数。共有三种可能的结果：

$t$ 有唯一解：直线与平面相交于一点
无解：直线平行于平面，不相交
方程对所有 $t$ 都成立：整条直线在平面上

📐 例题

判断直线 $r = 123 + t 111$ 是否与平面 $2 x + y - 3 z = 4$ 相交，若相交则求出交点。

1
写出直线上点的参数坐标：
2
$x = 1 + t, \quad y = 2 + t, \quad z = 3 + t$
3
代入平面方程：
4
$2(1 + t) + (2 + t) - 3(3 + t) = 4 \\ 2 + 2t + 2 + t - 9 - 3t = 4 \\ -5 + 0t = 4$
5
该方程对 $t$ 无解，因此：
6
直线平行于平面，不相交。

5. 常见陷阱

错误做法:

计算角度时忘记对点积取绝对值

原因:

点积可能为负，得到的是钝角而非题目要求的锐角

正确做法:

解答考题计算角度时，分子始终取 $∣ u \cdot v ∣$

错误做法:

计算角度时混淆方向向量和法向量

原因:

对平面使用方向向量、对直线使用法向量会得到正确角度的补角

正确做法:

始终给向量做好标记：直线夹角用方向向量，平面夹角用法向量

错误做法:

计算点到平面的距离时遗漏分母

原因:

使用一般平面方程时，公式要求除以法向量的模长

正确做法:

计算点到平面 $a x + b y + cz = d$ 的距离时，始终除以 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$

错误做法:

当直线实际在平面上时，错误认为无解意味着直线平行

原因:

如果所有项抵消后得到0 = 0，说明直线上所有点都在平面上，并非无交点

正确做法:

若得到0t = 0，说明整条直线在平面上；0t = 非零值说明无交点

6. 速查表

概念	公式/规则	说明
直线向量方程	$r = a + t d$	$a$ = 已知点， $d$ = 方向
平面方程	$r \cdot n = k$ / $a x + b y + cz = k$	$n = (a, b, c)$ = 法向量
点到平面的距离	$\frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} - d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$	点 = $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$
两平面的锐角	$cos θ = \frac{∣ n _{1} \cdot n _{2} ∣}{∣ n _{1} ∣∣ n _{2} ∣}$	使用法向量
两直线的锐角	$cos θ = \frac{∣ d _{1} \cdot d _{2} ∣}{∣ d _{1} ∣∣ d _{2} ∣}$	使用方向向量
求交点	将直线参数代入平面方程	求解参数得到交点坐标

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · 3
直线与平面的交点
2023 · 3
点到平面的距离
2024 · 3
两个平面之间的夹角

深入阅读

syllabusCIE 9709 纯数学3 大纲

下一步

掌握三维向量几何是A-Level数学诸多其他专题的重要基础。在纯数学中，你会将这些概念拓展到运动学中的向量求导，并解决涉及多个平面相交的进阶三维几何问题。在力学中，向量被广泛用于建模二维和三维的抛体运动、力和动量。向量几何结合微积分或力学的考题在高分值题目中十分常见，因此熟练掌握本专题能帮助你轻松拿到这些分数。