数值方法

CIE A-Level 数学· 15 分钟阅读

1. 利用变号法确定根的位置★★☆☆☆⏱ 15 min

若函数 $f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f (a)$ 与 $f (b)$ 符号相反，则开区间 $(a, b)$ 内至少存在 $f (x) = 0$ 的一个根。这是所有数值求根的基础。

📘 定义

方程的根

满足 $f (α) = 0$ 的值 $x = α$ ，也称为函数 $f$ 的零点。

📐 例题

证明 $e^{x} - 3 x^{2} = 0$ 在 $x = 3$ 和 $x = 4$ 之间存在一个根。

1
定义方程对应的函数:
2
$f(x) = e^x - 3x^2$
3
计算区间端点处的 $f (x)$ :
4
$f(3) = e^3 - 3(3)^2 \approx 20.0855 - 27 = -6.9145 < 0$
5
$f(4) = e^4 - 3(4)^2 \approx 54.598 - 48 = 6.598 > 0$
6
$f (x)$ 由指数函数和多项式函数组合而成，对所有实数 $x$ 都连续。由于 $f (3)$ 和 $f (4)$ 符号相反，因此区间 $(3, 4)$ 内至少存在一个根。

Exam tip:

证明区间内存在根时，一定要明确说明函数是连续的，CIE会给这个步骤分配1分。

2. 不动点迭代法★★★☆☆⏱ 20 min

为求根的近似值，我们将 $f (x) = 0$ 整理为 $x = g (x)$ 的形式。从初始猜测值 $x_{0}$ 开始，我们利用递推关系 $x_{n + 1} = g (x_{n})$ 生成近似值序列。

📘 定义

收敛条件

若 $∣ g^{'} (α) ∣ < 1$ （ $α$ 为不动点），则对于足够接近 $α$ 的初值，迭代会收敛到 $α$ 。若 $∣ g^{'} (α) ∣ > 1$ ，则迭代会发散。

📐 例题

从 $x_{0} = 0.5$ 出发，求 $x^{3} - 3 x + 1 = 0$ 在0和1之间的根，精确到2位小数。

1
将方程整理为 $x = g (x)$ 的形式:
2
$x^3 + 1 = 3x \implies x = \frac{x^3 + 1}{3}, \quad g(x) = \frac{x^3 + 1}{3}$
3
验证收敛性: $g^{'} (x) = x^{2}$ , 所以对 $0 < x < 1$ , $∣ g^{'} (x) ∣ < 1$ , 因此迭代收敛。
4
生成近似值序列:
5
$x_1 = \frac{(0.5)^3 + 1}{3} = 0.375$
6
$x_2 = \frac{(0.375)^3 + 1}{3} \approx 0.35095$
7
$x_3 \approx 0.34774, \quad x_4 \approx 0.34730$
8
$x_{3}$ 和 $x_{4}$ 保留两位小数均为0.35，因此根的近似值为0.35。

Exam tip:

一定要展示两个连续迭代结果四舍五入后相同，以证明你的精度是正确的。

3. 牛顿-拉夫逊法★★★☆☆⏱ 20 min

牛顿-拉夫逊法是一种基于切线的快速迭代方法，利用求导来改进近似值。它是CIE P3考试中最常考的方法之一。

📘 定义

牛顿-拉夫逊迭代

用于求 $f (x) = 0$ 根的逐次近似方法，公式为:

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

📐 例题

从 $x_{0} = 2$ 出发，求 $x^{2} - 5 = 0$ 的正根，精确到3位小数。

1
我们得到 $f (x) = x^{2} - 5$ , 因此 $f^{'} (x) = 2 x$ ，代入牛顿-拉夫逊公式得:
2
$x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - 5}{2x_n} = \frac{x_n^2 + 5}{2x_n}$
3
用 $x_{0} = 2$ 进行第一次迭代:
4
$x_1 = \frac{2^2 + 5}{2(2)} = 2.25$
5
第二次迭代:
6
$x_2 = \frac{(2.25)^2 + 5}{2(2.25)} \approx 2.23611$
7
第三次迭代:
8
$x_3 \approx 2.23607$
9
$x_{2}$ 和 $x_{3}$ 保留三位小数均为2.236，因此根的近似值为2.236。

Exam tip:

如果题目要求使用牛顿-拉夫逊法，一定要在代入数值前写出完整公式，才能拿到全部方法分。

4. 二分法★★☆☆☆⏱ 15 min

二分法是一种基于变号原理的简单迭代方法。它比其他方法慢，但如果初始区间内存在根，它一定收敛。

📐 例题

求 $e^{x} - 3 x^{2} = 0$ 在3和4之间的根，精确到1位小数。

1
我们已知 $f (3) < 0$ , $f (4) > 0$ 。求区间中点并验证中点处 $f$ 的符号:
2
$f(3.5) \approx -3.635 < 0 \implies \text{root in } (3.5, 4)$
3
$f(3.75) \approx 0.3325 > 0 \implies \text{root in } (3.5, 3.75)$
4
$f(3.625) \approx -1.75 < 0 \implies \text{root in } (3.625, 3.75)$
5
$f(3.6875) \approx -0.73 < 0 \implies \text{root in } (3.6875, 3.75)$
6
$(3.6875, 3.75)$ 内所有值保留一位小数均为3.7，因此根的近似值为3.7。

Exam tip:

记录每个中点处f(x)的符号，避免下一步选错保留的区间。

5. 常见陷阱

错误做法:

证明区间内存在根时忘记说明函数连续

原因:

CIE明确给这个陈述分配1分，考生经常丢分

正确做法:

计算完f(a)和f(b)后，一定要加上'f(x)在[a, b]上连续'这句话

错误做法:

题目要求指定精度时，只迭代一次就停止

原因:

考官要求你确认你的近似值符合要求的精度

正确做法:

至少计算两个连续近似值，且它们四舍五入后结果相同

错误做法:

区间内没有变号就声称不存在根

原因:

切线根（重根）和成对对根不会产生变号，但仍然存在

正确做法:

变号只能用来证明根存在，永远不能用来证明根不存在

错误做法:

当 $f^{'} (x_{n})$ 非常接近零时仍然使用牛顿-拉夫逊法

原因:

这会导致近乎除以零，使迭代发散或得到错误结果

正确做法:

更换初始近似值，或改用二分法

6. 速查表

方法	核心规则	收敛性	精度验证
变号法	f(a)f(b) < 0 + 连续 = (a,b)内存在根	不适用（仅定位）	验证区间端点四舍五入后结果相同
不动点迭代	$x_{n + 1} = g (x_{n})$ , 若 $∣ g^{'} (α) ∣ < 1$ 则收敛	线性	两次迭代四舍五入后结果相同
牛顿-拉夫逊法	$x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f ( x _{n} )}{f ^{'} ( x _{n} )}$	二次（快速）	两次迭代四舍五入后结果相同
二分法	对分区间，保留有变号的子区间	线性（慢，一定收敛）	验证区间端点四舍五入后结果相同

7. 常见问题

在CIE考试中我需要证明收敛性吗？

大多数题目只要求你确定根的位置或运用迭代法。只有题目明确要求时才需要验证 $∣ g^{'} (x) ∣ < 1$ ，不过写出这个结论是良好的答题习惯。

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · 12
10分求根题
2023 · 13
牛顿-拉夫逊法考题
2021 · 22
迭代收敛性判断题

深入阅读

syllabus官方 CIE 9709 P3 大纲

下一步

数值方法是解决工程、数据科学和物理领域实际问题的基础，这些领域中的大多数方程都无法用代数方法求解。你在这里学到的求根迭代原理可以直接推广到数值积分、微分方程和其他高级数值技术。本子主题高度依赖求导知识，因此复习求导主题能帮助你掌握CIE P3考试中更难的数值问题。