# 微分求导

> CIE A-Level 数学 · 9709 纯数学 2 & 3
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u2-differentiation/

本小节讲解 CIE A-Level 纯数学 2 和 3 的核心高级求导技巧，包括乘积法则、商法则、链式法则、隐函数求导、参数方程求导以及变化率问题，是考试中占比很高的考点。其中 $\tan^{-1}x$ 的导数是本主题唯一仅 Pure 3 要求（Pure 2 不要求）的内容。

**先修:** [多项式和标准函数的基础求导（P1内容）](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-basic-differentiation/); 掌握指数函数、对数函数和三角函数的相关知识

## 学习目标

- 对指数函数、对数函数、三角函数等标准高级函数进行求导
- 对函数组合应用乘积法则、商法则和链式法则
- 对非显式函数进行隐函数求导和参数方程求导
- 使用链式法则求解变化率问题
- 对 $\tan^{-1}x$ 及复合形式 $\tan^{-1}(ax+b)$ 求导（仅 Pure 3）

## 真题考频

据 OwlsPrep 对官方 CIE 9709 P2 真题的聚合（2016–2025）: **微分求导** 近 10 年出现 **257 次**——占 P2 全部真题的 **28.4%**（455 题中 257 题）.

最常考形式: 乘积、商、链式法则 (130), 参数方程求导 (58), 隐函数求导 (50), 指数、对数、三角函数导数 (20), 相关变化率 (1).

## 核心求导法则

对于函数组合，我们在标准函数基础求导的前提下，使用三条核心法则来计算导数。

**链式法则** — 复合函数$y = f(g(x))$的求导法则：先对外层函数求导，再乘以内层函数的导数。

*记法:* \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

- 乘积法则：对于$y = uv$，$\frac{dy}{dx} = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}$
- 商法则：对于$y = \frac{u}{v}$，$\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}$

**例题:** 对$y = e^{2x} \sin(3x)$关于$x$求导

1. 识别出$y$是两个函数的乘积：令$u = e^{2x}$，$v = \sin(3x)$
2. 使用链式法则分别对$u$和$v$求导：
3. $$\frac{du}{dx} = 2e^{2x}, \quad \frac{dv}{dx} = 3\cos(3x)$$
4. 应用乘积法则：
5. $$\frac{dy}{dx} = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx} = e^{2x}(3\cos 3x) + \sin(3x)(2e^{2x})$$
6. 提出公因子$e^{2x}$进行化简：
7. $$\frac{dy}{dx} = e^{2x}(3\cos 3x + 2\sin 3x)$$

**反正切的导数（仅 Pure 3）** — 这一标准结果仅 Pure 3 要求。复合形式：$\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}(ax + b)\right) = \frac{a}{1 + (ax + b)^2}$。它是本主题中唯一仅 Pure 3 考查、Pure 2 不考查的求导内容。

*记法:* \frac{d}{dx}\left(\tan^{-1} x\right) = \frac{1}{1 + x^2}

**例题:** 对 $y = \tan^{-1}(3x)$ 关于 $x$ 求导（仅 Pure 3）

1. 应用反正切复合公式，其中 $a = 3$，$b = 0$：
2. $$\frac{dy}{dx} = \frac{a}{1 + (ax + b)^2} = \frac{3}{1 + (3x)^2}$$
3. 化简分母：
4. $$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{1 + 9x^2}$$

> **info**
>
> 9709 大纲不要求 $\sin^{-1} x$ 和 $\cos^{-1} x$ 的导数；在反三角函数中只考查 $\tan^{-1} x$（仅 Pure 3）。

> **考试提示:** 始终要化简并因式分解你的最终导数结果；评卷人只会给化简后的表达式满分。

## 隐函数求导

x和y之间的许多关系式无法整理为$y = f(x)$的显式形式，我们使用隐函数求导法来求解这类情况的$\frac{dy}{dx}$。

**隐函数求导** — 对方程两边的每一项关于$x$求导，对所有含$y$的项应用链式法则。

**例题:** 求圆$x^2 + y^2 = 25$在点$(3, 4)$处的$\frac{dy}{dx}$

1. 对每一项关于$x$求导：
2. $$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(25)$$
3. 对$y^2$应用链式法则：$\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \frac{dy}{dx}$
4. $$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$$
5. 整理方程，分离出$\frac{dy}{dx}$：
6. $$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$
7. 代入$x=3$，$y=4$：
8. $$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4}$$

> **warning**
>
> 对含$y$的项求导时，你必须添加$\frac{dy}{dx}$因子；忘记这一点是隐函数求导中最常见的错误。

## 参数方程求导

当曲线由参数方程$x = x(t)$，$y = y(t)$定义（其中$t$为参数）时，我们整理链式法则得到$\frac{dy}{dx}$。

**参数方程求导** — 先分别求$x$和$y$关于$t$的导数，再用$\frac{dy}{dt}$除以$\frac{dx}{dt}$得到$\frac{dy}{dx}$。

*记法:* \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}

**例题:** 求参数曲线$x = 2\cos t$，$y = 3\sin t$（$0 < t < \frac{\pi}{2}$）的$\frac{dy}{dx}$

1. 分别对$x$和$y$关于$t$求导：
2. $$\frac{dx}{dt} = -2\sin t, \quad \frac{dy}{dt} = 3\cos t$$
3. 应用参数方程求导公式：
4. $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3\cos t}{-2\sin t} = -\frac{3}{2}\cot t$$

> **考试提示:** 求二阶导数$\frac{d^2y}{dx^2}$时，记住$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}$，不要直接对$\frac{dy}{dx}$关于$t$求导就结束。

## 应用：变化率问题

我们使用链式法则关联两个随时间变化的量的变化率，这是求导在考试中非常常见的应用。

**例题:** 一个球形气球的半径以$0.5 \text{ cm s}^{-1}$的速率增加，求半径为$10 \text{ cm}$时体积的增加速率。

1. 球的体积公式为$V = \frac{4}{3}\pi r^3$。我们已知$\frac{dr}{dt} = 0.5$，需要求$\frac{dV}{dt}$。
2. 应用链式法则：
3. $$\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dr} \cdot \frac{dr}{dt}$$
4. 对$V$关于$r$求导：
5. $$\frac{dV}{dr} = 4\pi r^2$$
6. 代入$r = 10$和$\frac{dr}{dt} = 0.5$：
7. $$\frac{dV}{dt} = 4\pi (10)^2 (0.5) = 200\pi \text{ cm}^3\text{s}^{-1}$$

## 常见错误

- **错误做法:** 使用链式法则时忘记乘以内层函数的导数
  - 原因: 你只对外层函数求导，遗漏了内层导数因子
  - 正确做法: 始终明确识别内层和外层函数，不要跳过书写内层导数的步骤
- **错误做法:** 混淆商法则中项的顺序
  - 原因: 大多数人会错误颠倒分子的项
  - 正确做法: 记住助记：'顶导乘底减去底导乘顶，结果除以底的平方'
- **错误做法:** 隐函数求导中对含$y$项求导时忘记添加$\frac{dy}{dx}$因子
  - 原因: 你不小心将$y$当作常数，而非$x$的函数处理
  - 正确做法: 每次对含$y$的项求导时，都要通过链式法则添加$\frac{dy}{dx}$因子
- **错误做法:** 参数曲线二阶导数直接对$\frac{dy}{dx}$关于$t$求导得到结果
  - 原因: 你忘记了$\frac{dy}{dx}$仍然是$t$的函数，而非$x$的函数
  - 正确做法: 对$\frac{dy}{dx}$关于$t$求导后，将结果除以$\frac{dx}{dt}$才能得到$\frac{d^2y}{dx^2}$
- **错误做法:** 变化率问题中使用不匹配的单位
  - 原因: 你忘记在计算前将所有量转换为一致的单位
  - 正确做法: 在解题开始时就将所有长度、时间和体积转换为匹配的单位

## 速查表

| 法则 | 公式 |
| --- | --- |
| $e^x$ | $\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$；$\frac{d}{dx}(e^{ax+b}) = a e^{ax+b}$ |
| $\ln x$ | $\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$；$\frac{d}{dx}(\ln(ax+b)) = \frac{a}{ax+b}$ |
| $\sin x$ | $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$ |
| $\cos x$ | $\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$ |
| $\tan x$ | $\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x$ |
| $\tan^{-1} x$（仅 Pure 3） | $\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) = \frac{1}{1+x^2}$；$\frac{d}{dx}(\tan^{-1}(ax+b)) = \frac{a}{1+(ax+b)^2}$ |
| 链式法则 | $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ |
| 乘积法则 | $\frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}$ |
| 商法则 | $\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}$ |
| 隐函数求导 | 对所有项求导，含$y$项添加$\frac{dy}{dx}$ |
| 参数一阶导数 | $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ |
| 参数二阶导数 | $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d/dt(dy/dx)}{dx/dt}$ |
| 变化率 | $\frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$ |

## 下一步

求导是CIE P3中几乎所有剩余微积分主题的基础，包括进阶积分技巧、求解微分方程以及分析复杂曲线。Paper 3的考题经常将求导与反三角函数、指数增长等其他考点结合，因此掌握这些技巧对取得高分至关重要。接下来，你将基于这些核心求导技巧学习求切线、法线、驻点，求解优化问题，之后再学习积分——求导的逆运算，它占P3考试的很大比重。

- [积分](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u2-integration/)
- [数值方法](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u2-numerical-methods/)
- [三维向量几何（直线与平面）](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u2-vectors/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u2-differentiation/