# 二次式

> CIE A-Level 数学 · 9709 纯数学 1（AS Level）
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-quadratics/

本模块涵盖CIE 9709 AS Level 纯1中二次表达式、二次方程和二次不等式的所有核心概念，你将学习形式转换、二次方程求解和根的性质分析。

**先修:** 一次项的基本代数展开和因式分解; 求解单变量一次方程

## 学习目标

- 识别二次表达式，并在不同代数形式之间转换
- 使用所有标准方法求解二次方程
- 使用判别式判断二次方程根的性质
- 求解二次不等式并写出正确的解集范围
- 用代入法求解一个为线性、一个为二次的联立方程组
- 识别并求解关于 x 的某个函数为二次型的方程，例如 x⁴ − 5x² + 4 = 0

## 真题考频

据 OwlsPrep 对官方 CIE 9709 P1 真题的聚合（2016–2025）: **二次式** 近 10 年出现 **109 次**——占 P1 全部真题的 **14.9%**（692 题中 109 题）.

最常考形式: 判别式与根的性质 (50), 配方法 (39), 二次方程与图像 (19), 一线一二次联立 (17), 二次不等式 (6).

## 二次表达式的形式

**二次表达式** — 单变量二次多项式，其中$a, b, c$为常数，首项系数$a$不为零。

*记法:* ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0

*例:* $3x^2 - 5x + 2$是二次表达式；$4x + 7$是一次式，因此不是二次表达式。

二次表达式可以写成三种常用形式，每种适用于不同场景：

- 一般式：$ax^2 + bx + c$，用于展开和计算判别式
- 因式分解式：$a(x - p)(x - q)$，用于确定根和求解方程
- 配方式：$a(x - h)^2 + k$，用于求抛物线的顶点（转折点）

**例题:** 将$2x^2 - 8x + 3$改写为配方式

1. 将前两项提出首项系数：

   $$2\left(x^2 - 4x\right) + 3$$
2. 通过加减x系数一半的平方，在括号内完成配方：

   $$2\left[(x^2 -4x + 4) -4\right] + 3$$
3. 展开常数项并化简：

   $$2(x-2)^2 - 8 + 3 = 2(x-2)^2 - 5$$
4. 配方式 $a(x-h)^2+k$ 的顶点就在 $(h,k)$，因此顶点为：

   $$(2, -5)$$

## 求解二次方程

二次方程的形式为$ax^2 + bx + c = 0$，其中$a \neq 0$。共有三种标准求解方法，各适用于不同场景。

**方法对比**

根据题目和二次式的形式选择求解方法：

- **因式分解法** — 整理为$ax^2 +bx +c = 0$的形式，分解为两个一次因式的乘积，令每个因式等于零求解
  - 优点: 对于有整数根的简单二次方程求解速度快
  - 缺点: 仅适用于可因式分解的二次方程

- **求根公式法** — 将$a, b, c$代入公式$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
  - 优点: 适用于所有二次方程
  - 缺点: 代入时容易出现符号错误

- **配方法** — 整理为配方式，分离平方项后对两边开平方
  - 优点: 适用于非计算器的带根号答案
  - 缺点: 比其他方法需要更多代数步骤

**例题:** 用求根公式法求解$2x^2 - 5x - 3 = 0$

1. 确定带正确符号的$a, b, c$：

   $$a=2, \quad b=-5, \quad c=-3$$
2. 代入求根公式：

   $$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)}$$
3. 化简根号下的表达式：

   $$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} = \frac{5 \pm 7}{4}$$
4. 计算两个根：

   $$x = 3 \quad \text{或} \quad x = -\frac{1}{2}$$

## 判别式与根的性质

**判别式** — 由二次方程系数计算得到的值，可用于判断实根的个数与性质。

*记法:* \Delta = b^2 - 4ac

*例:* 对于$x^2 - 3x + 2$，$\Delta = 9 - 8 = 1$

- $\Delta > 0$：两个不同的实根
- $\Delta = 0$：一个相等的重实根
- $\Delta < 0$：无实根（P1不要求进一步讨论）

> **tip**
>
> 在CIE考试中，任何要求你“证明方程有两个不同实根”的题目都需要你计算$\Delta$并证明其为正。

**例题:** 求$x^2 + 2kx + 9 = 0$有两个不同实根时$k$的取值范围

1. 要有两个不同实根，需要满足$\Delta > 0$：

   $$\Delta = (2k)^2 - 4(1)(9) = 4k^2 - 36$$
2. 令判别式大于零并化简：

   $$4k^2 - 36 > 0 \implies k^2 - 9 > 0 \implies (k-3)(k+3) > 0$$
3. 求解不等式得到最终范围：

   $$k < -3 \quad \text{或} \quad k > 3$$

**例题:** 求 $k$ 的值，使直线 $y = x + k$ 与曲线 $y = x^2 + 5x + 2$ 相切

1. 直线与曲线的公共点同时满足两个方程，令两个 $y$ 的表达式相等，整理成一个二次方程：

   $$x^2 + 5x + 2 = x + k \implies x^2 + 4x + (2 - k) = 0$$
2. 相切表示直线与曲线恰好相交于一点，即该二次方程有重根，也就是 $\Delta = 0$：

   $$\Delta = 4^2 - 4(1)(2 - k) = 0$$
3. 展开并求解 $k$：

   $$16 - 8 + 4k = 0 \implies 4k = -8 \implies k = -2$$

## 求解二次不等式

求解二次不等式可遵循以下结构化方法：

1. 整理不等式，使所有项移到一侧，另一侧为0
2. 求出对应二次方程的根
3. 根据首项系数的符号判断抛物线开口向上（$a>0$，U型）还是开口向下（$a<0$，n型）
4. 从图像中读取解集：$>0$对应图像在x轴上方的区域，$<0$对应图像在x轴下方的区域

**例题:** 求解不等式$2x^2 - x - 3 > 0$

1. 不等式已经整理好，因式分解求根：

   $$2x^2 -x -3 = (2x -3)(x +1) = 0 \implies x = \frac{3}{2}, \quad x = -1$$
2. 对于开口向上的U型抛物线，不等式的解在两根之外
3. 写出最终解：

   $$x < -1 \quad \text{或} \quad x > \frac{3}{2}$$

## 联立方程：一个线性、一个二次

当两个方程要同时成立，且一个是线性、一个是二次时，可靠的方法是代入法：把线性方程整理成用某个变量表示另一个变量，再代入二次方程。这样就把方程组化成了一个一元二次方程——而它你已经会解了。

**例题:** 解联立方程 $x + y + 1 = 0$ 与 $x^2 + y^2 = 25$。

1. 把线性方程整理成用 $x$ 表示 $y$：

   $$y = -x - 1$$
2. 代入二次方程：

   $$x^2 + (-x-1)^2 = 25$$
3. 展开并整理成标准二次方程：

   $$2x^2 + 2x - 24 = 0 \implies x^2 + x - 12 = 0$$
4. 因式分解求 $x$：

   $$(x+4)(x-3) = 0 \implies x = -4 \ \text{或}\ x = 3$$
5. 把每个 $x$ 代回线性方程，配对求出对应的值：

   $$x=-4 \Rightarrow y=3; \quad x=3 \Rightarrow y=-4$$

> **tip**
>
> 代回时代入线性方程、而不是二次方程——更简单，也能避免引入多余的解。务必把每个 $x$ 与它算出的 $y$ 配对：解是点 $(-4, 3)$ 和 $(3, -4)$，而不是这些数字的任意其他组合。

## 伪装二次：关于 x 的某个函数为二次型的方程

有些方程关于 $x$ 并不是二次的，但关于 $x$ 的某个函数却是二次的——比如 $x^2$、$\sqrt{x}$ 或 $\tan x$。用一个字母代替那个函数，就会显出一个标准二次方程。先解出代换量，再换回 $x$。

**例题:** 解 $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$。

1. 该方程关于 $x^2$ 是二次的。令 $u = x^2$：

   $$u^2 - 5u + 4 = 0$$
2. 解关于 $u$ 的二次方程：

   $$(u-1)(u-4) = 0 \implies u = 1 \ \text{或}\ u = 4$$
3. 用 $x^2 = u$ 换回——每个值可给出两个 $x$：

   $$x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1; \quad x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$$
4. 写出全部四个解：

   $$x = -2,\ -1,\ 1,\ 2$$

> **warning**
>
> 解出代换量只做了一半——必须换回 $x$，而每个值可能给出 0、1 或 2 个 $x$。还要注意代换的取值范围：在 $6x + \sqrt{x} - 1 = 0$ 中，令 $u = \sqrt{x}$，得 $6u^2 + u - 1 = 0$，解出 $u = \tfrac{1}{3}$ 或 $u = -\tfrac{1}{2}$。因为 $\sqrt{x} \ge 0$，舍去 $u = -\tfrac{1}{2}$，剩 $\sqrt{x} = \tfrac{1}{3}$，故 $x = \tfrac{1}{9}$。

## 常见错误

- **错误做法:** 当$x^2$的系数为零时仍将表达式称为二次式
  - 原因: 如果$a=0$，$x^2$项会消失，剩下的是一次式，不是二次式
  - 正确做法: 在应用二次相关规则前，始终确认$x^2$的系数不为零
- **错误做法:** 代入求根公式时混淆$b$的符号
  - 原因: 公式开头为$-b$，因此负的$b$加上负号后会变为正数
  - 正确做法: 代入公式前，先写下带明确符号的$a, b, c$
- **错误做法:** 认为$\Delta = 0$意味着没有实根
  - 原因: 重根仍然是实根，只是两个根相等
  - 正确做法: $\Delta = 0$表示一个相等的重实根；$\Delta < 0$才表示没有实根
- **错误做法:** 对于开口向上（U型）的抛物线，当$p<q$时，将$(x-p)(x-q) > 0$的解写成$p < x < q$
  - 原因: 这才是$<0$的解，U型抛物线中小于零的区域在两根之间
  - 正确做法: 对于开口向上的抛物线，$>0$（x轴上方）的解为$x < p$ 或 $x > q$

## 速查表

| 概念 | 核心结论 | 适用场景 |
| --- | --- | --- |
| 一般式 | $ax^2 + bx + c, a \neq 0$ | 计算判别式、代入求根公式 |
| 因式分解式 | $a(x-p)(x-q)$ | 确定根、求解方程 |
| 配方式 | $a(x-h)^2 +k$ | 求顶点坐标$(h,k)$ |
| 求根公式 | $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ | 求解任意二次方程 |
| 两个不同实根 | $\Delta > 0$ | 证明存在两个不同实根 |
| 一个重实根 | $\Delta = 0$ | 证明直线与曲线相切 |
| 无实根 | $\Delta < 0$ | 证明与x轴无交点 |
| 二次不等式（$a>0, p<q$） | $(x-p)(x-q) < 0 \implies p<x<q$; $>0 \implies x<p \text{ 或 } x>q$ | 快速得到解集范围 |
| 线性 + 二次联立 | 把线性方程整理成用某个变量表示另一个，代入二次方程 | 直线与曲线的交点、相切问题 |
| 伪装二次（disguised quadratic） | 令 $u=$ 关于 $x$ 的某个函数，解 $au^2+bu+c=0$，再换回 $x$ | $x^4-5x^2+4=0$，$\;6x+\sqrt{x}-1=0$ |

## 下一步

二次式是CIE AS 纯1中几乎所有其他主题的基础，包括曲线绘图、坐标几何和函数。判别式的概念经常被用于求解直线与曲线交点个数的问题，这是试卷1中常见的5-6分值题目。掌握二次知识可以帮助你避免在课程后续更复杂的题目中丢失容易得到的步骤分。你在这里学到的配方式也被广泛用于求函数的值域和绘制二次函数图像。

- [函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-functions/)
- [坐标几何](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-coordinate-geometry/)
- [弧度度量](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-circular-measure/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-quadratics/