# 三角学

> CIE A-Level 数学 · 纯数学 2 与 3
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u2-trigonometry/

本小节涵盖CIE A-Level纯数学2与纯数学3共同的三角学内容：倒数函数sec、cosec、cot及其恒等式、复角、倍角，以及合并正弦余弦项的R型方法。你将学习如何运用这些知识证明恒等式并求解方程。

**先修:** [基础三角比和勾股恒等式](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-trigonometry/); [在给定区间内求解简单三角方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-trigonometry/)

## 学习目标

- 理解倒数函数$\sec\theta$、$\csc\theta$和$\cot\theta$，画出它们的图像，并应用恒等式$\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$和$\csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$
- 记忆并应用正弦、余弦和正切的复角恒等式
- 推导并使用倍角恒等式（及降幂形式）证明恒等式、求解方程
- 将正弦和余弦的线性组合用R型公式表示为单个三角函数
- 应用这些恒等式求解涉及最大值/最小值的问题

## 真题考频

据 OwlsPrep 对官方 CIE 9709 P2 真题的聚合（2016–2025）: **三角学** 近 10 年出现 **168 次**——占 P2 全部真题的 **20%**（455 题中 168 题）.

最常考形式: 倍角与 R 形式 (73), 用恒等式解三角方程 (71), 和差角公式 (36), 正割、余割、余切 (36).

## 倒数三角函数（sec、cosec、cot）

**倒数三角函数** — 三个基本三角比各有一个倒数：余割（cosec）、正割（sec）和余切（cot）。定义为$\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$、$\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$、$\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$。

*例:* $\sec 60^\circ = \frac{1}{\cos 60^\circ} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

$$\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}, \qquad \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, \qquad \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$$

> **info**
>
> 配对技巧：看英文第三个字母就知道配谁——cosecant（余割）配 sine（正弦）、secant（正割）配 cosine（余弦）、cotangent（余切）配 tangent（正切）。所以$\sec\theta = 1/\cos\theta$，而不是$1/\sin\theta$。

**六个函数的图像（任意大小的角）** — 在原三角比为零的地方，倒数函数无定义，其图像出现垂直渐近线。$y = \csc\theta$在$\sin\theta = 0$处（即$\theta = 0^\circ, 180^\circ, 360^\circ, \ldots$）有渐近线；$y = \sec\theta$在$\cos\theta = 0$处（即$\theta = 90^\circ, 270^\circ, \ldots$）有渐近线；$y = \cot\theta$在$\sin\theta = 0$处（即$\theta = 0^\circ, 180^\circ, \ldots$）有渐近线。由于$|\sin\theta| \le 1$、$|\cos\theta| \le 1$，所以$\sec$和$\csc$的图像永远不会取$-1$到$1$之间的值。

*例:* 在$\theta = 0^\circ$附近，$\sin\theta \to 0$，因此$\csc\theta = 1/\sin\theta \to \pm\infty$。

> **info**
>
> 将勾股恒等式$\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$两边同除以$\cos^2\theta$，得到$\tan^2\theta + 1 \equiv \sec^2\theta$；改为同除以$\sin^2\theta$，则得到$1 + \cot^2\theta \equiv \csc^2\theta$。

$$\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta \qquad\qquad \csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$$

**例题:** 在$0^\circ \leq \theta \leq 360^\circ$范围内求解$2\sec^2\theta - \tan\theta = 5$。

1. 利用$\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$，把方程全部化为$\tan\theta$的形式：
2. $$2(1 + \tan^2\theta) - \tan\theta = 5$$
3. 展开并把所有项移到一侧，得到关于$\tan\theta$的二次方程：
4. $$2\tan^2\theta - \tan\theta - 3 = 0$$
5. 对二次方程因式分解：
6. $$(2\tan\theta - 3)(\tan\theta + 1) = 0$$
7. 分别求解每个因子得$\tan\theta$：
8. $$\tan\theta = \frac{3}{2} \quad \text{or} \quad \tan\theta = -1$$
9. 写出区间$0^\circ \leq \theta \leq 360^\circ$内的所有解：
10. $$\theta = 56.3^\circ,\ 236.3^\circ \quad \text{or} \quad \theta = 135^\circ,\ 315^\circ$$

**概念自测**

用哪个恒等式能把$\sec^2\theta$化为含$\tan\theta$的表达式？

1. 哪个恒等式把$\sec^2\theta$用$\tan\theta$表示？

   - $\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta$
   - $\sec^2\theta = 1 - \tan^2\theta$
   - $\sec^2\theta = \tan^2\theta - 1$
   - $\sec^2\theta = 1 + \cot^2\theta$

   *答案:* $\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta$

   *解析:* 正确：将$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$两边除以$\cos^2\theta$，得到$\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta$。

> **考试提示:** $\sec$、$\csc$、$\cot$是倒数，不是反函数。用恒等式$\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$或$\csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$把方程化成关于单个三角比的二次方程。

## 复角恒等式

**复角恒等式** — 用两个单个角的函数表示两角和或差的三角函数的公式

*例:* 用正弦加法公式展开$\sin(A+B)$

$$\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$$

$$\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$$

$$\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$$

**例题:** 求$\sin 15^\circ$的精确值

1. 将$15^\circ$写为两个已知三角函数值的角的差：
2. $$15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$$
3. 应用$\sin(A-B)$的正弦复角恒等式：
4. $$\sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ$$
5. 代入已知精确值：
6. $$= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$$
7. 最终化简结果：
8. $$\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$$

**例题:** 化简$\cos(x - 60^\circ) - \sqrt{3}\,\sin(x - 60^\circ)$，将答案写成单一项。

1. 用加法公式展开每个复角：
2. $$\cos(x - 60^\circ) = \cos x \cos 60^\circ + \sin x \sin 60^\circ = \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x$$
3. $$\sin(x - 60^\circ) = \sin x \cos 60^\circ - \cos x \sin 60^\circ = \frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x$$
4. 代入两个展开式，并把$\sqrt{3}$乘开：
5. $$\cos(x - 60^\circ) - \sqrt{3}\sin(x - 60^\circ) = \left(\frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right) - \sqrt{3}\left(\frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)$$
6. $\sin x$的项相互抵消，$\cos x$的项合并：
7. $$= \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{3}{2}\cos x = 2\cos x$$

> **考试提示:** 务必检查中间项的符号：对于余弦复角公式，符号相对于角的符号会翻转。

## 倍角恒等式（及降幂形式）

> **info**
>
> 倍角恒等式只是复角恒等式的特殊情况，此时$A = B$。

**倍角恒等式** — 由复角恒等式推导得到，当两个角相等时，将$2\theta$的三角函数与$\theta$的函数关联的恒等式

$$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$$

$$\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta$$

$$\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$$

**例题:** 证明恒等式$\frac{1 - \cos 2\theta}{\sin 2\theta} = \tan \theta$

1. 从左侧(LHS)开始，代入倍角恒等式：
2. 将$1 - \cos 2\theta$替换为$2\sin^2 \theta$（来自恒等式$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$），将$\sin 2\theta$替换为$2\sin \theta \cos \theta$：
3. $$\text{LHS} = \frac{2 \sin^2 \theta}{2 \sin \theta \cos \theta}$$
4. 约去公因子$2$和$\sin \theta$（$\sin \theta \neq 0$时）：
5. $$\text{LHS} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta = \text{RHS}$$

**概念自测**

哪个表达式等价于$\cos^2 x$?

1. 哪个表达式等价于$\cos^2 x$?

   - $\frac{1 + \cos 2x}{2}$
   - $\frac{1 - \cos 2x}{2}$
   - $1 + \cos 2x$
   - $\cos 2x - 1$

   *答案:* $\frac{1 + \cos 2x}{2}$

   *解析:* 正确：整理$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$即可得到该结果。

## 正弦和余弦线性组合的R型公式

**R型公式（振幅-相位形式）** — 一种将线性组合$a \sin \theta + b \cos \theta$（角度$\theta$相同）改写为单个三角函数的方法，其中$R > 0$，$0 < \alpha < 90^\circ$（或$\frac{\pi}{2}$弧度）

*记法:* R \sin(\theta \pm \alpha), R \cos(\theta \pm \alpha)

*例:* $3\sin x + 4\cos x = 5\sin(x + 53.1^\circ)$

**例题:** 将$3 \sin x + 4 \cos x$表示为$R \sin(x + \alpha)$的形式，其中$R > 0$，$0 < \alpha < 90^\circ$。

1. 用正弦复角恒等式展开目标形式：
2. $$R \sin(x + \alpha) = R \sin x \cos \alpha + R \cos x \sin \alpha$$
3. 与$3 \sin x + 4 \cos x$比较系数：
4. $$R \cos \alpha = 3 \quad \text{and} \quad R \sin \alpha = 4$$
5. 利用$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$，将两个方程平方相加计算$R$：
6. $$R^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = 3^2 + 4^2 = 25 \implies R = 5$$
7. 将两个方程相除消去$R$，计算$\alpha$：
8. $$\tan \alpha = \frac{R \sin \alpha}{R \cos \alpha} = \frac{4}{3} \implies \alpha \approx 53.1^\circ$$
9. 最终结果：
10. $$3 \sin x + 4 \cos x = 5 \sin(x + 53.1^\circ)$$

> **考试提示:** 务必检查题目要求的形式：$R \cos(x - \alpha)$的系数排列不同，因此求解前先展开。

## 常见错误

- **错误做法:** 错误地写为$\cos(A - B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$
  - 原因: 余弦复角恒等式中，正弦项的符号会翻转，与角的符号相反
  - 正确做法: 正确应为$\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$
- **错误做法:** 解方程时从两边约去$\sin \theta$
  - 原因: 这会去掉$\sin \theta = 0$的解，这些解在大多数区间内都是有效的
  - 正确做法: 将所有项移到一侧，提取公因子$\sin \theta$，分别求解每个因子
- **错误做法:** 对$a \sin x + b \cos x = R \sin(x + \alpha)$错误写为$\tan \alpha = \frac{a}{b}$
  - 原因: 比较系数时系数颠倒，导致$\alpha$的值错误
  - 正确做法: 求解$\alpha$前总是先展开R型表达式再比较系数
- **错误做法:** 求解$2\theta$时保留原区间，例如对$0 < \theta < \pi$错误取$0 < 2\theta < \pi$
  - 原因: 区间会随角度系数缩放，原区间会导致漏解
  - 正确做法: 将区间边界乘以角度系数，因此对$0 < \theta < \pi$，区间应为$0 < 2\theta < 2\pi$

## 速查表

| 恒等式类型 | 核心公式 |
| --- | --- |
| 倒数比与恒等式 | $\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta},\ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta},\ \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ <br> $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ <br> $\csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$ |
| 复角 | $\sin(A\pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ <br> $\cos(A\pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ <br> $\tan(A\pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ |
| 倍角 | $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ <br> $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta$ <br> $\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ |
| R型公式：$a\sin x + b\cos x$ | $R = \sqrt{a^2 + b^2}, \tan \alpha = \frac{b}{a}$ <br> $a\sin x + b\cos x = R\sin(x + \alpha)$ |

## 下一步

这些核心三角恒等式是纯数学2与纯数学3几乎所有后续主题的基础，也频繁出现在涉及简谐运动的力学问题中。你会经常用到它们来求解复杂三角方程、对三角函数求导和积分、化简反三角函数表达式，以及求组合周期函数的最大值和最小值。掌握这些恒等式是在试卷2和试卷3中取得高分的关键，因为每次考试都会在多道题目中考查它们。

- [微分求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u2-differentiation/)
- [积分](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u2-integration/)
- [数值方法](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u2-numerical-methods/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u2-trigonometry/