# 向量（纯数学3）

> CIE A-Level 数学 · 纯数学 3
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u2-vectors/

本子主题涵盖 CIE 9709 向量大纲（§3.7）的全部内容。向量**仅在 Paper 3 中考查**——Paper 1 和 Paper 2 都不涉及向量。你将学习用分量（列）形式表示二维和三维向量，对向量进行加、减、数乘，使用模长与数量积，写出直线的向量方程，并求解涉及两条直线以及点到直线垂线的问题。

**先修:** [基础坐标几何与勾股定理——向量是纯数学3中全新的内容（纯数学1和纯数学2都没有向量）](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-coordinate-geometry/)

## 学习目标

- 以分量形式对向量进行加、减、数乘运算，并对结果作几何解释
- 计算向量的模长并求单位向量
- 利用数量积求两向量的夹角，并判断是否垂直
- 使用直线的向量方程 $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{d}$，并判断某点是否在直线上
- 判断两条直线是平行、相交还是异面，并求两条直线之间的夹角
- 求点到直线的垂足以及相应的最短距离

## 真题考频

据 OwlsPrep 对官方 CIE 9709 P3 真题的聚合（2016–2025）: **向量（纯数学3）** 近 10 年出现 **91 次**——占 P3 全部真题的 **9.7%**（651 题中 91 题）.

最常考形式: 点积、向量夹角 (56), 直线的向量方程 (44), 三维向量与模 (43), 平面方程 (25).

## 向量与向量运算

**向量的分量（列）形式** — 向量既有大小又有方向。二维向量有两个分量，三维向量有三个分量，用基本单位向量 $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ 或列向量表示。向量只在 Paper 3 中考查。

*记法:* $\mathbf{v} = a\mathbf{i} + b\mathbf{j} + c\mathbf{k} = \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$

向量的**加法**与**减法**是对应分量相加减；数乘 $\lambda$ 则是每个分量都乘以 $\lambda$。例如 $\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\2\\3\end{pmatrix}$，$2\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\4\\-2\end{pmatrix}$。

- 点 $A$ 的**位置向量**是 $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$，从原点 $O$ 量起。
- 两点之间的**位移向量**：$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$。
- **平行四边形法则：** 若 $OABC$ 是平行四边形，$\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OC}$ 为相邻两边，则对角线 $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}$。
- $AB$ 的**中点** $M$ 的位置向量为 $\overrightarrow{OM} = \tfrac{1}{2}(\mathbf{a} + \mathbf{b})$。
- **平行向量：** $\mathbf{u}$ 平行于 $\mathbf{v}$，当且仅当存在标量 $\lambda$ 使 $\mathbf{u} = \lambda\mathbf{v}$。

**例题:** 点 $A$ 和 $B$ 的位置向量分别为 $\mathbf{a} = \begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}$ 和 $\mathbf{b} = \begin{pmatrix}5\\-1\\1\end{pmatrix}$。求位移向量 $\overrightarrow{AB}$ 以及 $AB$ 中点 $M$ 的位置向量。

1. 从 $A$ 到 $B$ 的位移是 $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$：
2. $$\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a} = \begin{pmatrix}5-2\\-1-1\\1-(-3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\-2\\4\end{pmatrix}$$
3. 中点是两个位置向量的平均：
4. $$\overrightarrow{OM} = \tfrac{1}{2}(\mathbf{a} + \mathbf{b}) = \tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}7\\0\\-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{7}{2}\\0\\-1\end{pmatrix}$$

## 模长与单位向量

**向量的模长** — 向量 $\mathbf{v} = a\mathbf{i} + b\mathbf{j} + c\mathbf{k}$ 的模长（长度）。在二维中 $|\mathbf{v}| = \sqrt{a^2 + b^2}$。这是勾股定理在三维中的推广。两点 $A$、$B$ 之间的距离即 $|\overrightarrow{AB}|$。

*记法:* $|\mathbf{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

**单位向量**的模长为 $1$。要求与 $\mathbf{v}$ 同方向的单位向量，用 $\mathbf{v}$ 除以它自身的模长：$\hat{\mathbf{v}} = \dfrac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$。除以模长——而绝不是除以各个分量——才能把长度缩放为 $1$ 同时保持方向不变。

**例题:** 求 $\mathbf{v} = 2\mathbf{i} - \mathbf{j} + 2\mathbf{k}$ 的模长，并由此求与 $\mathbf{v}$ 同方向的单位向量。

1. 应用模长公式：
2. $$|\mathbf{v}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$$
3. 用向量除以其模长得到单位向量：
4. $$\hat{\mathbf{v}} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{2}{3}\\-\tfrac{1}{3}\\\tfrac{2}{3}\end{pmatrix}$$

## 数量积与向量夹角

**数量积（点积）** — 数量积把对应分量相乘再相加，得到一个**数**（标量）。它也等于 $|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$，其中 $\theta$ 是两向量之间的夹角。

*记法:* $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$

整理后得到两向量的夹角：$\cos\theta = \dfrac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$。两个非零向量**垂直当且仅当 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$**，因为此时 $\cos\theta = 0$。例如 $\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix} = 2 + 2 - 4 = 0$，所以这两个向量互相垂直。

**例题:** 求 $\mathbf{a} = \begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}$ 与 $\mathbf{b} = \begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ 之间的夹角，结果保留一位小数。

1. 计算数量积：
2. $$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (2)(1) + (3)(2) + (6)(2) = 2 + 6 + 12 = 20$$
3. 计算两个模长：
4. $$|\mathbf{a}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = 7, \qquad |\mathbf{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3$$
5. 应用夹角公式：
6. $$\cos\theta = \frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|} = \frac{20}{(7)(3)} = \frac{20}{21} \implies \theta = \cos^{-1}\left(\frac{20}{21}\right) \approx 17.8^\circ$$

> **exam_tip**
>
> 要求三维立体图形内部的某个角（Paper 3 常见题型），把在该顶点相交的两条棱写成从该顶点出发的向量，再用数量积。让两个向量都**背离**该顶点，得到的角才是图中所示的角。

*计算器:* allowed

## 直线的向量方程

**直线的向量方程** — $\mathbf{r}$ 是直线上任意一点的位置向量，$\mathbf{a}$ 是直线上一个已知点的位置向量，$\mathbf{d}$ 是方向向量，$t$ 是标量参数。当 $t$ 取遍所有实数时，$\mathbf{r}$ 描出整条直线。在 9709 中，直线总是以这种形式给出。

*记法:* $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\,\mathbf{d}$

过 $A$、$B$ 的直线的一个方向向量是 $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$。$\mathbf{d}$ 的任意非零标量倍数都是同样有效的方向，直线上任意一点都可作为 $\mathbf{a}$。某点在直线上，当且仅当存在**同一个** $t$ 值能同时给出它的**所有**坐标。

**例题:** 求过 $A(1, 0, 2)$ 和 $B(3, 1, 5)$ 的直线的一个向量方程，并判断点 $C(7, 3, 11)$ 是否在该直线上。

1. 用位移 $\overrightarrow{AB}$ 作为方向向量：
2. $$\mathbf{d} = \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}3-1\\1-0\\5-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}$$
3. 取 $A$ 为已知点，得到向量方程：
4. $$\mathbf{r} = \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}$$
5. 检验 $C(7,3,11)$：由 $x$ 坐标得 $1 + 2t = 7 \implies t = 3$。用 $t = 3$ 检验其余分量：
6. $$y:\; 0 + 1(3) = 3 \qquad z:\; 2 + 3(3) = 11$$
7. 三个分量都吻合，所以 $C$ 在直线上（对应 $t = 3$）。

## 两条直线：平行、相交或异面

给定两条直线 $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\,\mathbf{d_1}$ 与 $\mathbf{r} = \mathbf{b} + s\,\mathbf{d_2}$（注意参数 $t$ 和 $s$ **不同**），有三种可能。

- **平行：** 两方向向量成标量倍数，$\mathbf{d_1} = \lambda\mathbf{d_2}$。
- **相交：** 不平行且有公共点。令位置向量相等，用**两个**分量方程解出 $t$ 和 $s$，再**检验第三个**分量。若一致，则直线相交；代回即得交点。
- **异面：** 不平行且第三个分量不一致，因此没有公共点。（异面直线只存在于三维。）

**例题:** 证明直线 $l_1: \mathbf{r} = \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$ 与 $l_2: \mathbf{r} = \begin{pmatrix}1\\5\\2\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$ 相交，求交点，并求它们之间的锐角。

1. 两方向不平行，令各分量相等：
2. $$x:\; 1 + t = 1 + 2s \qquad y:\; 2t = 5 - s \qquad z:\; 1 + t = 2 + s$$
3. 解 $x$ 和 $z$ 两式。由 $x$ 得 $t = 2s$；代入 $z$（即 $t - s = 1$）：$2s - s = 1 \implies s = 1,\; t = 2$。
4. 检验 $y$ 式：$2t = 4$，$5 - s = 4$——一致，故两直线相交。
5. $$\text{交点：} \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\4\\3\end{pmatrix}$$
6. 求夹角时使用方向向量：
7. $$\cos\theta = \frac{\left|\mathbf{d_1} \cdot \mathbf{d_2}\right|}{|\mathbf{d_1}||\mathbf{d_2}|} = \frac{|(1)(2) + (2)(-1) + (1)(1)|}{\sqrt{6}\,\sqrt{6}} = \frac{1}{6} \implies \theta \approx 80.4^\circ$$

> **exam_tip**
>
> 务必给每条直线各自的参数（$t$ 和 $s$）。若两条直线用同一个字母，会强迫它们在相同参数值处相交，从而把真正相交的直线误判为异面。

*计算器:* allowed

## 点到直线的垂线

直线 $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\,\mathbf{d}$ 上离定点 $P$ **最近**的点，就是**垂足** $F$。由于 $\overrightarrow{PF}$ 垂直于直线的方向，故满足 $\overrightarrow{PF} \cdot \mathbf{d} = 0$。长度 $|\overrightarrow{PF}|$ 就是 $P$ 到直线的最短距离。

1. 把直线上一般点写作 $F = \mathbf{a} + t\,\mathbf{d}$。
2. 用 $t$ 表示 $\overrightarrow{PF} = F - P$。
3. 解 $\overrightarrow{PF} \cdot \mathbf{d} = 0$ 求出 $t$。
4. 把 $t$ 代回求出 $F$；则 $|\overrightarrow{PF}|$ 即最短距离。

**例题:** 求点 $P(5, 0, 2)$ 到直线 $\mathbf{r} = \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$ 的垂足，以及 $P$ 到该直线的最短距离。

1. 直线上的一般点，以及从 $P$ 指向它的向量：
2. $$F = \begin{pmatrix}1+2t\\2t\\1+t\end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow{PF} = F - P = \begin{pmatrix}2t-4\\2t\\t-1\end{pmatrix}$$
3. 令 $\overrightarrow{PF} \cdot \mathbf{d} = 0$，其中 $\mathbf{d} = \begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$：
4. $$2(2t-4) + 2(2t) + 1(t-1) = 9t - 9 = 0 \implies t = 1$$
5. 代入 $t = 1$ 得垂足与距离：
6. $$F = \begin{pmatrix}3\\2\\2\end{pmatrix}, \qquad |\overrightarrow{PF}| = \left|\begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}\right| = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 求两直线夹角时忘记对数量积取绝对值
  - 原因: 两个方向向量的点积可能为负，会得到钝角而非题目要求的锐角
  - 正确做法: 分子取 $|\mathbf{d_1} \cdot \mathbf{d_2}|$，使答案为锐角
- **错误做法:** 两条直线一旦不相交就断定它们是异面
  - 原因: 不相交的直线也可能平行；异面要求既不平行也不相交
  - 正确做法: 先检查方向向量是否成标量倍数；只有既不平行也不相交的直线才是异面
- **错误做法:** 解出两个分量方程得到 $t$ 和 $s$ 后就停下
  - 原因: 两个方程总能解出，但第三个分量可能不一致——这正是相交与异面的区别所在
  - 正确做法: 务必把解代回第三个分量，确认是否一致
- **错误做法:** 两条不同直线用同一个参数，或把参数当成向量
  - 原因: 共用参数会强迫参数值相等，而参数 $t$ 始终是标量，不是向量
  - 正确做法: 比较两条直线时，给每条直线各自的标量参数（$t$ 和 $s$）

## 速查表

| 概念 | 公式/规则 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 模长 | $\|\mathbf{v}\| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ | 向量的长度；距离 $= \|\overrightarrow{AB}\|$ |
| 单位向量 | $\hat{\mathbf{v}} = \dfrac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}$ | 除以模长 |
| 位移 / 中点 | $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$，$\;M = \tfrac{1}{2}(\mathbf{a}+\mathbf{b})$ | 由位置向量得到 |
| 数量积 | $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ | $= \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta$ |
| 向量夹角 | $\cos\theta = \dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|}$ | 垂直 $\Leftrightarrow \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0$ |
| 直线方程 | $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\,\mathbf{d}$ | $\mathbf{a}$ 为点，$\mathbf{d}$ 为方向 |
| 两直线夹角 | $\cos\theta = \dfrac{\|\mathbf{d_1}\cdot\mathbf{d_2}\|}{\|\mathbf{d_1}\|\|\mathbf{d_2}\|}$ | 使用方向向量 |
| 两条直线 | 用两个分量解 $t,s$；检验第三个 | 一致→相交；否则异面（若不平行） |
| 垂足 | $\overrightarrow{PF}\cdot\mathbf{d} = 0$ | $\|\overrightarrow{PF}\|$ = 最短距离 |

## 下一步

熟练掌握向量是后续多个专题的基础。在纯数学3中，同样的分量与数量积方法会在复数（阿甘图的几何）以及代数与几何结合的问题中再次出现。在力学（本套课程的 Unit 3）中，位置、速度和力都作为向量处理，因此你在这里练习的运算会被反复使用。现在把向量运算练得准确又熟练，能让那些高分值题目变得容易上手。

- [复数](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u2-complex-numbers/)
- [微分方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u2-differential-equations/)
- [力学](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u3-overview/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u2-vectors/