# 梯形法则

> 数学 · CIE A-Level 9709
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u2-trapezium-rule/

本模块讲授梯形法则，这是一种用于近似计算无初等原函数的定积分的数值方法，内容包含公式应用、误差分析和考试应试策略。在CIE 9709中，梯形法则只在 Paper 2 考查——Paper 1（纯数学1）和 Paper 3（纯数学3）都不涉及。

**先修:** [定积分的基础计算](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-definite-integrals/); [二阶导数与曲线凹凸性](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-second-derivatives/)

## 学习目标

- 熟记等间距下近似定积分的完整梯形法则公式
- 应用梯形法则计算无初等原函数的初等函数的面积估计值
- 计算梯形估计值与精确积分值之间的绝对误差和百分比误差
- 判断梯形法则对真实面积产生高估还是低估的场景

## 梯形法则核心公式

**n个等距条带的梯形法则** — 对于区间[a,b]上的积分，将其划分为n个等宽条带，总近似面积为n个独立梯形的面积之和，每个梯形的两条平行竖边长度分别为$y_i$和$y_{i+1}$

*记法:* $\int_a^b f(x) dx \approx T_n$

$$T_n = \frac{h}{2} \left( y_0 + 2y_1 + 2y_2 + ... + 2y_{n-1} + y_n \right) \quad \text{where } h = \frac{b-a}{n}$$

**例题:** 使用4个等距条带，写出$\int_1^5 x^2 dx$对应的完整梯形法则表达式

1. 首先计算区间宽度h：
2. $$h = \frac{5-1}{4} = 1$$
3. 列出x=1、2、3、4、5处的所有y值：
4. $$y_0 = 1^2 = 1, y_1 = 4, y_2 =9, y_3=16, y_4=25$$
5. 代入公式，注意所有中间项都需要乘以2：
6. $$T_4 = \frac{1}{2} \left( 1 + 2(4 +9 +16) +25 \right) = 42$$

> **tip**
>
> 对于n个条带，务必确认你总共得到了n+1个y值，遗漏项是最常见的计算错误。

## 分步应用流程

1. 从题目中提取积分下限a、上限b和条带数量n
2. 计算区间宽度h=(b-a)/n，确认所有x点都能均匀分布在a到b之间
3. 以h为步长，计算从a到b所有x点对应的f(x)值，按要求保留指定小数位数
4. 将所有非首尾的中间y值乘以2，对所有项求和
5. 将总和乘以h/2，得到最终的近似积分结果

**例题:** 使用4个条带近似计算$\int_0^2 e^{x^2} dx$，结果保留3位有效数字

1. 计算h=(2-0)/4=0.5
2. 计算y值：$y_0 = e^0 = 1$, $y_1 = e^{0.25} \approx 1.2840$, $y_2 = e^{1} \approx 2.7183$, $y_3 = e^{2.25} \approx 9.4877$, $y_4 = e^{4} \approx 54.5982$
3. 调整后求和：$1 + 2(1.2840 + 2.7183 +9.4877) + 54.5982 = 1 + 26.98 + 54.5982 = 82.5782$
4. 乘以h/2=0.25：$0.25 \times 82.5782 \approx 20.6$（3位有效数字）

**概念自测**

测试你对流程的掌握程度：

1. 使用梯形法则计算8个条带的积分时，你需要多少个y值？

   - 7
   - 8
   - 9
   - 10

   *解析:* n个条带始终需要n+1个点，因此8+1=9个y值。

## 误差特性与估计方向判断

**推导:** 通过比较每个条带的弦与曲线的位置，判断梯形法则的误差方向

*起点:* 每个条带的顶边是连接曲线上相邻两点的直弦，这条弦位于曲线上方还是下方，就决定了误差方向

1. 画出单个条带：它倾斜的顶边就是连接采样的相邻两点的弦
2. 若曲线下凹（$f''(x) < 0$），曲线拱在弦的上方，即弦位于曲线下方；此时条带漏掉了弦与曲线之间的那一小块，面积小于该分段下的真实面积
3. 若曲线上凹（$f''(x) > 0$），曲线凹在弦的下方，即弦位于曲线上方；此时条带多算了一块，面积大于该分段下的真实面积
4. 对所有条带求和方向一致：弦在曲线下方则总和小于精确积分，弦在曲线上方则总和大于精确积分

*结论:* 当区间[a,b]内$f''(x) > 0$（上凹）时，梯形法则为高估；当$f''(x) < 0$（下凹）时为低估；对于直线，弦与曲线重合，法则结果精确

**例题:** 判断使用2个条带计算$\int_0^\pi \sin x dx$的梯形法则结果是高估还是低估，并通过精确值验证

1. 画出$y = \sin x$在$(0, \pi)$上的图像：这段弧拱在直弦的上方，因此每条弦都位于曲线下方，估计值应为低估。（辅助验证：$f'(x) = \cos x$, $f''(x) = -\sin x < 0$（$0 < x < \pi$），即曲线下凹。）
2. 梯形估计值：$h = \pi/2$, $T_2 = \frac{\pi}{4}(0 + 2(1) + 0) = \pi/2 \approx 1.571$
3. 精确积分：$\int_0^\pi \sin x dx = 2$。由于$1.571 < 2$，估计值为低估，与下凹草图结论一致。

> **warning**
>
> 不要根据函数是递增还是递减来判断估计方向：只有凹凸性（二阶导数）才能决定梯形法则是高估还是低估。

## 考试题型变体

**考试命令词**

CIE 9709的梯形法则题目使用标准指令术语，有明确的评分要求：

- **Use the trapezium rule with 3 intervals** — 你必须使用n=3个条带，使用其他方法不得分 *(通常作为数值积分题目的第一部分)*

- **Hence find the percentage error** — 你必须使用之前得到的梯形估计值和精确积分值计算相对误差

- **Explain with a reason whether the estimate is greater or less than the exact value** — 你必须从曲线形状给出理由——弦位于曲线上方（高估）还是下方（低估）——或等价地引用二阶导数的符号，不能仅通过数值比较得出结论

| 题型 | 分值占比 | 常见取整要求 |
| --- | --- | --- |
| 基础4条带估计 | 4-5分 | 3位有效数字 |
| 百分比误差计算 | 2-3分 | 1位小数 |
| 高估/低估推理论证 | 2分 | 必须写出草图或凹凸性理由 |

## 常见错误

- **错误做法:** 忘记将所有中间y值乘以2代入公式
  - 原因: 该错误会导致估计值约为正确值的一半，在评分中会被严重扣分
  - 正确做法: 代入数值前先在草稿纸上写出完整公式$\frac{h}{2}(y_0 + 2y_1 + ... + y_n)$
- **错误做法:** 使用点的数量代替条带数量计算h
  - 原因: 这会得到错误的区间宽度，导致整个估计结果完全无效
  - 正确做法: 明确写出n为条带数量，计算任何y值前先确认h=(b-a)/n
- **错误做法:** 用“曲线是递增的”作为高估/低估的论证理由，而非引用凹凸性
  - 原因: CIE考官不会给该论证打分，因为递增函数既可能产生高估也可能产生低估
  - 正确做法: 画出曲线及其弦，说明弦位于曲线上方（高估）还是下方（低估）；可用整个区间内$f''(x)$的符号作为佐证
- **错误做法:** 过早对单个y值取整，导致最终估计值误差过大
  - 原因: 中间项的累积取整误差会让你的最终答案超出考试允许的得分范围
  - 正确做法: 求和前所有y值保留比最终答案要求至少多2位小数
- **错误做法:** 以梯形估计值为基准计算百分比误差，而非以精确值为基准
  - 原因: 这会颠倒误差比例，得到错误的最终百分比
  - 正确做法: 熟记公式$\left|\frac{估计值 - 真实值}{真实值}\right| \times 100\%$，避免颠倒两项

## 速查表

| 参数 | 定义 | 公式 |
| --- | --- | --- |
| 条带数量n | 积分边界之间的等宽分段数量 | $n = \frac{b-a}{h}$ |
| 梯形法则估计值 | f(x)从a到b的近似积分 | $\frac{h}{2}\left(y_0 + 2y_1 + 2y_2 + ... + 2y_{n-1} + y_n\right)$ |
| 百分比误差 | 与精确积分值的相对差值 | $\left\|\frac{估计值 - 真实值}{真实值}\right\| \times 100\%$ |
| 高估条件 | 梯形值大于真实积分 | $f''(x)>0$（上凹）：弦位于曲线上方 |
| 低估条件 | 梯形值小于真实积分 | $f''(x)<0$（下凹）：弦位于曲线下方 |

## 下一步

掌握梯形法则是学好纯数学2（Paper 2）中另一项考查的数值方法——迭代求根的关键基础。该法则经常与无初等原函数的超越函数（如指数函数、三角函数）结合考察，你会在后续积分类题目中反复遇到它。你现在应该练习对非整数区间宽度的函数应用该法则，并将估计值与精确积分值交叉验证，建立对典型误差量级的直观认知。请记住：在9709中，梯形法则只在 Paper 2 考查——Paper 1 和 Paper 3 都不涉及——因此这个基础会让你更轻松地掌握 Paper 2 其余的数值方法内容。

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