# 积分 > CIE A-Level 数学 · 纯数学2和3（§2.5 / §3.5） > 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u2-integration/ 本模块讲解CIE A-Level纯数学2和3的积分技巧：两卷共用的标准积分、利用三角恒等式的积分，以及纯数学3专属的方法——arctan结果、识别$\frac{kf'(x)}{f(x)}$形式、换元积分、分部积分和部分分式积分，配有例题和常见陷阱。 **先修:** [纯数学1的核心求导法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-differentiation/); [有理函数的部分分式分解](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u2-partial-fractions/) ## 学习目标 - 记忆并应用纯数学2和3共用的标准积分，包括$e^{ax+b}$、$\frac{1}{ax+b}$和$\sin/\cos/\sec^2(ax+b)$ - 先应用三角恒等式，再积分$\sin^2 x$、$\cos^2 2x$和$\tan^2 x$ - 使用纯数学3的arctan结果，并识别$\frac{kf'(x)}{f(x)} = k\ln|f(x)|$形式的积分 - 对定积分和不定积分使用给定的换元积分法（纯数学3） - 应用分部积分，并通过部分分式积分有理函数（纯数学3） - 规避积分考题中的常见考场陷阱 ## 真题考频 据 OwlsPrep 对官方 CIE 9709 P2 真题的聚合（2016–2025）: **积分** 近 10 年出现 **232 次**——占 P2 全部真题的 **26.2%**（455 题中 232 题）. 最常考形式: 标准函数积分 (122), 分部积分 (40), 换元积分 (31), 数值积分（梯形法则） (24), 用部分分式积分 (24). ## 标准积分公式（Pure 2 & 3） 在纯数学2和3中，你要在纯数学1的基础上，把标准积分扩展到线性自变量$ax+b$的指数、倒数和三角函数形式。这些都是第二卷和第三卷共用的；纯数学3再增加一个标准结果——反正切积分$\int\frac{1}{a^2+x^2}\,dx$。 **不定积分（原函数）** — 导数等于原被积函数$f(x)$的函数，其中$C$为任意积分常数。 *记法:* \int f(x) dx = F(x) + C *例:* $2x$的原函数是$x^2 + C$ $$\begin{aligned} \int e^{ax+b} dx &= \frac{1}{a}e^{ax+b} + C \\ \int \frac{1}{ax+b} dx &= \frac{1}{a}\ln|ax+b| + C \\ \int \sin(ax+b) dx &= -\frac{1}{a}\cos(ax+b) + C \\ \int \cos(ax+b) dx &= \frac{1}{a}\sin(ax+b) + C \\ \int \sec^2 x dx &= \tan x + C \\ \int \frac{1}{a^2+x^2} dx &= \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C \end{aligned}$$ **例题:** 求不定积分$\int \frac{3}{4 + x^2} dx$ 1. 将被积函数与$\int \frac{1}{a^2+x^2} dx$的标准形式匹配，这里$a^2 = 4$，因此$a=2$。 2. $$3 \int \frac{1}{2^2 + x^2} dx$$ 3. 应用标准积分公式，加上积分常数： 4. $$3 \times \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C = \frac{3}{2}\arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C$$ > **考试提示:** 不定积分一定要写积分常数$C$，遗漏会被扣一分。 ## 利用三角恒等式积分 正弦、余弦、正切的平方没有直接的标准积分。积分前先用二倍角或毕达哥拉斯恒等式改写，使式子只剩下$\sin(kx)$、$\cos(kx)$或$\sec^2 x$项。 $$\begin{aligned} \int \sin^2 x\,dx &= \int \frac{1-\cos 2x}{2}\,dx = \frac{x}{2} - \frac{1}{4}\sin 2x + C \\ \int \cos^2 2x\,dx &= \int \frac{1+\cos 4x}{2}\,dx = \frac{x}{2} + \frac{1}{8}\sin 4x + C \\ \int \tan^2 x\,dx &= \int (\sec^2 x - 1)\,dx = \tan x - x + C \end{aligned}$$ > **tip** > > 记住三个改写：$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$、$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}$、$\tan^2 x=\sec^2 x-1$。对$\cos^2 2x$要把角翻倍：$\cos^2 2x=\frac{1+\cos 4x}{2}$。 **例题:** 求$\int \cos^2 2x\,dx$。 1. $\cos^2 2x$没有直接的积分，用二倍角恒等式$\cos^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$，取$\theta = 2x$： 2. $$\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$$ 3. 逐项积分，注意除以余弦内$x$的系数： 4. $$\int \frac{1+\cos 4x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\left(x + \frac{1}{4}\sin 4x\right) + C = \frac{x}{2} + \frac{1}{8}\sin 4x + C$$ > **考试提示:** $\sin^2 x$、$\cos^2 2x$、$\tan^2 x$都不能直接积分——必须先用三角恒等式转换。这些积分在第二卷和第三卷都会考。 ## 识别 kf'(x)/f(x) → ln|f(x)| 当分式的分子是分母导数的（常数倍）时，积分结果是自然对数。这其实就是取$u=f(x)$的换元积分，用观察法直接完成，在考试中能节省时间。 $$\begin{aligned} \int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx &= \ln|f(x)| + C \\ \int \frac{kf'(x)}{f(x)}\,dx &= k\ln|f(x)| + C \\ \int \frac{2x}{x^2+3}\,dx &= \ln(x^2+3) + C \\ \int \tan x\,dx &= \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx = -\ln|\cos x| + C \end{aligned}$$ > **tip** > > 先识别模式：分子是不是分母的导数（相差一个常数）？若常数不符，用一个标量调整。对$\int\tan x\,dx$，分子$\sin x$是$\cos x$导数的$-1$倍，因此出现负号。 **例题:** 求$\int \tan x\,dx$。 1. 把$\tan x$写成商，使模式显现： 2. $$\int \tan x\,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx$$ 3. 分母$\cos x$的导数是$-\sin x$，所以分子是$f(x)=\cos x$时$f'(x)$的$-1$倍： 4. $$= -\int \frac{-\sin x}{\cos x}\,dx = -\ln|\cos x| + C$$ > **考试提示:** 这是纯数学3的技巧。在设换元之前，先检查分子是否为分母导数的常数倍——如果是，积分结果就是对数。 ## 换元积分法 换元积分法通过更换积分变量化简复合函数的积分，它是链式求导法则的逆运算。 $$\int f(x) dx = \int f(u(x)) \times \frac{dx}{du} du$$ > **tip** > > 在9709中，换元总是由题目**给出**——你无需自己选择。使用给定的$u$的方法：对它求导以替换$dx$，把被积函数的每一部分（定积分还包括积分限）都改写为$u$的形式，然后积分。 **例题:** 使用换元$u = x^2 + 1$求$\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} dx$ 1. 对$u$关于$x$求导，得到$dx$关于$du$的表达式： 2. $$u = x^2 + 1 \implies \frac{du}{dx} = 2x \implies dx = \frac{du}{2x}$$ 3. 代入原积分，约去公共项： 4. $$\int \frac{x}{\sqrt{u}} \times \frac{du}{2x} = \int \frac{1}{2\sqrt{u}} du$$ 5. 对化简后的表达式关于$u$积分： 6. $$\frac{1}{2} \int u^{-1/2} du = \frac{1}{2} \times 2 u^{1/2} + C = \sqrt{u} + C$$ 7. 代回原变量$x$： 8. $$= \sqrt{x^2 + 1} + C$$ > **考试提示:** 对于定积分，立即将积分限更换为新变量的积分限，避免后续换元错误。 ## 分部积分法 分部积分法是乘积求导法则的逆运算，用于积分两种不同类型函数的乘积（例如$x \sin x$、$x e^x$）。 $$\int u \frac{dv}{dx} dx = uv - \int v \frac{du}{dx} dx$$ > **选择$u$的LIATE法则** > > 按以下顺序优先选择$u$：对数函数、反三角函数、代数函数、三角函数、指数函数。这个法则总能给出正确选择。 **例题:** 求$\int x e^{2x} dx$ 1. 应用LIATE法则：$x$是代数函数，$e^{2x}$是指数函数，因此设$u = x$，$\frac{dv}{dx} = e^{2x}$。 2. 计算$\frac{du}{dx}$和$v$： 3. $$\frac{du}{dx} = 1, \quad v = \int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x}$$ 4. 代入分部积分公式： 5. $$uv - \int v \frac{du}{dx} dx = \frac{1}{2}x e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x} dx$$ 6. 积分剩余项并加上常数： 7. $$= \frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C = \frac{1}{4}e^{2x}(2x - 1) + C$$ > **考试提示:** 多次分部积分时，注意符号，避免计算错误。 ## 部分分式积分法 要积分有理函数（两个多项式的分式），你需要先将其分解为部分分式，然后使用$\frac{1}{ax+b}$的标准积分结果逐项积分。 > **warning** > > 如果分子的次数大于或等于分母的次数（假有理分式），你必须先做多项式除法，再分解为部分分式。 **例题:** 求$\int \frac{3x + 1}{(x-1)(x+2)} dx$ 1. 分子次数（1）小于分母次数（2），因此这是真分式，分解为部分分式： 2. $$\frac{3x + 1}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}$$ 3. 代入分母的根求解常数$A$和$B$： 4. $$3x+1 = A(x+2) + B(x-1) \implies A = \frac{4}{3}, B = \frac{5}{3}$$ 5. 重写积分并逐项积分： 6. $$\int \left(\frac{4}{3(x-1)} + \frac{5}{3(x+2)}\right) dx$$ 7. $$= \frac{4}{3} \ln|x-1| + \frac{5}{3} \ln|x+2| + C$$ > **考试提示:** 分解为部分分式之前，一定要检查有理函数是否为假分式。 ## 常见错误 - **错误做法:** 不定积分遗漏积分常数$C$ - 原因: 阅卷官总是会给遗漏常数扣分，即使其余答案都正确 - 正确做法: 每次计算不定积分都要在末尾写上$+C$ - **错误做法:** 定积分换元后忘记更换积分限 - 原因: 这会导致代回原变量时出现常见计算错误 - 正确做法: 选择换元后立即计算新变量的积分限 - **错误做法:** 分部积分中选错$u$，导致积分更复杂 - 原因: 将指数/三角函数而不是代数函数选为$u$会带来不必要的复杂度 - 正确做法: 始终使用LIATE口诀选择正确的$u$ - **错误做法:** 复合函数忘记除以$x$的系数，例如$\int e^{2x} dx = e^{2x} + C$ - 原因: 你忘记对线性内层函数应用逆链式法则 - 正确做法: 始终除以线性项的导数，因此$\int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C$ - **错误做法:** 假有理分式跳过多项式除法步骤 - 原因: 你无法正确将假分式分解为部分分式，导致结果错误 - 正确做法: 始终检查分子和分母的次数，如果是假分式先做除法 ## 速查表 | 积分类型 | 公式 / 法则 | 要点提示 | | --- | --- | --- | | 复合函数$f(ax+b)$ | $\frac{1}{a}F(ax+b) + C$ | 除以$a$，加$C$ | | 换元积分法 | $\int f(x) dx = \int f(u(x)) \frac{dx}{du} du$ | 定积分更换积分限 | | 分部积分法 | $\int u \frac{dv}{dx} dx = uv - \int v \frac{du}{dx} dx$ | 按LIATE法则选$u$ | | $\int \frac{1}{ax+b} dx$ | $\frac{1}{a} \ln\|ax+b\| + C$ | 保留绝对值 | | $\int \frac{1}{a^2+x^2} dx$ | $\frac{1}{a} \arctan(\frac{x}{a}) + C$ | P3要求记忆 | | 假有理分式 | 先做除法，再分解为部分分式 | 不要跳过除法步骤 | | $\int \sin^2 x\,dx$ | $\frac{x}{2} - \frac{1}{4}\sin 2x + C$ | 利用$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ | | $\int \cos^2 2x\,dx$ | $\frac{x}{2} + \frac{1}{8}\sin 4x + C$ | 利用$\cos^2 2x=\frac{1+\cos 4x}{2}$ | | $\int \tan^2 x\,dx$ | $\tan x - x + C$ | 利用$\tan^2 x=\sec^2 x-1$ | | $\int \frac{kf'(x)}{f(x)}\,dx$ | $k\ln\|f(x)\| + C$ | 分子=分母的导数（P3） | ## 下一步 熟练掌握这些积分技巧是CIE纯数学2和3几乎所有后续微积分的基础，包括求解微分方程和更多应用。你还会把它们与纯数学1（§1.8）已学的旋转体体积方法结合——例如对部分分式或三角恒等式表达式积分来求体积。积分在第二、三卷中分值占比很高，题目常把多种技巧结合在一道题中（例如部分分式后换元，或多次分部积分）。现在打好熟练度，能帮助你高效应对更难、分值更高的题目。 - [数值方法](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u2-numerical-methods/) - [三维向量几何（直线与平面）](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u2-vectors/) - [微分方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u2-differential-equations/) --- 来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u2-integration/