积分

CIE A-Level 数学· 9709 2025-2026 大纲：第5节积分· 20 分钟阅读

1. 不定积分与幂函数积分法则★★☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

不定积分

\int f(x) dx

$f (x)$ 所有原函数的通式，为了涵盖所有可能的原函数，总是包含任意积分常数 $C$ 。

例:

$\int 2 x d x = x^{2} + C$

积分是求导的逆运算。对于任何幂函数 $x^{n}$ 其中 $n \neq = - 1$ ，幂函数积分法则遵循简单的两步：指数加1，再除以新指数，最后添加积分常数。

\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1

📐 例题

求 $3 x^{2} - 4 x + 5$ 关于 $x$ 的不定积分。

1
用幂函数积分法则对第一项 $3 x^{2}$ 积分：
$3 \times \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{3x^3}{3} = x^3$
2
用幂函数积分法则对第二项 $- 4 x$ 积分：
$-4 \times \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{-4x^2}{2} = -2x^2$
3
对常数项 $5 = 5 x^{0}$ 积分：
$5 \times \frac{x^{0+1}}{0+1} = 5x$
4
添加积分常数，合并所有项：
$x^3 - 2x^2 + 5x + C$

Exam tip:

阅卷官在不定积分题目中总会给积分常数分配整整一分——永远不要漏写它。

2. 定积分与微积分基本定理★★★☆☆⏱ 6 min

📘 定义

定积分

\int_a^b f(x) dx

等于 $y = f (x)$ 、x轴、下界 $x = a$ 和上界 $x = b$ 之间净面积的数值，通过微积分基本定理计算得到。

例:

$\int_{0}^{2} 2 x d x = [x^{2}]_{0}^{2} = 4 - 0 = 4$

微积分基本定理将原函数与定积分联系起来。如果 $F (x)$ 是 $f (x)$ 的任意一个原函数，那么 $a$ 和 $b$ 之间的定积分计算方式为：

\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

📐 例题

计算 $\int_{1}^{3} (2 x + 1) d x$ 的值。

1
首先求被积函数的不定积分：
$\int (2x + 1) dx = x^2 + x + C$
2
将原函数写成标准括号记法（常数会抵消，因此我们省略它）：
$[x^2 + x]_1^3$
3
计算原函数在上界 $x = 3$ 处的值：
$F(3) = 3^2 + 3 = 12$
4
计算原函数在下界 $x = 1$ 处的值：
$F(1) = 1^2 + 1 = 2$
5
用上界结果减去下界结果：
$12 - 2 = 10$

3. 计算曲线下面积★★★☆☆⏱ 6 min

积分可以得到两个边界之间曲线与x轴围成的面积。如果曲线完全在x轴上方，积分结果直接等于面积。如果曲线在边界之间穿过x轴，你必须将积分拆分为多个区间分别计算，因为x轴下方区域的积分结果为负，而面积永远是正数。

📐 例题

求 $y = x^{2} - 4$ 、x轴、 $x = 0$ 和 $x = 3$ 围成的总面积。

1
找到曲线在0和3之间与x轴的交点： $x^{2} - 4 = 0 ⟹ x = 2$ 。对于 $0 \leq x < 2$ ， $y < 0$ ；对于 $2 < x \leq 3$ ， $y > 0$ 。
2
计算第一个（负的）区域的积分：
$\int_0^2 (x^2 - 4) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 4x \right]_0^2 = -\frac{16}{3}$
3
取绝对值得到负区域的面积：
$\text{Area}_1 = \left| -\frac{16}{3} \right| = \frac{16}{3}$
4
计算第二个（正的）区域的积分：
$\int_2^3 (x^2 - 4) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 4x \right]_2^3 = \frac{7}{3}$
5
将两个面积相加得到总面积：
$\text{Total Area} = \frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3} = 7\frac{2}{3}$

4. 负指数和分数指数的积分★★★★☆⏱ 5 min

幂函数积分法则适用于除 $n = - 1$ 外的所有指数，包括负指数和分数指数。你只需要先把根式和倒数项改写为幂函数，再应用法则即可。

📐 例题

Find $\int (2 x + \frac{3}{x ^{2}}) d x$ .

1
将被积项改写为指数形式：
$2\sqrt{x} = 2x^{1/2}, \quad \frac{3}{x^2} = 3x^{-2}$
2
对第一项积分：指数加1，除以新指数：
$2 \times \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{4}{3}x^{3/2}$
3
对第二项积分：
$3 \times \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{3}{x}$
4
添加积分常数：
$\frac{4}{3}x^{3/2} - \frac{3}{x} + C$

✓ 快速检测

测试你对负指数幂函数积分法则的理解：

$\int x^{- 3} d x$ 的正确结果是？
- $- \frac{1}{3} x^{- 2} + C$
- $- \frac{1}{2} x^{- 2} + C$
- $- 2 x^{- 2} + C$
- $\frac{1}{- 2} x^{- 2}$
显示答案
1 —
指数加1： $- 3 + 1 = - 2$ ，然后除以新指数 $- 2$ 。不要忘记积分常数 $C$ ！

5. 常见陷阱

错误做法:

不定积分漏写积分常数

原因:

阅卷官明确给 $C$ 分配一分，因此这是很容易丢掉的一分

正确做法:

任何不定积分结果的末尾都要加上 $+ C$

错误做法:

面积问题中曲线穿过x轴时没有拆分积分

原因:

x轴下方的负面积会抵消正面积，得到的总面积比真实值小

正确做法:

找出边界之间所有的x截距，按区间拆分积分，对每个积分取绝对值，再相加

错误做法:

除以原指数而不是新指数

原因:

这是积分负指数或分数指数时常见的计算错误

正确做法:

永远记住：先给指数加1，再除以这个新指数

错误做法:

用上界结果减去下界结果，顺序搞反

原因:

这会让正积分得到错误的符号，导致面积题丢分

正确做法:

永远计算 $F (上界) - F (下界)$

错误做法:

在P1中尝试用幂函数法则积分 $x^{- 1}$

原因:

这会导致除以零，且 $x^{- 1}$ 的积分只在P2中考察

正确做法:

如果你在P1的积分题中遇到 $x^{- 1}$ ，检查你对被积函数的化简

6. 速查表

法则类型	公式	要点
不定积分幂法则	$\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C, n \neq = - 1$	一定要加 $+ C$
定积分	$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$	$F (x)$ 是 $f (x)$ 的原函数
面积（x轴上方）	Area = $\int_{a}^{b} f (x) d x$	不需要取绝对值
面积（x轴下方）	Area = $\int_{a}^{b} f (x) d x$	一定要取绝对值

7. 常见问题

我是不是永远都需要添加积分常数？

不定积分一定要加 $+ C$ 。它在定积分计算中会被抵消，因此定积分可以省略它。

面积可以是负数吗？

面积永远是正数。如果曲线在x轴下方，积分结果会是负数，因此你必须取绝对值来得到面积。

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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积分是A-Level数学中所有后续微积分知识点的核心基础。掌握这里的基础幂法则和面积计算，能让你为更高级的概念做好准备，包括两条曲线之间的面积、旋转体体积，以及指数、对数等超越函数的积分。这些知识点会出现在纯数学2和纯数学3中，因此现在打好基础积分的理解，之后处理更难的问题会容易得多。

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