梯形法则

数学· 9709 (2026–2027) Syllabus: 2.5 Integration (Paper 2)· 15 分钟阅读

1. 梯形法则核心公式★★☆☆☆⏱ 3 min

📘 定义

n个等距条带的梯形法则

$\int_{a}^{b} f (x) d x \approx T_{n}$

对于区间[a,b]上的积分，将其划分为n个等宽条带，总近似面积为n个独立梯形的面积之和，每个梯形的两条平行竖边长度分别为 $y_{i}$ 和 $y_{i + 1}$

T_n = \frac{h}{2} \left( y_0 + 2y_1 + 2y_2 + ... + 2y_{n-1} + y_n \right) \quad \text{where } h = \frac{b-a}{n}

📐 例题

使用4个等距条带，写出 $\int_{1}^{5} x^{2} d x$ 对应的完整梯形法则表达式

1
首先计算区间宽度h：
2
$h = \frac{5-1}{4} = 1$
3
列出x=1、2、3、4、5处的所有y值：
4
$y_0 = 1^2 = 1, y_1 = 4, y_2 =9, y_3=16, y_4=25$
5
代入公式，注意所有中间项都需要乘以2：
6
$T_4 = \frac{1}{2} \left( 1 + 2(4 +9 +16) +25 \right) = 42$

2. 分步应用流程★★★☆☆⏱ 4 min

从题目中提取积分下限a、上限b和条带数量n
计算区间宽度h=(b-a)/n，确认所有x点都能均匀分布在a到b之间
以h为步长，计算从a到b所有x点对应的f(x)值，按要求保留指定小数位数
将所有非首尾的中间y值乘以2，对所有项求和
将总和乘以h/2，得到最终的近似积分结果

📐 例题

使用4个条带近似计算 $\int_{0}^{2} e^{x^{2}} d x$ ，结果保留3位有效数字

1
计算h=(2-0)/4=0.5
2
计算y值： $y_{0} = e^{0} = 1$ , $y_{1} = e^{0.25} \approx 1.2840$ , $y_{2} = e^{1} \approx 2.7183$ , $y_{3} = e^{2.25} \approx 9.4877$ , $y_{4} = e^{4} \approx 54.5982$
3
调整后求和： $1 + 2 (1.2840 + 2.7183 + 9.4877) + 54.5982 = 1 + 26.98 + 54.5982 = 82.5782$
4
乘以h/2=0.25： $0.25 \times 82.5782 \approx 20.6$ （3位有效数字）

✓ 快速检测

测试你对流程的掌握程度：

使用梯形法则计算8个条带的积分时，你需要多少个y值？
- 7
- 8
- 9
- 10
显示答案
9 —
n个条带始终需要n+1个点，因此8+1=9个y值。

3. 误差特性与估计方向判断★★★☆☆⏱ 4 min

🔬 推导

目标:

通过比较每个条带的弦与曲线的位置，判断梯形法则的误差方向

起点:

每个条带的顶边是连接曲线上相邻两点的直弦，这条弦位于曲线上方还是下方，就决定了误差方向

1
画出单个条带：它倾斜的顶边就是连接采样的相邻两点的弦
2
若曲线下凹（ $f^{''} (x) < 0$ ），曲线拱在弦的上方，即弦位于曲线下方；此时条带漏掉了弦与曲线之间的那一小块，面积小于该分段下的真实面积
3
若曲线上凹（ $f^{''} (x) > 0$ ），曲线凹在弦的下方，即弦位于曲线上方；此时条带多算了一块，面积大于该分段下的真实面积
4
对所有条带求和方向一致：弦在曲线下方则总和小于精确积分，弦在曲线上方则总和大于精确积分

结果:

当区间[a,b]内 $f^{''} (x) > 0$ （上凹）时，梯形法则为高估；当 $f^{''} (x) < 0$ （下凹）时为低估；对于直线，弦与曲线重合，法则结果精确

📐 例题

判断使用2个条带计算 $\int_{0}^{π} sin x d x$ 的梯形法则结果是高估还是低估，并通过精确值验证

1
画出 $y = sin x$ 在 $(0, π)$ 上的图像：这段弧拱在直弦的上方，因此每条弦都位于曲线下方，估计值应为低估。（辅助验证： $f^{'} (x) = cos x$ , $f^{''} (x) = - sin x < 0$ （ $0 < x < π$ ），即曲线下凹。）
2
梯形估计值： $h = π /2$ , $T_{2} = \frac{π}{4} (0 + 2 (1) + 0) = π /2 \approx 1.571$
3
精确积分： $\int_{0}^{π} sin x d x = 2$ 。由于 $1.571 < 2$ ，估计值为低估，与下凹草图结论一致。

4. 考试题型变体★★★★☆⏱ 4 min

题型	分值占比	常见取整要求
基础4条带估计	4-5分	3位有效数字
百分比误差计算	2-3分	1位小数
高估/低估推理论证	2分	必须写出草图或凹凸性理由

5. 常见陷阱

错误做法:

忘记将所有中间y值乘以2代入公式

原因:

该错误会导致估计值约为正确值的一半，在评分中会被严重扣分

正确做法:

代入数值前先在草稿纸上写出完整公式 $\frac{h}{2} (y_{0} + 2 y_{1} + ... + y_{n})$

错误做法:

使用点的数量代替条带数量计算h

原因:

这会得到错误的区间宽度，导致整个估计结果完全无效

正确做法:

明确写出n为条带数量，计算任何y值前先确认h=(b-a)/n

错误做法:

用“曲线是递增的”作为高估/低估的论证理由，而非引用凹凸性

原因:

CIE考官不会给该论证打分，因为递增函数既可能产生高估也可能产生低估

正确做法:

画出曲线及其弦，说明弦位于曲线上方（高估）还是下方（低估）；可用整个区间内 $f^{''} (x)$ 的符号作为佐证

错误做法:

过早对单个y值取整，导致最终估计值误差过大

原因:

中间项的累积取整误差会让你的最终答案超出考试允许的得分范围

正确做法:

求和前所有y值保留比最终答案要求至少多2位小数

错误做法:

以梯形估计值为基准计算百分比误差，而非以精确值为基准

原因:

这会颠倒误差比例，得到错误的最终百分比

正确做法:

熟记公式 $\frac{估计值 - 真实值}{真实值} \times 100%$ ，避免颠倒两项

6. 速查表

参数	定义	公式
条带数量n	积分边界之间的等宽分段数量	$n = \frac{b - a}{h}$
梯形法则估计值	f(x)从a到b的近似积分	$\frac{h}{2} (y_{0} + 2 y_{1} + 2 y_{2} + ... + 2 y_{n - 1} + y_{n})$
百分比误差	与精确积分值的相对差值	$\frac{估计值 - 真实值}{真实值} \times 100%$
高估条件	梯形值大于真实积分	$f^{''} (x) > 0$ （上凹）：弦位于曲线上方
低估条件	梯形值小于真实积分	$f^{''} (x) < 0$ （下凹）：弦位于曲线下方

下一步

掌握梯形法则是学好纯数学2（Paper 2）中另一项考查的数值方法——迭代求根的关键基础。该法则经常与无初等原函数的超越函数（如指数函数、三角函数）结合考察，你会在后续积分类题目中反复遇到它。你现在应该练习对非整数区间宽度的函数应用该法则，并将估计值与精确积分值交叉验证，建立对典型误差量级的直观认知。请记住：在9709中，梯形法则只在 Paper 2 考查——Paper 1 和 Paper 3 都不涉及——因此这个基础会让你更轻松地掌握 Paper 2 其余的数值方法内容。