三角学

CIE A-Level 数学· 30 分钟阅读

1. 复角恒等式★★☆☆☆⏱ 10 min

📘 定义

复角恒等式

用两个单个角的函数表示两角和或差的三角函数的公式

例:

用正弦加法公式展开 $sin (A + B)$

\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B

\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B

\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}

📐 例题

求 $sin 1 5^{\circ}$ 的精确值

1
将 $1 5^{\circ}$ 写为两个已知三角函数值的角的差：
2
$15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$
3
应用 $sin (A - B)$ 的正弦复角恒等式：
4
$\sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ$
5
代入已知精确值：
6
$= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$
7
最终化简结果：
8
$\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Exam tip:

务必检查中间项的符号：对于余弦复角公式，符号相对于角的符号会翻转。

2. 倍角和半角恒等式★★★☆☆⏱ 10 min

📘 定义

倍角恒等式

由复角恒等式推导得到，当两个角相等时，将 $2 θ$ 的三角函数与 $θ$ 的函数关联的恒等式

\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta

\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta

\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}

📐 例题

证明恒等式 $\frac{1 - c o s 2 θ}{s i n 2 θ} = tan θ$

1
从左侧(LHS)开始，代入倍角恒等式：
2
将 $1 - cos 2 θ$ 替换为 $2 sin^{2} θ$ （来自恒等式 $cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ$ ），将 $sin 2 θ$ 替换为 $2 sin θ cos θ$ ：
3
$\text{LHS} = \frac{2 \sin^2 \theta}{2 \sin \theta \cos \theta}$
4
约去公因子 $2$ 和 $sin θ$ （ $sin θ \neq = 0$ 时）：
5
$\text{LHS} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta = \text{RHS}$

✓ 快速检测

哪个表达式等价于 $cos^{2} x$ ?

哪个表达式等价于 $cos^{2} x$ ?
- $\frac{1 + c o s 2 x}{2}$
- $\frac{1 - c o s 2 x}{2}$
- $1 + cos 2 x$
- $cos 2 x - 1$

3. 正弦和余弦线性组合的R型公式★★★☆☆⏱ 10 min

📘 定义

R型公式（振幅-相位形式）

R \sin(\theta \pm \alpha), R \cos(\theta \pm \alpha)

一种将线性组合 $a sin θ + b cos θ$ （角度 $θ$ 相同）改写为单个三角函数的方法，其中 $R > 0$ ， $0 < α < 9 0^{\circ}$ （或 $\frac{π}{2}$ 弧度）

例:

$3 sin x + 4 cos x = 5 sin (x + 53. 1^{\circ})$

📐 例题

将 $3 sin x + 4 cos x$ 表示为 $R sin (x + α)$ 的形式，其中 $R > 0$ ， $0 < α < 9 0^{\circ}$ 。

1
用正弦复角恒等式展开目标形式：
2
$R \sin(x + \alpha) = R \sin x \cos \alpha + R \cos x \sin \alpha$
3
与 $3 sin x + 4 cos x$ 比较系数：
4
$R \cos \alpha = 3 \quad \text{and} \quad R \sin \alpha = 4$
5
利用 $cos^{2} α + sin^{2} α = 1$ ，将两个方程平方相加计算 $R$ ：
6
$R^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = 3^2 + 4^2 = 25 \implies R = 5$
7
将两个方程相除消去 $R$ ，计算 $α$ ：
8
$\tan \alpha = \frac{R \sin \alpha}{R \cos \alpha} = \frac{4}{3} \implies \alpha \approx 53.1^\circ$
9
最终结果：
10
$3 \sin x + 4 \cos x = 5 \sin(x + 53.1^\circ)$

Exam tip:

务必检查题目要求的形式： $R cos (x - α)$ 的系数排列不同，因此求解前先展开。

4. 常见陷阱

错误做法:

错误地写为 $cos (A - B) = cos A cos B - sin A sin B$

原因:

余弦复角恒等式中，正弦项的符号会翻转，与角的符号相反

正确做法:

正确应为 $cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B$

错误做法:

解方程时从两边约去 $sin θ$

原因:

这会去掉 $sin θ = 0$ 的解，这些解在大多数区间内都是有效的

正确做法:

将所有项移到一侧，提取公因子 $sin θ$ ，分别求解每个因子

错误做法:

对 $a sin x + b cos x = R sin (x + α)$ 错误写为 $tan α = \frac{a}{b}$

原因:

比较系数时系数颠倒，导致 $α$ 的值错误

正确做法:

求解 $α$ 前总是先展开R型表达式再比较系数

错误做法:

求解 $2 θ$ 时保留原区间，例如对 $0 < θ < π$ 错误取 $0 < 2 θ < π$

原因:

区间会随角度系数缩放，原区间会导致漏解

正确做法:

将区间边界乘以角度系数，因此对 $0 < θ < π$ ，区间应为 $0 < 2 θ < 2 π$

5. 速查表

恒等式类型	核心公式
复角	$sin (A \pm B) = sin A cos B \pm cos A sin B$ $cos (A \pm B) = cos A cos B \mp sin A sin B$ $tan (A \pm B) = \frac{t a n A \pm t a n B}{1 \mp t a n A t a n B}$
倍角	$sin 2 θ = 2 sin θ cos θ$ $cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1 = 1 - 2 sin^{2} θ$ $tan 2 θ = \frac{2 t a n θ}{1 - t a n ^{2} θ}$
R型公式： $a sin x + b cos x$	$R = a^{2} + b^{2}, tan α = \frac{b}{a}$ $a sin x + b cos x = R sin (x + α)$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · 3
将 $3 sin x + 4 cos x$ 表示为R型公式
2022 · 3
用倍角恒等式解方程
2021 · 3
证明三角复角恒等式

下一步

这些核心三角恒等式是纯数学3几乎所有后续主题的基础，也频繁出现在涉及简谐运动的力学问题中。你会经常用到它们来求解复杂三角方程、对三角函数求导和积分、化简反三角函数表达式，以及求组合周期函数的最大值和最小值。掌握这些恒等式是在试卷3中取得高分的关键，因为每次考试都会在多道题目中考查它们。