# 复数

> CIE A-Level 数学 · 纯数学3
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u2-complex-numbers/

本小节扩展实数系，引入复数，使无实根的方程得以求解。你将学习复数的基本运算、核心性质（模、辐角、共轭）以及在阿根图上的表示。

**先修:** [二次方程与判别式](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-quadratic-equations/); [坐标几何基础](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-coordinate-geometry/)

## 学习目标

- 记住复数和虚数单位$i$的定义
- 对直角坐标形式的复数进行算术运算
- 计算任意复数的模、辐角和共轭复数
- 对实系数多项式应用共轭根定理
- 用联立方程求复数的平方根
- 将复数表示为模-辐角（极坐标）形式和指数形式，并在该形式下进行乘法和除法
- 在阿根图上从几何角度理解共轭、加法和乘法
- 画出并描述由$|z-a|=r$、$|z-a|=|z-b|$和$\arg(z-a)=\alpha$定义的轨迹，包括简单的不等式区域

## 真题考频

据 OwlsPrep 对官方 CIE 9709 P3 真题的聚合（2016–2025）: **复数** 近 10 年出现 **82 次**——占 P3 全部真题的 **12.6%**（651 题中 82 题）.

最常考形式: 复数：直角坐标形式 (50), Argand 图上的轨迹 (46), 模与幅角 (35), 多项式复根 (12).

## 定义与基本表示

**复数** — 形式为$x + iy$的数，其中$x, y \in \mathbb{R}$，且$i^2 = -1$。$x$是实部，$y$是虚部。

*记法:* z = x + iy

*例:* 对于$z = 3 - 2i$，$
\text{Re}(z) = 3$，$
\text{Im}(z) = -2$。

复数可以在**阿根图**上表示为点$(x, y)$：阿根图是一个坐标平面，横轴为实轴，纵轴为虚轴。

**例题:** 在阿根图上画出$z_1 = 2 + 3i$和$z_2 = -1 - 4i$，并写出$
\text{Re}(z_1)$和$
\text{Im}(z_2)$。

1. 从直角坐标形式提取坐标：$z_1$的实部为2，虚部为3，因此对应点$(2, 3)$。
2. 对于$z_2 = -1 - 4i$，实部为$-1$，虚部为$-4$，因此对应点$(-1, -4)$。
3. 在网格上画出两个点，x轴标注为'实轴'，y轴标注为'虚轴'。
4. 最终答案：$
\text{Re}(z_1) = 2$，$
\text{Im}(z_2) = -4$。

> **考试提示:** 绘制阿根图时，务必清晰标注坐标轴和点，以获得全部方法分。

## 复数的运算

复数的加减法遵循简单规则：实部和虚部分别相加/相减。乘法与二项式展开方法相同，再用$i^2 = -1$化简。

**复共轭** — 对于$z = x + iy$，共轭复数为$z^* = x - iy$，通过改变虚部的符号得到。核心性质为$zz^* = |z|^2$，是一个实数。

*记法:* $z^*$ or $\overline{z}$

*例:* $5 + 2i$的共轭复数是$5 - 2i$。

计算两个复数的除法时，将分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母变为实数。

**例题:** 将$\frac{3 + 2i}{1 - 4i}$化简为直角坐标形式$x + iy$。

1. 分母$1 - 4i$的共轭复数是$1 + 4i$。将分子分母同乘以该共轭复数：
2. $$\frac{(3 + 2i)(1 + 4i)}{(1 - 4i)(1 + 4i)}$$
3. 用平方差公式展开分母：$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$：
4. $$(1)^2 - (4i)^2 = 1 - 16i^2 = 1 - 16(-1) = 17$$
5. 展开分子：
6. $$3(1) + 3(4i) + 2i(1) + 2i(4i) = 3 + 12i + 2i + 8i^2 = 3 + 14i - 8 = -5 + 14i$$
7. 化简得到直角坐标形式：
8. $$\frac{-5 + 14i}{17} = -\frac{5}{17} + \frac{14}{17}i$$

> **warning**
>
> 求共轭复数时，切记要正确改变虚部的符号。常见错误是反而改变了实部的符号。

## 复数的平方根

每个非零复数都恰好有**两个**平方根。要用直角坐标形式求$\sqrt{a+ib}$，令$(x+iy)^2 = a + ib$，展开后比较实部和虚部，得到两个联立方程。

**通过比较实部虚部求平方根** — 展开得$(x^2 - y^2) + 2xyi = a + ib$。比较实部与虚部：$x^2 - y^2 = a$，$2xy = b$。对**实数**$x, y$求解这组方程；两个解互为相反数。

*记法:* (x+iy)^2 = a + ib

*例:* 对于$\sqrt{5+12i}$：$x^2 - y^2 = 5$，$2xy = 12$。

**例题:** 求$5 + 12i$的两个平方根，每个都以$x + iy$形式给出。

1. 设$\sqrt{5+12i} = x + iy$，其中$x, y$为实数。两边平方：
2. $$(x+iy)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi = 5 + 12i$$
3. 比较实部与虚部，列出两个方程：
4. $$x^2 - y^2 = 5, \qquad 2xy = 12$$
5. 由第二个方程得$y = \frac{6}{x}$。代入第一个方程：
6. $$x^2 - \frac{36}{x^2} = 5 \implies x^4 - 5x^2 - 36 = 0$$
7. 这是关于$x^2$的二次方程：$(x^2 - 9)(x^2 + 4) = 0$。因为$x$是实数，所以$x^2 = 9$，即$x = \pm 3$。
8. 当$x = 3$时：$y = \frac{6}{3} = 2$。当$x = -3$时：$y = \frac{6}{-3} = -2$。
9. 两个平方根为$3 + 2i$和$-3 - 2i$，即$\pm(3 + 2i)$。

> **tip**
>
> 通过平方来检验：$(3+2i)^2 = 9 + 12i + 4i^2 = 5 + 12i$。两个根总是只相差一个整体符号，因此求出一个后，另一个就是它的相反数。

> **考试提示:** 保持$x$和$y$为实数：舍去任何使$x^2$为负的解。利用$2xy = b$来确定$y$相对于$x$的符号，可以避免多余的答案。

## 模与主辐角

任意非零复数都可以用模（到原点的距离）和辐角（与正实轴的夹角）描述。在CIE考试中，主辐角定义在范围$-\pi < \arg(z) \leq \pi$内。

**模与辐角** — 对于$z = x + iy$：$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$，且$\tan(\arg(z)) = \frac{y}{x}$。必须根据复数所在象限调整角度。

*记法:* $|z|$（模），$\arg(z)$（辐角）

**例题:** 求$z = -1 + i\sqrt{3}$的模和主辐角，结果以弧度表示。

1. 确定$x = -1$（实部），$y = \sqrt{3}$（虚部）。
2. 计算模：
3. $$|z| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$$
4. 求参考角：$\tan\theta = \frac{y}{x} = \frac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3}$，因此参考角为$\frac{\pi}{3}$。
5. 检查象限：$x < 0$，$y > 0$，因此$z$位于第二象限。
6. $$\arg(z) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$$
7. 最终答案：$|z| = 2$，$\arg(z) = \frac{2\pi}{3}$，符合主辐角的范围要求。

> **tip**
>
> 快速检查：如果你的辐角不在$(-\pi, \pi]$范围内，加减$2\pi$即可得到主辐角。

> **考试提示:** 绝对不要直接把计算器输出的$\arctan(\frac{y}{x})$作为辐角。务必根据正确象限调整。

## 模-辐角（极坐标）形式

除了$x + iy$，复数还可以用它的模$r = |z|$和辐角$\theta = \arg(z)$来表示。这种**模-辐角（极坐标）形式**使乘法和除法变得特别简单。

**模-辐角（极坐标）与指数形式** — 其中$r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \geq 0$，$\theta = \arg(z)$取主值范围$-\pi < \theta \leq \pi$。指数形式$re^{i\theta}$是同一个数的等价记法，其中$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$。

*记法:* z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}

*例:* $-1 + i\sqrt{3} = 2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right) = 2e^{i\,2\pi/3}$。

在极坐标形式下，**相乘时模相乘、辐角相加**，而**相除时模相除、辐角相减**。这比展开括号快得多。

**极坐标形式下的乘法与除法** — $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$，$\arg(z_1 z_2) = \arg z_1 + \arg z_2$；$\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$，$\arg\!\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg z_1 - \arg z_2$。相加或相减后，用$\pm 2\pi$调整结果，使其落在$-\pi < \theta \leq \pi$内。

*例:* 若$\arg z_1 = \frac{3\pi}{4}$且$\arg z_2 = \frac{3\pi}{4}$，则$\arg(z_1 z_2) = \frac{3\pi}{2}$，调整为$\frac{3\pi}{2} - 2\pi = -\frac{\pi}{2}$。

**例题:** 设$z_1 = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)$，$z_2 = 3\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$。求$z_1 z_2$和$\frac{z_1}{z_2}$的模-辐角形式。

1. 求乘积时，模相乘、辐角相加：
2. $$|z_1 z_2| = 2 \times 3 = 6, \qquad \arg(z_1 z_2) = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{12}$$
3. $$z_1 z_2 = 6\left(\cos\frac{7\pi}{12} + i\sin\frac{7\pi}{12}\right)$$
4. 求商时，模相除、辐角相减：
5. $$\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{2}{3}, \qquad \arg\!\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12}$$
6. $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{2}{3}\left(\cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12}\right)$$
7. 两个辐角$\frac{7\pi}{12}$和$\frac{\pi}{12}$都已落在$-\pi < \theta \leq \pi$内，因此无需调整。

> **tip**
>
> 指数形式让这些法则一目了然：$r_1 e^{i\theta_1} \cdot r_2 e^{i\theta_2} = r_1 r_2\, e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$，$\frac{r_1 e^{i\theta_1}}{r_2 e^{i\theta_2}} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$，用的就是普通的指数运算法则。

> **考试提示:** 辐角相加或相减后，务必先把结果调整回主值范围$-\pi < \theta \leq \pi$，再写出最终辐角。

## 阿根图上的几何意义

复数的每种代数运算在阿根图上都有清晰的几何意义，这有助于你形象化并检验答案。

**几何解释** — **共轭** $z \mapsto z^*$ 把点关于实轴作反射。**加法** $z_1 + z_2$ 是向量加法（平行四边形法则）。**乘以** $z_2$ 会把模放大$|z_2|$倍，并绕原点旋转$\arg z_2$。

*例:* 乘以$i$（模为1，辐角为$\frac{\pi}{2}$）会把一个点绕原点逆时针旋转$90^\circ$，而不改变它到原点的距离。

**例题:** 点$A$表示$z = 3 + i$。从几何角度描述表示(i) $z^*$和(ii) $iz$的点，并给出各自的直角坐标形式。

1. (i) $z^* = 3 - i$。从几何上看，这是$A$关于实轴的反射：实部不变，虚部变号。
2. (ii) 乘以$i$会把$A$绕原点逆时针旋转$\frac{\pi}{2}$（90°），且因为$|i| = 1$，$|z|$保持不变。
3. $$iz = i(3 + i) = 3i + i^2 = -1 + 3i$$
4. 验证旋转：$z = 3 + i$对应$(3,1) \to (-1, 3)$，这的确是绕原点逆时针转$90^\circ$。

> **tip**
>
> 由于乘法使辐角相加，反复乘以一个模为1的数，就是让点绕以原点为圆心的圆不断旋转。

## 阿根图上的轨迹

**轨迹**是满足给定条件的所有点$z$的集合。三种标准条件在3号卷中反复出现，每种都对应一个简单的几何图形。记$z = x + iy$，并把$|z - a|$理解为$z$到定点$a$的距离。

**三种标准轨迹** — **圆：** $|z - a| = r$是以$a$为圆心、$r$为半径的圆。**垂直平分线：** $|z - a| = |z - b|$是连接$a$和$b$的线段的垂直平分线（到$a$和$b$距离相等的所有点）。**半直线：** $\arg(z - a) = \alpha$是从$a$出发的射线（半直线）——端点$a$不包含在内——与正实轴方向成$\alpha$角。

*例:* $|z - (1 + 2i)| = 3$是以点$(1, 2)$为圆心、半径为3的圆。

把$=$换成不等号就得到一个**区域**。例如，$|z - a| < r$是圆*内部*的开圆盘（不含边界），而$|z - a| \leq r$则包含边界圆。

**例题:** 描述并画出由下列条件给出的$z$的轨迹：(a) $|z - (2 + i)| = 4$，(b) $|z - 3| = |z + i|$，(c) $\arg(z - 1) = \frac{\pi}{4}$。

1. (a) 这是到$2 + i$距离为4的所有点，是以$(2, 1)$为圆心、半径为4的**圆**。
2. (b) 把它写成$|z - 3| = |z - (-i)|$：到$a = 3$（点$(3, 0)$）和$b = -i$（点$(0, -1)$）距离相等的点。这是连接$(3, 0)$和$(0, -1)$的线段的**垂直平分线**。
3. (c) 使$z - 1$的辐角为$\frac{\pi}{4}$的点。这是从点$(1, 0)$（端点开）出发、与正实轴成$45^\circ$、向右上方延伸的**半直线**。
4. 在阿根图上：为(a)画圆，为(b)画笔直的垂直平分线，为(c)从$(1,0)$画射线，并用空心圆标出不包含的起点。

> **warning**
>
> 对于半直线$\arg(z - a) = \alpha$，端点$a$本身**不**包含在内（$0$的辐角无定义），因此用空心圆标出。只有夹角为$\alpha$的那一条射线才算——相反方向$\alpha + \pi$不算。

> **考试提示:** 始终把$|z - a|$理解为'到点$a$的距离'。对于$|z + i|$，先改写成$|z - (-i)|$，才能读出正确的圆心或定点。

## 复共轭根定理

当多项式的所有系数都是实数时，任何复根的共轭复数也一定是该多项式的根。这个性质让我们在仅知道一个复根的情况下，就能求出未知根并构造多项式。

**复共轭根定理** — 如果$p(x)$是实系数多项式，且$z = a + ib$是$p(x) = 0$的根，那么它的共轭$z^* = a - ib$也是根。

**例题:** 一个实系数二次方程有一个根为$2 - 3i$，求该二次方程。

1. 根据共轭根定理，第二个根是$2 - 3i$的共轭，即$2 + 3i$。
2. 计算根的和：$(2 - 3i) + (2 + 3i) = 4$。
3. 用平方差公式计算根的积：
4. $$(2 - 3i)(2 + 3i) = 2^2 - (3i)^2 = 4 - (-9) = 13$$
5. 对于二次方程$x^2 - (\text{根的和})x + (\text{根的积}) = 0$，代入数值：
6. $$x^2 - 4x + 13 = 0$$

## 常见错误

- **错误做法:** 错误认为$i^2 = 1$，推导为$i = \sqrt{-1}$，因此$i^2 = \sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{1} = 1$
  - 原因: 法则$\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$仅适用于非负实数$a$和$b$，因此这种扩展是不成立的。
  - 正确做法: 始终直接使用定义$i^2 = -1$，不要将实数的根式法则扩展到负数。
- **错误做法:** 直接写出$\arg(z) = \arctan(\frac{y}{x})$，没有根据象限调整
  - 原因: $\arctan$的输出范围仅在$-\frac{\pi}{2}$到$\frac{\pi}{2}$之间，因此对于第二和第三象限的复数会得到错误角度。
  - 正确做法: 务必检查复数所在象限，根据需要加减$\pi$得到主辐角。
- **错误做法:** 做复数除法时，只将分子乘以分母的共轭复数
  - 原因: 这会改变分数的值，导致错误结果。
  - 正确做法: 始终将分子分母同乘以共轭复数，保持分数值不变。
- **错误做法:** 对复系数多项式使用共轭根定理
  - 原因: 该定理仅在多项式所有系数都是实数时成立。
  - 正确做法: 仅当题目明确说明多项式是实系数时，才使用共轭根定理。
- **错误做法:** 只给出复数的一个平方根，或保留使$x^2$为负的解。
  - 原因: 每个非零复数都恰好有两个平方根，且$x, y$必须为实数，因此$x^2$为负时没有实数解。
  - 正确做法: 对实数$x, y$求解$x^2 - y^2 = a$和$2xy = b$，舍去非实数解，并给出两个根$\pm(x + iy)$。
- **错误做法:** 辐角相加或相减后，让$\arg(z_1 z_2)$或$\arg(z_1/z_2)$落在$-\pi < \theta \leq \pi$之外。
  - 原因: 两个主辐角的和或差可能落在主值范围之外，从而不再是主辐角。
  - 正确做法: 相加或相减后，按需加减$2\pi$，把辐角调整回$-\pi < \theta \leq \pi$。
- **错误做法:** 把$\arg(z - a) = \alpha$画成过$a$的整条直线，或把点$a$本身包含在内。
  - 原因: 辐角只固定了从$a$出发的一个方向，因此只有一条射线符合；且$\arg 0$无定义，所以$a$不包含。
  - 正确做法: 从$a$出发画一条夹角为$\alpha$的半直线，用空心圆标出端点$a$，且不要画相反方向$\alpha + \pi$。

## 速查表

| 性质 | 对于$z = x + iy, \; z_1 = x_1 + iy_1, \; z_2 = x_2 + iy_2$的运算法则 |
| --- | --- |
| 加法 | $z_1 + z_2 = (x_1+x_2) + i(y_1+y_2)$ |
| 减法 | $z_1 - z_2 = (x_1-x_2) + i(y_1-y_2)$ |
| 乘法 | $z_1z_2 = (x_1x_2 - y_1y_2) + i(x_1y_2 + x_2y_1)$ |
| 除法 | $\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1z_2^*}{\|z_2\|^2}$ |
| 共轭 | $z^* = x - iy, \; zz^* = \|z\|^2$（始终为实数） |
| 模 | $\|z\| = \sqrt{x^2 + y^2}$ |
| 辐角 | $\tan\arg(z) = \frac{y}{x}$，按象限调整，$-\pi < \arg(z) \leq \pi$ |
| 极坐标形式 | $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$，$r = \|z\|$，$\theta = \arg(z)$ |
| 极坐标乘法 | $\|z_1z_2\| = \|z_1\|\|z_2\|$，$\arg(z_1z_2) = \arg z_1 + \arg z_2$ |
| 极坐标除法 | $\left\|\frac{z_1}{z_2}\right\| = \frac{\|z_1\|}{\|z_2\|}$，$\arg\!\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg z_1 - \arg z_2$ |
| 平方根 | $\sqrt{a+ib} = x+iy$：解$x^2 - y^2 = a$，$2xy = b$；两根$\pm(x+iy)$ |
| 轨迹：圆 | $\|z - a\| = r$：以$a$为圆心、$r$为半径的圆 |
| 轨迹：垂直平分线 | $\|z - a\| = \|z - b\|$：$a$、$b$的垂直平分线 |
| 轨迹：半直线 | $\arg(z - a) = \alpha$：从$a$（不含）出发、夹角$\alpha$的半直线 |
| 共轭根定理 | 实系数多项式的复根以共轭对形式出现 |

## 下一步

本小节现已涵盖CIE 9709 3号卷所考查的全部复数技能：直角坐标运算，模、辐角与共轭，平方根，模-辐角（极坐标）与指数形式及其乘除法，这些运算的几何意义，以及阿根图上的轨迹。（棣莫弗定理和复数的$n$次方根不属于9709考纲——它们属于进阶数学9231。）复数经常出现在与多项式和三角学结合的考题中，因此扎实掌握本小节每一部分对在3号卷中取得高分至关重要。

- [力学](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u3-overview/)
- [运动学](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u3-kinematics/)
- [力与平衡](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u3-forces-and-equilibrium/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u2-complex-numbers/