# 数列

> CIE A-Level 数学 · 纯数学1（第1单元）
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-series/

本模块讲解CIE 9709试卷1的核心数列考点：等差数列、等比数列，以及正整数次二项式展开。你将学会计算和、检验收敛性，以及展开二项式表达式。

**先修:** [基础代数与代数运算](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-algebra-basics/); [指数与指数运算法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-indices-exponents/)

## 学习目标

- 识别并运用等差数列（AP）
- 识别并运用等比数列（GP）
- 计算有限等差数列和等比数列的和
- 求收敛等比级数的无穷和
- 展开正整数n的二项式表达式

## 真题考频

据 OwlsPrep 对官方 CIE 9709 P1 真题的聚合（2016–2025）: **数列** 近 10 年出现 **135 次**——占 P1 全部真题的 **19.5%**（692 题中 135 题）.

最常考形式: 二项展开（正整数次） (61), 等差数列 (53), 等比数列 (35), 无穷级数求和 (35).

## 等差数列

**等差数列（AP）** — 每一项与前一项相差一个常数（可正、可负或为零）的数列，这个常数称为公差$d$

*记法:* $a$ = 首项, $d$ = 公差, $n$ = 项数

*例:* $3, 7, 11, 15...$ 满足$a=3$, $d=4$

**三项判别法：** 三个数 $a$、$b$、$c$ 成等差数列，当且仅当 $2b = a + c$（中间项是两侧相邻项的平均数）。

对任意等差数列，第n项的公式为 $u_n = a + (n-1)d$。前n项和可以用以下两种恒等式中的任意一种计算：

$$S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] = \frac{n}{2}(a + l)$$

其中 $l$ 是有限等差数列的末项。

**例题:** 一个等差数列的第3项为10，第7项为22。求首项、公差，以及前10项的和。

1. 根据通项公式列方程：
2. $$u_3 = a + 2d = 10 \\ u_7 = a + 6d = 22$$
3. 用第二个方程减去第一个方程消去 $a$：
4. $$4d = 12 \implies d = 3$$
5. 代入 $d=3$ 求 $a$：
6. $$a + 2(3) = 10 \implies a = 4$$
7. 计算前10项的和：
8. $$S_{10} = \frac{10}{2}[2(4) + 9(3)] = 5(8 + 27) = 175$$

## 等比数列与无穷和

**等比数列（GP）** — 每一项与前一项的比值为常数的数列，这个常数称为公比$r$

*记法:* $a$ = 首项, $r$ = 公比

*例:* $2, 6, 18, 54...$ 满足$a=2$, $r=3$

**三项判别法：** 三个数 $a$、$b$、$c$ 成等比数列，当且仅当 $b^2 = ac$（中间项是两侧相邻项的几何平均数）。一道题目可能涉及不止一个数列，需仔细辨别每个数列。

对任意等比数列，第n项的公式为 $u_n = ar^{n-1}$。前n项和的公式为：

$$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}, \quad r \neq 1$$

> **info**
>
> 如果 $|r| < 1$，无穷等比级数收敛到一个有限的**无穷和**： $S_\infty = \frac{a}{1-r}$。如果 $|r| \geq 1$，无穷和不存在。

**例题:** 一个等比数列的首项为8，无穷和为32。求公比和第5项。

1. 用无穷和公式求解 $r$：
2. $$S_\infty = \frac{a}{1-r} \implies 32 = \frac{8}{1-r}$$
3. 整理并求解：
4. $$32(1-r) = 8 \implies 1-r = \frac{1}{4} \implies r = \frac{3}{4}$$
5. 用通项公式计算第5项：
6. $$u_5 = ar^4 = 8 \times \left(\frac{3}{4}\right)^4 = 8 \times \frac{81}{256} = \frac{81}{32}$$

## 正整数n的二项式展开

**二项式定理** — 对任意正整数 $n$，$(a+b)^n$ 的展开式是一个有限级数，各项系数由二项式系数给出

*记法:* $\binom{n}{r}$ = 二项式系数, $n!$ = n的阶乘

*例:* $(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$

完整展开式可写为：

$$(a + b)^n = \sum_{r=0}^n \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$$

其中二项式系数的计算公式为：

$$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} = \frac{n(n-1)(n-2)...(n-r+1)}{r!}$$

> **帕斯卡三角捷径**
>
> 当n较小时，你可以用帕斯卡三角快速得到二项式系数：每一行首尾都是1，每个中间项等于它上方两个项的和。从n=0开始计数，第n行就是$(a+b)^n$的系数。

**例题:** 求 $\left(2x - \frac{1}{x}\right)^4$ 按x降幂排列的前三项。

1. 确定 $a=2x$， $b=-\frac{1}{x}$， $n=4$。前三项对应 $k=0$、 $k=1$、 $k=2$：
2. 当 $k=0$ 时：
3. $$\binom{4}{0}(2x)^4 \left(-\frac{1}{x}\right)^0 = 1 \times 16x^4 \times 1 = 16x^4$$
4. 当 $k=1$ 时：
5. $$\binom{4}{1}(2x)^3 \left(-\frac{1}{x}\right)^1 = 4 \times 8x^3 \times \left(-\frac{1}{x}\right) = -32x^2$$
6. 当 $k=2$ 时：
7. $$\binom{4}{2}(2x)^2 \left(-\frac{1}{x}\right)^2 = 6 \times 4x^2 \times \frac{1}{x^2} = 24$$
8. 前三项为 $16x^4 - 32x^2 + 24$。

**例题:** 在 $\left(1 - \frac{x}{3}\right)^n$（其中 $n$ 为正整数）的展开式中，$x^2$ 的系数为 4。求 $n$ 的值。

1. $x^2$ 项为 $\binom{n}{2}(1)^{n-2}\left(-\frac{x}{3}\right)^2$，因此其系数为：
2. $$\binom{n}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)^2 = \binom{n}{2} \times \frac{1}{9}$$
3. 将 $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$ 代入，$x^2$ 的系数变为：
4. $$\frac{n(n-1)}{2} \times \frac{1}{9} = \frac{n(n-1)}{18}$$
5. 令其等于 4，求解 $n$：
6. $$\frac{n(n-1)}{18} = 4 \implies n(n-1) = 72 \implies n^2 - n - 72 = 0$$
7. 因式分解并取正整数根（$n$ 必须为正整数）：
8. $$(n-9)(n+8) = 0 \implies n = 9$$

## 常见错误

- **错误做法:** 在等差数列/等比数列的通项公式中，使用n而非$(n-1)$作为偏移量
  - 原因: 首项对应 $n=1$，因此偏移量是 $(n-1)$，不是 $n$。
  - 正确做法: 等差数列始终写为 $u_n = a + (n-1)d$，等比数列始终写为 $u_n = ar^{n-1}$，可以代入 $n=1$ 验证正确性。
- **错误做法:** 在 $|r| \geq 1$ 时计算无穷和
  - 原因: 学生经常忘记只有当 $|r| < 1$ 时级数才收敛，混淆了有限和与无穷和。
  - 正确做法: 始终先检验 $|r|$ 的值：如果 $|r| \geq 1$，需说明无穷和不存在。
- **错误做法:** 展开 $(a - b)^n$ 时遗漏负号
  - 原因: 当二项式的第二项为负数时，展开式的项会正负交替，负号经常被遗漏。
  - 正确做法: 始终将b的完整负值代入展开式，逐一检查每一项的符号。
- **错误做法:** 误认为有限等比数列求和公式 $\frac{a(1-r^n)}{1-r}$ 仅适用于 $r < 1$
  - 原因: 该公式对所有 $r \neq 1$ 都成立，只有无穷和要求 $|r| < 1$。
  - 正确做法: 对任意 $r \neq 1$ 都可以使用同一个公式，如果想避免负数，可以整理为 $\frac{a(r^n-1)}{r-1}$。

## 速查表

| 数列类型 | 通项公式 | 求和公式 | 核心条件 |
| --- | --- | --- | --- |
| 等差数列 | $a + (n-1)d$ | $\frac{n}{2}(a + l)$ | 无 |
| 有限等比数列 | $ar^{n-1}$ | $\frac{a(1-r^n)}{1-r} \ (r \neq 1)$ | 无 |
| 无穷等比数列 | - | $\frac{a}{1-r}$ | $\|r\| < 1$（收敛） |
| 二项式展开（n ∈ ℕ⁺） | $\binom{n}{r}a^{n-r}b^r$ | $\sum_{r=0}^n \binom{n}{r}a^{n-r}b^r$ | $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ |

## 下一步

数列是试卷1中频繁出现的核心考点，经常和坐标几何、对数、函数等其他考点结合。掌握二项式展开是后续纯数学3中负指数和分数指数二项式展开的基础，等比级数的收敛性则为A2阶段的麦克劳林无穷级数打下基础。你可以通过针对性练习加深对二项式展开的理解，然后进入下一个核心考点：求导（微分）。

- [求导（微分）](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-differentiation/)
- [积分](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-integration/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-series/