复数

CIE A-Level 数学· 20 分钟阅读

1. 定义与基本表示★★☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

复数

z = x + iy

形式为 $x + i y$ 的数，其中 $x, y \in R$ ，且 $i^{2} = - 1$ 。 $x$ 是实部， $y$ 是虚部。

例:

对于 $z = 3 - 2 i$ ，$ \text{Re}(z) = 3 $，$ \text{Im}(z) = -2$。

复数可以在阿根图上表示为点 $(x, y)$ ：阿根图是一个坐标平面，横轴为实轴，纵轴为虚轴。

📐 例题

在阿根图上画出 $z_{1} = 2 + 3 i$ 和 $z_{2} = - 1 - 4 i$ ，并写出$ \text{Re}(z_1) $和$ \text{Im}(z_2)$。

1
从直角坐标形式提取坐标： $z_{1}$ 的实部为2，虚部为3，因此对应点 $(2, 3)$ 。
2
对于 $z_{2} = - 1 - 4 i$ ，实部为 $- 1$ ，虚部为 $- 4$ ，因此对应点 $(- 1, - 4)$ 。
3
在网格上画出两个点，x轴标注为'实轴'，y轴标注为'虚轴'。
4
最终答案：$ \text{Re}(z_1) = 2 $，$ \text{Im}(z_2) = -4$。

Exam tip:

绘制阿根图时，务必清晰标注坐标轴和点，以获得全部方法分。

2. 复数的运算★★★☆☆⏱ 7 min

复数的加减法遵循简单规则：实部和虚部分别相加/相减。乘法与二项式展开方法相同，再用 $i^{2} = - 1$ 化简。

📘 定义

复共轭

$z^{*}$ or $\overline{z}$

对于 $z = x + i y$ ，共轭复数为 $z^{*} = x - i y$ ，通过改变虚部的符号得到。核心性质为 $z z^{*} = ∣ z ∣^{2}$ ，是一个实数。

例:

$5 + 2 i$ 的共轭复数是 $5 - 2 i$ 。

计算两个复数的除法时，将分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母变为实数。

📐 例题

将 $\frac{3 + 2 i}{1 - 4 i}$ 化简为直角坐标形式 $x + i y$ 。

1
分母 $1 - 4 i$ 的共轭复数是 $1 + 4 i$ 。将分子分母同乘以该共轭复数：
2
$\frac{(3 + 2i)(1 + 4i)}{(1 - 4i)(1 + 4i)}$
3
用平方差公式展开分母： $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ ：
4
$(1)^2 - (4i)^2 = 1 - 16i^2 = 1 - 16(-1) = 17$
5
展开分子：
6
$3(1) + 3(4i) + 2i(1) + 2i(4i) = 3 + 12i + 2i + 8i^2 = 3 + 14i - 8 = -5 + 14i$
7
化简得到直角坐标形式：
8
$\frac{-5 + 14i}{17} = -\frac{5}{17} + \frac{14}{17}i$

3. 模与主辐角★★★★☆⏱ 6 min

任意非零复数都可以用模（到原点的距离）和辐角（与正实轴的夹角）描述。在CIE考试中，主辐角定义在范围 $- π < ar g (z) \leq π$ 内。

📘 定义

模与辐角

$∣ z ∣$ (modulus), $ar g (z)$ (argument)

对于 $z = x + i y$ ： $∣ z ∣ = x^{2} + y^{2}$ ，且 $tan (ar g (z)) = \frac{y}{x}$ 。必须根据复数所在象限调整角度。

📐 例题

求 $z = - 1 + i 3$ 的模和主辐角，结果以弧度表示。

1
确定 $x = - 1$ （实部）， $y = 3$ （虚部）。
2
计算模：
3
$|z| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$
4
求参考角： $tan θ = \frac{y}{x} = \frac{3}{- 1} = - 3$ ，因此参考角为 $\frac{π}{3}$ 。
5
检查象限： $x < 0$ ， $y > 0$ ，因此 $z$ 位于第二象限。
6
$\arg(z) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$
7
最终答案： $∣ z ∣ = 2$ ， $ar g (z) = \frac{2 π}{3}$ ，符合主辐角的范围要求。

Exam tip:

绝对不要直接把计算器输出的 $arctan (\frac{y}{x})$ 作为辐角。务必根据正确象限调整。

4. 复共轭根定理★★★☆☆⏱ 5 min

当多项式的所有系数都是实数时，任何复根的共轭复数也一定是该多项式的根。这个性质让我们在仅知道一个复根的情况下，就能求出未知根并构造多项式。

📘 定义

复共轭根定理

如果 $p (x)$ 是实系数多项式，且 $z = a + ib$ 是 $p (x) = 0$ 的根，那么它的共轭 $z^{*} = a - ib$ 也是根。

📐 例题

一个实系数二次方程有一个根为 $2 - 3 i$ ，求该二次方程。

1
根据共轭根定理，第二个根是 $2 - 3 i$ 的共轭，即 $2 + 3 i$ 。
2
计算根的和： $(2 - 3 i) + (2 + 3 i) = 4$ 。
3
用平方差公式计算根的积：
4
$(2 - 3i)(2 + 3i) = 2^2 - (3i)^2 = 4 - (-9) = 13$
5
对于二次方程 $x^{2} - (根的和) x + (根的积) = 0$ ，代入数值：
6
$x^2 - 4x + 13 = 0$

5. 常见陷阱

错误做法:

错误认为 $i^{2} = 1$ ，推导为 $i = - 1$ ，因此 $i^{2} = (- 1) (- 1) = 1 = 1$

原因:

法则 $a b = ab$ 仅适用于非负实数 $a$ 和 $b$ ，因此这种扩展是不成立的。

正确做法:

始终直接使用定义 $i^{2} = - 1$ ，不要将实数的根式法则扩展到负数。

错误做法:

直接写出 $ar g (z) = arctan (\frac{y}{x})$ ，没有根据象限调整

原因:

$arctan$ 的输出范围仅在 $- \frac{π}{2}$ 到 $\frac{π}{2}$ 之间，因此对于第二和第三象限的复数会得到错误角度。

正确做法:

务必检查复数所在象限，根据需要加减 $π$ 得到主辐角。

错误做法:

做复数除法时，只将分子乘以分母的共轭复数

原因:

这会改变分数的值，导致错误结果。

正确做法:

始终将分子分母同乘以共轭复数，保持分数值不变。

错误做法:

对复系数多项式使用共轭根定理

原因:

该定理仅在多项式所有系数都是实数时成立。

正确做法:

仅当题目明确说明多项式是实系数时，才使用共轭根定理。

6. 速查表

性质	对于 $z = x + i y, z_{1} = x_{1} + i y_{1}, z_{2} = x_{2} + i y_{2}$ 的运算法则
加法	$z_{1} + z_{2} = (x_{1} + x_{2}) + i (y_{1} + y_{2})$
减法	$z_{1} - z_{2} = (x_{1} - x_{2}) + i (y_{1} - y_{2})$
乘法	$z_{1} z_{2} = (x_{1} x_{2} - y_{1} y_{2}) + i (x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1})$
除法	$\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{z _{1} z _{2}^{*}}{∣ z _{2} ∣ ^{2}}$
共轭	$z^{} = x - i y, z z^{} = ∣ z ∣^{2}$ (always real)
模	$∣ z ∣ = x^{2} + y^{2}$
辐角	$tan ar g (z) = \frac{y}{x}$ , adjust for quadrant, $- π < ar g (z) \leq π$
共轭根定理	实系数多项式的复根以共轭对形式出现

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · 3
模-辐角转换
2022 · 3
由复数根求二次方程
2021 · 3
复数除法

下一步

本小节介绍了CIE 3号卷中复数后续内容所需的基础概念。掌握这些基础会让你学习极坐标形式、阿根图轨迹、棣莫弗定理等更高级概念时轻松很多。复数经常出现在与多项式和三角学结合的考题中，因此扎实掌握本小节内容对在3号卷中取得高分至关重要。