微分求导

CIE A-Level 数学· 5 分钟阅读

1. 核心求导法则★★☆☆☆⏱ 20 min

对于函数组合，我们在标准函数基础求导的前提下，使用三条核心法则来计算导数。

📘 定义

链式法则

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

复合函数 $y = f (g (x))$ 的求导法则：先对外层函数求导，再乘以内层函数的导数。

乘积法则：对于 $y = uv$ ， $\frac{d y}{d x} = u \frac{d v}{d x} + v \frac{d u}{d x}$
商法则：对于 $y = \frac{u}{v}$ ， $\frac{d y}{d x} = \frac{v \frac{d u}{d x} - u \frac{d v}{d x}}{v ^{2}}$

📐 例题

对 $y = e^{2 x} sin (3 x)$ 关于 $x$ 求导

1
识别出 $y$ 是两个函数的乘积：令 $u = e^{2 x}$ ， $v = sin (3 x)$
2
使用链式法则分别对 $u$ 和 $v$ 求导：
3
$\frac{du}{dx} = 2e^{2x}, \quad \frac{dv}{dx} = 3\cos(3x)$
4
应用乘积法则：
5
$\frac{dy}{dx} = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx} = e^{2x}(3\cos 3x) + \sin(3x)(2e^{2x})$
6
提出公因子 $e^{2 x}$ 进行化简：
7
$\frac{dy}{dx} = e^{2x}(3\cos 3x + 2\sin 3x)$

Exam tip:

始终要化简并因式分解你的最终导数结果；评卷人只会给化简后的表达式满分。

2. 隐函数求导★★★☆☆⏱ 25 min

x和y之间的许多关系式无法整理为 $y = f (x)$ 的显式形式，我们使用隐函数求导法来求解这类情况的 $\frac{d y}{d x}$ 。

📘 定义

隐函数求导

对方程两边的每一项关于 $x$ 求导，对所有含 $y$ 的项应用链式法则。

📐 例题

求圆 $x^{2} + y^{2} = 25$ 在点 $(3, 4)$ 处的 $\frac{d y}{d x}$

1
对每一项关于 $x$ 求导：
2
$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(25)$
3
对 $y^{2}$ 应用链式法则： $\frac{d}{d x} (y^{2}) = 2 y \frac{d y}{d x}$
4
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
5
整理方程，分离出 $\frac{d y}{d x}$ ：
6
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$
7
代入 $x = 3$ ， $y = 4$ ：
8
$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4}$

3. 参数方程求导★★★★☆⏱ 25 min

当曲线由参数方程 $x = x (t)$ ， $y = y (t)$ 定义（其中 $t$ 为参数）时，我们整理链式法则得到 $\frac{d y}{d x}$ 。

📘 定义

参数方程求导

\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}

先分别求 $x$ 和 $y$ 关于 $t$ 的导数，再用 $\frac{d y}{d t}$ 除以 $\frac{d x}{d t}$ 得到 $\frac{d y}{d x}$ 。

📐 例题

求参数曲线 $x = 2 cos t$ ， $y = 3 sin t$ （ $0 < t < \frac{π}{2}$ ）的 $\frac{d y}{d x}$

1
分别对 $x$ 和 $y$ 关于 $t$ 求导：
2
$\frac{dx}{dt} = -2\sin t, \quad \frac{dy}{dt} = 3\cos t$
3
应用参数方程求导公式：
4
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3\cos t}{-2\sin t} = -\frac{3}{2}\cot t$

Exam tip:

求二阶导数 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 时，记住 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{\frac{d}{d t} ( \frac{d y}{d x} )}{d x / d t}$ ，不要直接对 $\frac{d y}{d x}$ 关于 $t$ 求导就结束。

4. 应用：变化率问题★★★☆☆⏱ 20 min

我们使用链式法则关联两个随时间变化的量的变化率，这是求导在考试中非常常见的应用。

📐 例题

一个球形气球的半径以 $0.5 cm s^{- 1}$ 的速率增加，求半径为 $10 cm$ 时体积的增加速率。

1
球的体积公式为 $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ 。我们已知 $\frac{d r}{d t} = 0.5$ ，需要求 $\frac{d V}{d t}$ 。
2
应用链式法则：
3
$\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dr} \cdot \frac{dr}{dt}$
4
对 $V$ 关于 $r$ 求导：
5
$\frac{dV}{dr} = 4\pi r^2$
6
代入 $r = 10$ 和 $\frac{d r}{d t} = 0.5$ ：
7
$\frac{dV}{dt} = 4\pi (10)^2 (0.5) = 200\pi \text{ cm}^3\text{s}^{-1}$

5. 常见陷阱

错误做法:

使用链式法则时忘记乘以内层函数的导数

原因:

你只对外层函数求导，遗漏了内层导数因子

正确做法:

始终明确识别内层和外层函数，不要跳过书写内层导数的步骤

错误做法:

混淆商法则中项的顺序

原因:

大多数人会错误颠倒分子的项

正确做法:

记住助记：'顶导乘底减去底导乘顶，结果除以底的平方'

错误做法:

隐函数求导中对含 $y$ 项求导时忘记添加 $\frac{d y}{d x}$ 因子

原因:

你不小心将 $y$ 当作常数，而非 $x$ 的函数处理

正确做法:

每次对含 $y$ 的项求导时，都要通过链式法则添加 $\frac{d y}{d x}$ 因子

错误做法:

参数曲线二阶导数直接对 $\frac{d y}{d x}$ 关于 $t$ 求导得到结果

原因:

你忘记了 $\frac{d y}{d x}$ 仍然是 $t$ 的函数，而非 $x$ 的函数

正确做法:

对 $\frac{d y}{d x}$ 关于 $t$ 求导后，将结果除以 $\frac{d x}{d t}$ 才能得到 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$

错误做法:

变化率问题中使用不匹配的单位

原因:

你忘记在计算前将所有量转换为一致的单位

正确做法:

在解题开始时就将所有长度、时间和体积转换为匹配的单位

6. 速查表

法则	公式
链式法则	$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$
乘积法则	$\frac{d}{d x} (uv) = u \frac{d v}{d x} + v \frac{d u}{d x}$
商法则	$\frac{d}{d x} (\frac{u}{v}) = \frac{v \frac{d u}{d x} - u \frac{d v}{d x}}{v ^{2}}$
隐函数求导	对所有项求导，含 $y$ 项添加 $\frac{d y}{d x}$
参数一阶导数	$\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d t}{d x / d t}$
参数二阶导数	$\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{d / d t ( d y / d x )}{d x / d t}$
变化率	$\frac{d A}{d t} = \frac{d A}{d x} \cdot \frac{d x}{d t}$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · 3
隐函数求导的斜率计算
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求导是CIE P3中几乎所有剩余微积分主题的基础，包括进阶积分技巧、求解微分方程以及分析复杂曲线。Paper 3的考题经常将求导与反三角函数、指数增长等其他考点结合，因此掌握这些技巧对取得高分至关重要。接下来，你将基于这些核心求导技巧学习求切线、法线、驻点，求解优化问题，之后再学习积分——求导的逆运算，它占P3考试的很大比重。