# 三角学

> 数学 · CIE A-Level 9709
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-trigonometry/

本模块讲解CIE 9709 P1的核心三角学内容，包括直角三角形的三角比、特殊角的精确值、正弦、余弦和正切函数的图像、两个基本恒等式、反三角函数，以及求解0°到360°之间的简单三角方程。

**先修:** [直角三角形几何与勾股定理](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-triangle-geometry/); [基础角度测量与象限](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-coordinate-geometry-quadrants/)

## 学习目标

- 计算直角三角形中锐角的三角比
- 记忆并运用特殊角的精确三角值
- 画出并理解正弦、余弦和正切函数的图像，包括它们的周期、值域和渐近线
- 运用基本三角恒等式化简表达式和解方程
- 运用反三角函数及其主值范围
- 找出0°到360°之间简单三角方程的所有解

## 真题考频

据 OwlsPrep 对官方 CIE 9709 P1 真题的聚合（2016–2025）: **三角学** 近 10 年出现 **106 次**——占 P1 全部真题的 **14.9%**（692 题中 106 题）.

最常考形式: 三角方程求解 (74), 平方关系恒等式 (38), 三角函数图像 (21), 直角三角形三角比 (20), 商关系恒等式 (6).

## 锐角的三角比

这些直角三角形的三角比是IGCSE的已学内容，这里只作简要回顾。对于锐角$\theta$，SOH-CAH-TOA根据对边、邻边和斜边定义$\sin\theta$、$\cos\theta$和$\tan\theta$。已知其中一个三角比时，用勾股定理即可求出第三条边，从而得到另外两个三角比。

> **SOH-CAH-TOA**
>
> SOH: **S**ine = **O**pposite / **H**ypotenuse  
> CAH: **C**osine = **A**djacent / **H**ypotenuse  
> TOA: **T**angent = **O**pposite / **A**djacent

## 特殊角的精确三角值

CIE考试经常需要用到$0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ$的精确值，这些值可由等边三角形和等腰直角三角形推导得出。

| 角度 (°) | $\sin \theta$ | $\cos \theta$ | $\tan \theta$ |
| --- | --- | --- | --- |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30 | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{\sqrt{3}}$ |
| 45 | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | 1 |
| 60 | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ |
| 90 | 1 | 0 | 未定义 |

**例题:** 求$\sin 30^\circ + \cos 60^\circ - \tan 45^\circ$的精确值。

1. 代入表格中的精确值：
2. $$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \quad \tan 45^\circ = 1$$
3. 计算结果：
4. $$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1 = 1 - 1 = 0$$

**例题:** 求$\cos 150^\circ$的精确值。

1. 用相关的锐角$30^\circ$表示$150^\circ$：
2. $$150^\circ = 180^\circ - 30^\circ$$
3. 由于$150^\circ$是钝角，其余弦为负。应用相关角公式$\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta$：
4. $$\cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ$$
5. 代入$\cos 30^\circ$的精确值：
6. $$-\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

## 基本三角恒等式

两个基本三角恒等式在CIE P1题目中频繁使用，它们可用于化简表达式、证明其他恒等式，以及帮助求解三角方程。

**基本三角恒等式** — Paper 1 只依赖两个基本恒等式：  
1. 商数恒等式：$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$  
2. 勾股恒等式：$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

*例:* 若已知$\sin\theta$，勾股恒等式给出$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$，商数恒等式再给出$\tan\theta$。

**例题:** 证明$\frac{1 - \cos^2\theta}{\tan\theta} = \sin\theta\cos\theta$。

1. 用勾股恒等式替换$1 - \cos^2\theta$：
2. $$1 - \cos^2\theta = \sin^2\theta$$
3. 用商数恒等式替换$\tan\theta$，然后作除法：
4. $$\frac{\sin^2\theta}{\tan\theta} = \sin^2\theta \div \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \sin^2\theta \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$$
5. 约去一个$\sin\theta$因子：
6. $$\sin^2\theta \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \sin\theta\cos\theta$$

## 正弦、余弦和正切函数的图像

$y = \sin x$和$y = \cos x$的图像是平滑的波形，每$360^\circ$（周期）重复一次，并始终介于$-1$和$1$之间。$y = \tan x$的图像则不同：它每$180^\circ$重复一次，并在$\cos x = 0$处有竖直渐近线，即在$0^\circ$到$360^\circ$的一个周期内位于$x = 90^\circ$和$x = 270^\circ$处。

| 图像 | 周期 | 值域 | 渐近线（0°到360°） |
| --- | --- | --- | --- |
| $y = \sin x$ | $360^\circ$ | $-1 \leq y \leq 1$ | 无 |
| $y = \cos x$ | $360^\circ$ | $-1 \leq y \leq 1$ | 无 |
| $y = \tan x$ | $180^\circ$ | 全体实数 | $x = 90^\circ, 270^\circ$ |

课程前面学过的变换规则可直接套用。乘在整个函数前面的系数改变振幅（纵向伸缩），乘在$x$前面的系数改变周期（横向伸缩）。

| 函数 | 对图像的影响 |
| --- | --- |
| $y = 3\sin x$ | 振幅为$3$：图像在$-3$和$3$之间振荡；周期仍为$360^\circ$。 |
| $y = \cos 2x$ | 系数$2$使周期减半为$180^\circ$；值域仍为$-1 \leq y \leq 1$。 |
| $y = 1 - \cos 2x$ | $\cos 2x$关于$x$轴反射后向上平移$1$；值域变为$0 \leq y \leq 2$。 |

**例题:** 说明$y = 1 - \cos 2x$的图像如何由$y = \cos x$得到，并写出它的值域。

1. $\cos 2x$中的系数$2$使周期减半：
2. $$\text{周期} = \frac{360^\circ}{2} = 180^\circ$$
3. 负号使曲线关于$x$轴反射，$+1$使其向上平移一个单位。
4. 由于$\cos 2x$介于$-1$和$1$之间，$1 - \cos 2x$的值域为：
5. $$-1 \leq \cos 2x \leq 1 \implies 0 \leq 1 - \cos 2x \leq 2$$

## 反三角函数

反三角函数$\sin^{-1}x$、$\cos^{-1}x$和$\tan^{-1}x$是三角比的逆运算：给定一个比值，它们返回一个角。由于三角函数是周期性的，每个反函数只返回一个角，即主值，也就是计算器显示的值。

| 反函数 | 主值范围 |
| --- | --- |
| $\sin^{-1}x$ | $-90^\circ \leq \theta \leq 90^\circ$ |
| $\cos^{-1}x$ | $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ |
| $\tan^{-1}x$ | $-90^\circ < \theta < 90^\circ$ |

计算器只会给出这个主值。要在更大的区间（如$0^\circ$到$360^\circ$）内找出其他解，需利用图像的对称性（或ASTC法则），如下一节所示。

## 求解三角方程（0°到360°）

三角方程在0°到360°之间通常有两个解。每个三角比在四个象限中有两个象限为正、另外两个象限为负，因此水平线$y = k$在每个360°周期内与曲线相交两次，大多数情况下给出两个解。可使用ASTC法则确定它们的位置。

> **ASTC法则**
>
> **A**ll：所有三角比在第一象限为正，**S**ine：正弦在第二象限为正，**T**angent：正切在第三象限为正，**C**osine：余弦在第四象限为正

**例题:** 求解$0^\circ \leq \theta \leq 360^\circ$范围内的方程$2\sin \theta + 1 = 0$。

1. 整理方程，分离出三角比：
2. $$2\sin\theta = -1 \implies \sin\theta = -\frac{1}{2}$$
3. 由绝对值求出锐角参考角：
4. $$\alpha = \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 30^\circ$$
5. 正弦在第三象限和第四象限为负，因此计算两个象限的解：
6. $$Q3: 180^\circ + 30^\circ = 210^\circ \\ Q4: 360^\circ - 30^\circ = 330^\circ$$
7. 两个解都在要求范围内，因此解为$\theta = 210^\circ$和$\theta = 330^\circ$。

## 常见错误

- **错误做法:** 忘记大多数方程在0°到360°之间有2个解
  - 原因: 阅卷人会对漏解扣分，这是非常常见的错误
  - 正确做法: 始终使用ASTC法则找出所有有效象限和所有解
- **错误做法:** 将$\sin^2 \theta$误认为$\sin(\theta^2)$
  - 原因: 该记号的含义是$(\sin \theta)^2$，不是θ平方的正弦
  - 正确做法: 记住对于任意指数$n$，都有$\sin^n \theta = (\sin \theta)^n$
- **错误做法:** 题目要求精确答案时给出近似小数
  - 原因: 当题目要求精确值时，CIE对非精确答案不给分
  - 正确做法: 务必检查题目表述，答案保留根式/分数形式
- **错误做法:** 将$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$错误整理为$\cos^2 \theta = 1 + \sin^2 \theta$
  - 原因: 移项时出现简单的符号错误
  - 正确做法: 二次检查：$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$且$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$
- **错误做法:** 求第二个解时总是用180°减去参考角
  - 原因: 第二个解的计算方式取决于它所在的象限
  - 正确做法: 先用ASTC确定象限，再按$180+\alpha$（第三象限）和$360-\alpha$（第四象限）计算角度

## 速查表

| 概念 | 核心结论 |
| --- | --- |
| 三角比 | SOH-CAH-TOA: sin=对/斜, cos=邻/斜, tan=对/邻 |
| 精确值 | 记住特殊三角形中0°, 30°, 45°, 60°, 90°的精确值 |
| 三角函数图像 | $\sin x, \cos x$：周期$360^\circ$，值域$[-1,1]$；$\tan x$：周期$180^\circ$，渐近线$90^\circ, 270^\circ$ |
| 核心恒等式 | $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$；$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ |
| 反三角函数 | $\sin^{-1}x\in[-90^\circ,90^\circ]$，$\cos^{-1}x\in[0^\circ,180^\circ]$，$\tan^{-1}x\in(-90^\circ,90^\circ)$；计算器给出主值 |
| ASTC法则 | Q1: 全+, Q2: Sin +, Q3: Tan +, Q4: Cos + |
| 解方程 | 求参考角，找出所有有效象限中的解 |

## 下一步

掌握这部分核心三角学是学习CIE 9709后续所有纯数学内容的基础。你在这里学到的恒等式和解方程技巧会在图像变换、更高级的恒等式、微积分和力学题目中频繁使用。CIE经常出结合这些基础技能和其他知识点的多分题，因此巩固这个子主题会提升你整张试卷的得分。

- [数列](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-series/)
- [求导（微分）](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-differentiation/)
- [积分](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-integration/)

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