# 代数

> CIE A-Level 数学 · 纯数学 2 与 3
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u2-algebra/

本模块讲解纯2与纯3的核心代数：模函数、多项式除法、因式定理与余式定理（P2、P3 共享），以及仅 P3 的部分分式分解和负次幂、分数次幂有理函数的二项式展开。

**先修:** [CIE A-Level 纯1 二次函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-quadratics/); [正整数次幂的二项式展开](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-series/)

## 学习目标

- 理解并画出模函数 y = |ax + b|，求解含模的方程与不等式
- 用一次或二次除式对多项式（次数不超过 4）作除法，求出商式与余式
- 运用因式定理与余式定理分解多项式、求未知系数
- 区分真有理函数和假有理函数，化简假有理函数
- 将真和假有理函数分解为部分分式
- 正确将二项式展开应用于负次幂和分数次幂，并写出正确的有效范围

## 真题考频

据 OwlsPrep 对官方 CIE 9709 P2 真题的聚合（2016–2025）: **代数** 近 10 年出现 **250 次**——占 P2 全部真题的 **27.5%**（455 题中 250 题）.

最常考形式: 多项式除法、余式定理 (93), 绝对值函数 (89), 部分分式 (53), 广义二项展开 (40).

## 模函数

**模（绝对值）** — 模 $|x|$ 表示 $x$ 的大小：当 $x \ge 0$ 时 $|x| = x$，当 $x < 0$ 时 $|x| = -x$。它恒为非负，表示数轴上 $x$ 到 $0$ 的距离。

*记法:* |x|

*例:* $|5| = 5$，$|-5| = 5$，而 $|x - 3|$ 表示 $x$ 与 $3$ 之间的距离

$y = |ax + b|$ 的图像是一个 **V 形**。先画直线 $y = ax + b$，再把落在 $x$ 轴**下方**的部分向上翻折到 $x$ 轴上方。拐点（顶点）落在 $x$ 轴上使 $ax + b = 0$ 之处，即 $x = -\frac{b}{a}$，两条臂的斜率分别为 $a$ 和 $-a$。

**模的关键关系** — 两个常用等价关系：$|a| = |b| \iff a^2 = b^2$（对所有 $a$、$b$ 都成立），据此可通过平方去掉模号；以及当 $b > 0$ 时，$|x - a| < b \iff a - b < x < a + b$，据此把含模不等式化为双边不等式。

*记法:* |a| = |b| \iff a^2 = b^2

*例:* $|x - 4| < 3 \iff 1 < x < 7$

**例题:** 解方程 $|3x - 2| = |2x + 7|$。

1. 两边都是模，故两边平方去模（利用 $|a| = |b| \iff a^2 = b^2$）：
2. $$(3x - 2)^2 = (2x + 7)^2$$
3. 两边分别展开：
4. $$9x^2 - 12x + 4 = 4x^2 + 28x + 49$$
5. 移项并化简：
6. $$5x^2 - 40x - 45 = 0 \implies x^2 - 8x - 9 = 0$$
7. 因式分解并求解：
8. $$(x - 9)(x + 1) = 0 \implies x = 9 \ \text{或} \ x = -1$$

**例题:** 解不等式 $|2x - 1| < 5$。

1. 单个模小于一个正数，可化为双边不等式 $-5 < 2x - 1 < 5$：
2. $$-5 < 2x - 1 < 5$$
3. 三边同时加 $1$，再除以 $2$：
4. $$-4 < 2x < 6 \implies -2 < x < 3$$

> **考试提示:** 两边都带模时，两边平方去模；只有一边带模时，可在两边都非负的前提下平方，或分 $\pm$ 两种情况讨论。

## 多项式除法

**除法恒等式** — 用除式 $D(x)$ 去除多项式 $P(x)$（次数不超过 4），得到**商式** $Q(x)$ 与**余式** $R(x)$，且 $\deg R < \deg D$。若 $R(x) = 0$，则 $D(x)$ 是 $P(x)$ 的因式。除以一次式时余式为常数；除以二次式时余式形如 $px + q$。

*记法:* P(x) = D(x)\,Q(x) + R(x)

*例:* $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) + 0$，所以 $(x - 2)$ 是因式

可以用**长除法**（每次落下一项），也可以用**待定系数法**（写成 $P(x) = D(x)Q(x) + R(x)$，其中 $Q$、$R$ 的系数待定，再按 $x$ 的幂次比较系数）。两种方法给出相同的商式与余式。

**例题:** 用 $(x - 2)$ 去除 $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$，写出商式与余式。

1. 首项相除：$2x^3 \div x = 2x^2$。乘回并相减：
2. $$2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 - 2x^2(x - 2) = x^2 + 4x - 5$$
3. 重复：$x^2 \div x = x$。减去 $x(x - 2) = x^2 - 2x$：
4. $$x^2 + 4x - 5 - (x^2 - 2x) = 6x - 5$$
5. 重复：$6x \div x = 6$。减去 $6(x - 2) = 6x - 12$：
6. $$6x - 5 - (6x - 12) = 7$$
7. 余式 $7$ 的次数为 $0$，低于 $(x - 2)$，停止：
8. $$2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 = (x - 2)(2x^2 + x + 6) + 7$$

**例题:** 用二次式 $(x^2 + 1)$ 去除 $x^3 + 2x^2 - x + 5$。

1. 首项：$x^3 \div x^2 = x$。减去 $x(x^2 + 1) = x^3 + x$：
2. $$x^3 + 2x^2 - x + 5 - (x^3 + x) = 2x^2 - 2x + 5$$
3. 接着：$2x^2 \div x^2 = 2$。减去 $2(x^2 + 1) = 2x^2 + 2$：
4. $$2x^2 - 2x + 5 - (2x^2 + 2) = -2x + 3$$
5. 余式 $-2x + 3$ 的次数 $1 < 2$，所以：
6. $$x^3 + 2x^2 - x + 5 = (x^2 + 1)(x + 2) + (-2x + 3)$$

> **考试提示:** 列竖式时给每一个 $x$ 的幂次都留位——缺项就写 $0x^2$，让各列对齐。

## 因式定理与余式定理

**余式定理** — 多项式 $P(x)$ 除以 $(x - a)$ 时，余式为 $P(a)$。更一般地，除以 $(ax - b)$ 时余式为 $P\!\left(\frac{b}{a}\right)$。

*记法:* P(x) \div (x - a) \ \text{的余式为} \ P(a)

*例:* $P(x) = x^2 + 3x + 1$ 除以 $(x - 2)$ 的余式为 $P(2) = 11$

**因式定理** — $(x - a)$ 是 $P(x)$ 的因式，当且仅当 $P(a) = 0$（即余式为 $0$ 的余式定理特例）。对于因式 $(ax - b)$，检验 $P\!\left(\frac{b}{a}\right) = 0$。

*记法:* (x - a) \ \text{是因式} \iff P(a) = 0

*例:* $(x - 3)$ 是 $x^2 - x - 6$ 的因式，因为 $P(3) = 0$

**例题:** 当 $P(x) = x^3 + 2x^2 + ax + 5$ 除以 $(x - 1)$ 时余式为 $3$，求 $a$。

1. 由余式定理，余式为 $P(1)$，故令 $P(1) = 3$：
2. $$1 + 2 + a + 5 = 3$$
3. 解出 $a$：
4. $$8 + a = 3 \implies a = -5$$

**例题:** 将 $P(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3$ 完全分解因式。

1. 试常数项 $3$ 的因数。试 $x = 1$：
2. $$P(1) = 1 - 3 - 1 + 3 = 0$$
3. 故 $(x - 1)$ 是因式。作除法求二次因式：
4. $$x^3 - 3x^2 - x + 3 = (x - 1)(x^2 - 2x - 3)$$
5. 分解二次式 $x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$：
6. $$P(x) = (x - 1)(x - 3)(x + 1)$$

> **考试提示:** 分解三次式时，先试小整数（$x = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots$，取自常数项的因数）找到一个根，再除去该因式并分解剩下的二次式。

## 真有理函数与假有理函数

**有理函数** — 两个多项式$P(x)$（分子）和非零多项式$Q(x)$（分母）的比值，根据两个多项式的次数分类。

*记法:* f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}

*例:* $\frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 - 4}$是假分式；$\frac{2x + 5}{x^2 - 4}$是真分式

任何假有理函数都必须先化简为一个多项式加上一个真有理函数，才能进行部分分式分解或展开。可以通过多项式长除法或待定系数法完成化简。

**例题:** 将$\frac{3x^2 + 2x - 2}{x^2 + x - 2}$化简为一个多项式加上一个真有理函数。

1. 比较首项：$\frac{3x^2}{x^2} = 3$。将分母乘以3：
2. $$3(x^2 + x - 2) = 3x^2 + 3x - 6$$
3. 将该乘积从原分子中减去：
4. $$(3x^2 + 2x - 2) - (3x^2 + 3x - 6) = -x + 4$$
5. 重写原函数：
6. $$\frac{3x^2 + 2x - 2}{x^2 + x - 2} = 3 + \frac{-x + 4}{x^2 + x - 2}$$

在 P3 部分分式大纲中，唯一的假分式情形是 $\deg(P) = \deg(Q)$（次数相等）：此时除法给出一个**常数**加上一个真分式。分子次数严格更高、即 $\deg(P) > \deg(Q)$ 的情形不会出现在这类题目中。

## 部分分式分解

部分分式分解将真有理函数拆分为多个简单分式之和，是积分和级数展开的必要步骤。分解的形式完全由分母的因式类型决定：

- 不同一次因式 $(ax + b)$：项为 $\frac{A}{ax + b}$
- 重一次因式 $(ax + b)^2$：项为 $\frac{A}{ax + b} + \frac{B}{(ax + b)^2}$
- 不可约二次因式 $(cx^2 + d)$：项为 $\frac{Ax + B}{cx^2 + d}$

**例题:** 将$\frac{-x + 4}{x^2 + x - 2}$分解为部分分式。

1. 对分母因式分解：
2. $$x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$$
3. 设两个不同一次因式的部分分式形式：
4. $$\frac{-x + 4}{(x + 2)(x - 1)} = \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 1}$$
5. 两边同乘$(x + 2)(x - 1)$消去分母：
6. $$-x + 4 = A(x - 1) + B(x + 2)$$
7. 代入分母的根求常数：$x = 1$得$3 = 3B \implies B = 1$；$x = -2$得$6 = -3A \implies A = -2$
8. 写出最终分解结果：
9. $$\frac{-2}{x + 2} + \frac{1}{x - 1}$$

> **考试提示:** 始终通过将部分分式合并回单个分式，验证结果是否与原函数一致。

## 负次幂和分数次幂的二项式展开

**广义二项式展开** — 对于有理数 $n$ 且 $|y| < 1$，无穷二项式展开为：$1 + ny + \frac{n(n-1)}{2!}y^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}y^3 + ...$

*记法:* (1 + y)^n

*例:* 当 $n$ 为正整数时级数有限项后终止；当 $n$ 为其他有理数时级数无穷，且需 $|y| < 1$

要展开$(a + bx)^n$（$a > 0$）形式的表达式，先提出$a^n$得到标准$(1 + y)^n$形式，再应用广义展开。始终要写出展开的有效范围。

**例题:** 求$\frac{1}{1 + 2x}$展开的前三个非零项，并写出其有效范围。

1. 将函数重写为标准形式：$(1 + 2x)^{-1}$，因此$n = -1$，$y = 2x$
2. 代入广义展开，保留到$x^2$项：
3. $$(1 + y)^n = 1 + ny + \frac{n(n-1)}{2!}y^2 + ...$$
4. $$(1 + 2x)^{-1} = 1 + (-1)(2x) + \frac{(-1)(-2)}{2}(2x)^2 + ... = 1 - 2x + 4x^2 - ...$$
5. 根据$|y| < 1$计算有效范围：
6. $$|2x| < 1 \implies |x| < \frac{1}{2}$$

## 常见错误

- **错误做法:** 对假有理函数做部分分式前跳过多项式除法
  - 原因: 部分分式法则仅适用于真分式，会导致分解结果错误
  - 正确做法: 首先比较分子和分母的次数；若$\deg(P) \geq \deg(Q)$则先做除法
- **错误做法:** 对重一次因式只包含最高次项
  - 原因: 遗漏低次项会改变整体表达式，导致常数求解错误
  - 正确做法: 对于$(ax + b)^k$，需要包含从$\frac{A_1}{ax + b}$到$\frac{A_k}{(ax + b)^k}$的所有项
- **错误做法:** 展开$(a + bx)^n$时忘记提出首项常数
  - 原因: 标准展开仅对$(1 + y)^n$形式有效，因此所有系数都会出错
  - 正确做法: 展开前先提出$a^n$，得到$a^n\left(1 + \frac{bx}{a}\right)^n$
- **错误做法:** 遗漏或错误书写二项式展开的有效范围
  - 原因: 阅卷人通常会为正确的有效范围给出至少一分，这对所有非正整数$n$都是必须的
  - 正确做法: 始终将$|y| < 1$整理为关于$x$的条件并清晰写出

## 速查表

| 概念 | 法则 |
| --- | --- |
| 真有理函数 | $\deg(P) < \deg(Q)$ |
| 假有理函数 | $\deg(P) \geq \deg(Q)$; 先做除法 |
| 不同一次因式 $(ax + b)$ | 项: $\frac{A}{ax + b}$ |
| 重一次因式 $(ax + b)^2$ | 项: $\frac{A}{ax + b} + \frac{B}{(ax + b)^2}$ |
| 不可约二次因式 $(cx^2+d)$ | 项: $\frac{Ax+B}{cx^2+d}$ |
| 二项式展开 $(1+y)^n$ | $1 + ny + \frac{n(n-1)}{2!}y^2 + ...$ |
| 展开有效性 | $\|y\| < 1$（$n$ 为有理数且不是正整数） |

## 下一步

本模块为CIE A-Level纯数学3的多个核心主题奠定了基础。部分分式分解是有理函数积分、求解可分离或线性形式微分方程的必要预处理步骤。负次幂和分数次幂有理函数的二项式展开用于函数近似、求级数展开和处理无穷数列。掌握这些代数变形技巧是在多考点综合大题中获得满分的关键，这类大题在P3考试中很常见。在这些技能的基础上，你可以更自信地应对更高级的概念。

- [对数与指数函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u2-logarithms-and-exponential-functions/)
- [三角学](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u2-trigonometry/)
- [微分求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u2-differentiation/)

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