三角学

数学· 纯数学1 第5单元：三角学· 20 分钟阅读

1. 锐角的三角比★☆☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

三角比

$sin θ$ , $cos θ$ , $tan θ$

在直角三角形中，对于锐角 $θ$ ，三角比是根据 $θ$ 的对边、邻边和斜边定义的边长比。

例:

在三边长为3-4-5的直角三角形中，若 $θ$ 对的边长为3，则 $sin θ = 3/5$ 。

📐 例题

若 $sin θ = 5/13$ 且 $θ$ 为锐角，求 $tan θ$ 和 $cos θ$ 。

1
根据正弦的定义确定边长， $sin θ = \frac{对边}{斜边}$ ，因此对边为5，斜边为13。
2
使用勾股定理求邻边：
3
$(\text{邻边})^2 + 5^2 = 13^2 \\ (\text{邻边})^2 = 169 - 25 = 144 \\ \text{邻边} = 12$
4
使用SOH-CAH-TOA计算所求三角比：
5
$\cos\theta = \frac{12}{13}, \quad \tan\theta = \frac{5}{12}$

2. 特殊角的精确三角值★★☆☆☆⏱ 6 min

CIE考试经常需要用到 $0^{\circ}, 3 0^{\circ}, 4 5^{\circ}, 6 0^{\circ}, 9 0^{\circ}$ 的精确值，这些值可由等边三角形和等腰直角三角形推导得出。

角度 (°)	$sin θ$	$cos θ$	$tan θ$
0	0	1	0
30	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{3}$
45	$\frac{2}{2}$	$\frac{2}{2}$	1
60	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$3$
90	1	0	未定义

📐 例题

求 $sin 3 0^{\circ} + cos 6 0^{\circ} - tan 4 5^{\circ}$ 的精确值。

1
代入表格中的精确值：
2
$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \quad \tan 45^\circ = 1$
3
计算结果：
4
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1 = 1 - 1 = 0$

3. 基本勾股三角恒等式★★★☆☆⏱ 7 min

两个核心勾股三角恒等式在CIE P1题目中频繁使用，它们可用于化简表达式、证明其他恒等式，以及帮助求解三角方程。

📘 定义

勾股三角恒等式

由单位圆上的勾股定理推导得出的两个恒等式：

$sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$
$1 + tan^{2} θ = \frac{1}{c o s ^{2} θ}$

例:

若已知 $sin θ$ ，你可以用第一个恒等式得到 $cos^{2} θ = 1 - sin^{2} θ$ 。

📐 例题

化简 $(1 + tan^{2} θ) cos^{2} θ$ 。

1
将第二个勾股恒等式代入表达式：
2
$\left(\frac{1}{\cos^2 \theta}\right)\cos^2 \theta$
3
假设 $cos θ \neq = 0$ ，约去公共项：
4
$\left(\frac{1}{\cancel{\cos^2 \theta}}\right)\cancel{\cos^2 \theta} = 1$

4. 求解三角方程（0°到360°）★★★★☆⏱ 7 min

三角方程在0°到360°之间通常有2个解，因为每个三角比在一个象限为正，另一个象限为负，可使用ASTC法则找出所有解。

📐 例题

求解 $0^{\circ} \leq θ \leq 36 0^{\circ}$ 范围内的方程 $2 sin θ + 1 = 0$ 。

1
整理方程，分离出三角比：
2
$2\sin\theta = -1 \implies \sin\theta = -\frac{1}{2}$
3
由绝对值求出锐角参考角：
4
$\alpha = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = 30^\circ$
5
正弦在第三象限和第四象限为负，因此计算两个象限的解：
6
$Q3: 180^\circ + 30^\circ = 210^\circ \\ Q4: 360^\circ - 30^\circ = 330^\circ$
7
两个解都在要求范围内，因此解为 $θ = 21 0^{\circ}$ 和 $θ = 33 0^{\circ}$ 。

5. 常见陷阱

错误做法:

忘记大多数方程在0°到360°之间有2个解

原因:

阅卷人会对漏解扣分，这是非常常见的错误

正确做法:

始终使用ASTC法则找出所有有效象限和所有解

错误做法:

将 $sin^{2} θ$ 误认为 $sin (θ^{2})$

原因:

该记号的含义是 $(sin θ)^{2}$ ，不是θ平方的正弦

正确做法:

记住对于任意指数 $n$ ，都有 $sin^{n} θ = (sin θ)^{n}$

错误做法:

题目要求精确答案时给出近似小数

原因:

当题目要求精确值时，CIE对非精确答案不给分

正确做法:

务必检查题目表述，答案保留根式/分数形式

错误做法:

将 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ 错误整理为 $cos^{2} θ = 1 + sin^{2} θ$

原因:

移项时出现简单的符号错误

正确做法:

二次检查： $cos^{2} θ = 1 - sin^{2} θ$ 且 $sin^{2} θ = 1 - cos^{2} θ$

错误做法:

求第二个解时总是用180°减去参考角

原因:

第二个解的计算方式取决于它所在的象限

正确做法:

先用ASTC确定象限，再按 $180 + α$ （第三象限）和 $360 - α$ （第四象限）计算角度

6. 速查表

概念	核心结论
三角比	SOH-CAH-TOA: sin=对/斜, cos=邻/斜, tan=对/邻
精确值	记住特殊三角形中0°, 30°, 45°, 60°, 90°的精确值
勾股恒等式	$sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ ; $1 + tan^{2} θ = 1/ cos^{2} θ$
ASTC法则	Q1: 全+, Q2: Sin +, Q3: Tan +, Q4: Cos +
解方程	求参考角，找出所有有效象限中的解

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · 1
求解含两项的三角方程
2022 · 1
利用恒等式化简表达式
2021 · 1
求精确三角值

深入阅读

syllabusCIE 9709 官方大纲完整单元学习目标

下一步

掌握这部分核心三角学是学习CIE 9709后续所有纯数学内容的基础。你在这里学到的恒等式和解方程技巧会在图像变换、更高级的恒等式、微积分和力学题目中频繁使用。CIE经常出结合这些基础技能和其他知识点的多分题，因此巩固这个子主题会提升你整张试卷的得分。