# 数值方法

> CIE A-Level 数学 · 9709 纯数学 2 & 3
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u2-numerical-methods/

本子主题介绍无法用代数方法求解的方程根的近似值计算方法，我们涵盖了通过变号确定根的位置，以及使用给定的迭代公式求根的近似值，包括迭代可能不收敛这一情况。

**先修:** [基本函数求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-differentiation/); 连续函数的性质; 序列收敛基础

## 学习目标

- 利用变号原理确定连续函数根的位置
- 运用给定的迭代公式 $x_{n+1} = F(x_n)$ 求近似根
- 理解迭代可能因整理形式的不同而不收敛
- 给出指定精度的近似值

## 真题考频

据 OwlsPrep 对官方 CIE 9709 P2 真题的聚合（2016–2025）: **数值方法** 近 10 年出现 **126 次**——占 P2 全部真题的 **14.3%**（455 题中 126 题）.

最常考形式: 迭代法求根 (70), 牛顿-拉夫森法 (57).

## 利用变号法确定根的位置

若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a)$ 与 $f(b)$ 符号相反，则开区间 $(a, b)$ 内至少存在 $f(x) = 0$ 的一个根。这是所有数值求根的基础。

**方程的根** — 满足 $f(\alpha) = 0$ 的值 $x = \alpha$，也称为函数 $f$ 的零点。

**例题:** 证明 $e^x - 3x^2 = 0$ 在 $x = 3$ 和 $x = 4$ 之间存在一个根。

1. 定义方程对应的函数:
2. $$f(x) = e^x - 3x^2$$
3. 计算区间端点处的 $f(x)$:
4. $$f(3) = e^3 - 3(3)^2 \approx 20.0855 - 27 = -6.9145 < 0$$
5. $$f(4) = e^4 - 3(4)^2 \approx 54.598 - 48 = 6.598 > 0$$
6. $f(x)$ 由指数函数和多项式函数组合而成，对所有实数 $x$ 都连续。由于 $f(3)$ 和 $f(4)$ 符号相反，因此区间 $(3, 4)$ 内至少存在一个根。

> **warning**
>
> 变号可以证明至少存在一个根，但没有变号不能证明不存在根。与x轴相切的根（重根）或成对的根不会产生变号。

> **考试提示:** 证明区间内存在根时，一定要明确说明函数是连续的，CIE会给这个步骤分配1分。

## 不动点迭代法

为求根的近似值，我们将 $f(x) = 0$ 整理为 $x = g(x)$ 的形式。从初始猜测值 $x_0$ 开始，我们利用递推关系 $x_{n+1} = g(x_n)$ 生成近似值序列。

**例题:** 从 $x_0 = 0.5$ 出发，求 $x^3 - 3x + 1 = 0$ 在0和1之间的根，精确到2位小数。

1. 将方程整理为 $x = g(x)$ 的形式:
2. $$x^3 + 1 = 3x \implies x = \frac{x^3 + 1}{3}, \quad g(x) = \frac{x^3 + 1}{3}$$
3. 从 $x_0 = 0.5$ 出发，进行迭代并观察数值逐渐趋近于根：
4. $$x_1 = \frac{(0.5)^3 + 1}{3} = 0.375$$
5. $$x_2 = \frac{(0.375)^3 + 1}{3} \approx 0.35095$$
6. $$x_3 \approx 0.34774, \quad x_4 \approx 0.34730$$
7. $x_3$ 和 $x_4$ 保留两位小数均为0.35，因此根的近似值为0.35。

> **考试提示:** 一定要展示两个连续迭代结果四舍五入后相同，以证明你的精度是正确的。

## 迭代何时会不收敛

方程 $f(x) = 0$ 可以整理成 $x = g(x)$ 的形式，而且整理方式不止一种，选择哪一种很重要。有些整理形式产生的近似值序列会趋近于根，而另一些产生的序列则会远离根，从而迭代不收敛。（某个整理形式也可能趋近于同一方程的另一个根。）考试只会要求你使用题目给定的公式，但你应当理解并非每一种整理形式都有效。

**例题:** 方程 $x^2 - x - 1 = 0$ 有一个正根 $\alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$。比较两种整理形式，均从 $x_0 = 2$ 出发。

1. 整理形式 A：$x^2 = x + 1 \implies x = \sqrt{1 + x}$，即 $x_{n+1} = \sqrt{1 + x_n}$。从 $x_0 = 2$ 出发：
2. $$x_1 = 1.7321, \quad x_2 = 1.6529, \quad x_3 = 1.6288, \quad x_4 = 1.6213, \quad x_5 = 1.6191$$
3. 数值逐渐趋近于 $1.618$：该迭代收敛到根。
4. 整理形式 B：$x^2 - 1 = x \implies x = x^2 - 1$，即 $x_{n+1} = x_n^2 - 1$。从相同的 $x_0 = 2$ 出发：
5. $$x_1 = 3, \quad x_2 = 8, \quad x_3 = 63, \quad x_4 = 3968, \quad \ldots$$
6. 数值无限增大、远离根：该迭代发散。同一个方程，换一种整理形式，就不收敛了。

> **tip**
>
> 蛛网图（阶梯图）能直观地展示这一点：在直线 $y = x$ 与曲线 $y = g(x)$ 之间逐级作图，收敛的整理形式其台阶会逐步逼近根，而发散的整理形式其台阶会逐步远离根。实际操作中，只需算出前几个迭代值，就能看出它们是趋近于某个值还是逐渐发散。

> **考试提示:** 如果给定的迭代发散，不要以为是自己算错了。有些整理形式本身就不收敛，而 9709 从不要求你事先预判这一点——你只需使用题目给定的公式即可。

## 常见错误

- **错误做法:** 证明区间内存在根时忘记说明函数连续
  - 原因: CIE明确给这个陈述分配1分，考生经常丢分
  - 正确做法: 计算完f(a)和f(b)后，一定要加上'f(x)在[a, b]上连续'这句话
- **错误做法:** 题目要求指定精度时，只迭代一次就停止
  - 原因: 考官要求你确认你的近似值符合要求的精度
  - 正确做法: 至少计算两个连续近似值，且它们四舍五入后结果相同
- **错误做法:** 区间内没有变号就声称不存在根
  - 原因: 切线根（重根）和成对对根不会产生变号，但仍然存在
  - 正确做法: 变号只能用来证明根存在，永远不能用来证明根不存在

## 速查表

| 方法 | 核心规则 | 精度验证 |
| --- | --- | --- |
| 变号法 | f(a)f(b) < 0 + 连续 = (a,b)内存在根 | 验证区间端点四舍五入后结果相同 |
| 不动点迭代 | $x_{n+1} = g(x_n)$，来自给定的整理形式 | 两次迭代四舍五入后结果相同 |

## 下一步

数值方法是解决工程、数据科学和物理领域实际问题的基础，这些领域中的大多数方程都无法用代数方法求解。你在这里学到的求根迭代原理可以直接推广到数值积分、微分方程和其他高级数值技术。认真、系统地作答并清晰记录逐次近似值，能帮助你掌握 CIE P2/P3 考试中的数值问题。

- [求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-differentiation/)
- [函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-functions/)
- [三维向量几何（直线与平面）](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u2-vectors/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u2-numerical-methods/