# 微分方程

> CIE A-Level 数学 · 纯数学3 第2单元
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u2-differential-equations/

本模块讲解CIE A-Level 9709纯数学3的一阶可分离变量微分方程，内容包括根据实际背景建立方程、求通解，以及根据初始条件计算特解。

**先修:** [基本函数的不定积分](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-indefinite-integration/); [基本求导法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-differentiation/)

## 学习目标

- 根据实际和抽象问题建立微分方程
- 识别并求解一阶可分离变量微分方程
- 根据初始条件求特解
- 在实际背景下解释解的含义，包括当 $t \to \infty$ 时的长期（极限）行为

## 真题考频

据 OwlsPrep 对官方 CIE 9709 P3 真题的聚合（2016–2025）: **微分方程** 近 10 年出现 **63 次**——占 P3 全部真题的 **9.7%**（651 题中 63 题）.

最常考形式: 可分离变量的微分方程 (58), 微分方程建模 (18).

## 建立微分方程

微分方程将函数与其导数关联起来。在CIE 9709考试中，你经常需要根据描述性问题建立微分方程，这类问题通常涉及变化率。

**微分方程** — 包含至少一个因变量对自变量的导数的方程

*例:* $\frac{dy}{dx} = 2xy$ 是一阶微分方程

> **tip**
>
> 根据实际背景建立方程时，一定要确定哪个量在变化，它和什么成正比，以及比例常数的符号。对于衰减过程，变化率为负。

**例题:** 放射性物质的质量$m$的减少率与$t$时刻的质量成正比。为这个关系建立微分方程。

1. 首先确定变化率：减少率意味着导数为负：
2. $$-\frac{dm}{dt}$$
3. 该变化率与当前质量$m$成正比，因此：
4. $$-\frac{dm}{dt} \propto m$$
5. 引入正的比例常数$k$，得到最终方程：
6. $$\frac{dm}{dt} = -km$$

## 求解一阶可分离变量微分方程

如果可以将一阶微分方程整理，使所有$y$项都在左侧，所有$x$项都在右侧，那么该方程就是可分离变量的。之后我们对两侧积分即可得到通解。

**可分离变量微分方程** — 可以改写为$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$形式的一阶微分方程

*例:* $\frac{dy}{dx} = xy^2$ 是可分离变量方程，$\frac{dy}{dx} = x+y$ 不是

**例题:** 求$\frac{dy}{dx} = \frac{e^x y}{y + 1}$的通解。

1. 整理方程分离变量：
2. $$\frac{y + 1}{y} dy = e^x dx$$
3. 化简左侧：
4. $$\left(1 + \frac{1}{y}\right) dy = e^x dx$$
5. 对两侧积分，仅添加一个任意常数：
6. $$\int \left(1 + \frac{1}{y}\right) dy = \int e^x dx$$
7. 计算积分得到通解：
8. $$y + \ln|y| = e^x + C$$

## 求特解

通解包含一个任意积分常数。当给出初始条件（因变量和自变量的一组对应值）后，我们代入这些值求出常数，得到唯一的特解。

**例题:** 已知$\frac{dy}{dx} = 2y$，且当$x=0$时$y=4$，求特解。

1. 分离变量并积分得到通解：
2. $$\int \frac{1}{y} dy = \int 2 dx \implies \ln|y| = 2x + C$$
3. 代入初始条件$y=4, x=0$求$C$：
4. $$\ln 4 = 2(0) + C \implies C = \ln 4$$
5. 代回$C$并整理得到$y$：
6. $$\ln y = 2x + \ln 4 \implies y = 4e^{2x}$$

> **tip**
>
> 一定要将解代回原微分方程，验证它是否成立。

## 解释解与长期行为

求出解之后，考试常常要求你在实际背景下解释它——尤其是当 $t \to \infty$ 时的行为。对于趋向某个固定水平的增长或衰减，指数项会逐渐衰减，解会趋近一个常数极限值。求这个极限通常就是令 $t \to \infty$，看哪些项趋于零。受限（逻辑斯谛）增长模型，例如 $\frac{dx}{dt} = kx(a - x)$，需用部分分式——纯数学3的技巧——积分，并趋近极限值 $x = a$。

**例题:** 某种群 $P$（单位：千）按逻辑斯谛模型 $\frac{dP}{dt} = \frac{1}{2} P(4 - P)$ 增长，其中 $t$ 以年为单位。已知当 $t = 0$ 时 $P = 1$，求 $P$ 关于 $t$ 的表达式，并说明 $P$ 在长期趋近的值。

1. 分离变量——左侧需要用部分分式：
2. $$\frac{1}{P(4 - P)}\, dP = \frac{1}{2}\, dt$$
3. 将左侧分解为部分分式：
4. $$\frac{1}{P(4 - P)} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{P} + \frac{1}{4 - P}\right)$$
5. 对两侧积分，仅添加一个任意常数：
6. $$\frac{1}{4}\left(\ln P - \ln(4 - P)\right) = \frac{1}{2}t + C$$
7. 合并对数并乘以4：
8. $$\ln\!\left(\frac{P}{4 - P}\right) = 2t + C_1$$
9. 代入初始条件 $P = 1,\ t = 0$ 求常数：
10. $$\ln\tfrac{1}{3} = C_1 \implies C_1 = -\ln 3$$
11. 整理，解出 $P$：
12. $$\frac{P}{4 - P} = \tfrac{1}{3}e^{2t} \implies P = \frac{4e^{2t}}{3 + e^{2t}}$$
13. 解释长期行为。将 $P = \dfrac{4}{3e^{-2t} + 1}$，当 $t \to \infty$ 时 $e^{-2t} \to 0$，因此 $P \to 4$。种群趋近极限值4千——即该模型的环境承载容量。

> **tip**
>
> 求极限值时，将解改写成时间项为 $e^{-\lambda t}$（$\lambda > 0$）的形式，然后令 $t \to \infty$，该项趋于 $0$，剩下的部分就是极限值。

## 常见错误

- **错误做法:** 递减变化率忘记加负号
  - 原因: 大多数学生记得比例关系，但忽略了'减少率'意味着导数为负
  - 正确做法: 递减量一定要加负号：质量递减时，对于正的$k$，有$\frac{dm}{dt} = -km$
- **错误做法:** 分离变量后给两侧都加积分常数
  - 原因: 两个任意常数可以合并为一个，这种做法会导致不必要的错误化简
  - 正确做法: 只需要添加一个任意常数，放在自变量项那一侧即可
- **错误做法:** 积分$\frac{1}{y}$时去掉绝对值符号
  - 原因: 这会在你指数化化简时导致$y$的符号错误
  - 正确做法: 在代入初始条件确认$y$的符号之前，保留绝对值符号
- **错误做法:** 不将特解代入原微分方程验证
  - 原因: 积分错误或整理错误很常见，这个检查可以快速发现错误
  - 正确做法: 对解求导，代回原微分方程，确认两侧相等

## 速查表

| 步骤 | 可分离变量微分方程的操作 |
| --- | --- |
| 1 | 整理为$\frac{1}{g(y)} dy = f(x) dx$ |
| 2 | 对两侧积分，添加一个任意常数$C$ |
| 3 | 代入初始条件求$C$的值 |
| 4 | 整理出$y$并按要求化简 |
| 5 | 在原微分方程中验证解 |

## 下一步

微分方程是微积分的核心主题，在物理、化学、经济学和工程学中都有广泛应用。分离变量是9709中唯一的微分方程解法；积分因子法和二阶方程属于进阶数学9231。若要在9709范围内深入，重点应放在熟练掌握纯数学3中这些方程所依赖的标准积分技巧，尤其是部分分式，因为更高的分数来自积分和解释本身，而非某种新的解法。微分方程也经常出现在涉及运动学的力学问题中，因此你在这里学到的基础知识将为你学习大纲其他单元提供支持。

- [复数](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u2-complex-numbers/)
- [力学](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u3-overview/)
- [运动学](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u3-kinematics/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u2-differential-equations/