# 积分

> CIE A-Level 数学 · 纯数学 1 (P1)
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-integration/

本模块讲解CIE A-Level P1的核心积分概念，包括不定积分、定积分、微积分基本定理和面积计算。你将逐步练习考试风格的例题。

**先修:** [多项式求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-differentiation/); 负指数和分数指数的指数法则

## 学习目标

- 求多项式、幂函数和根式函数的不定积分
- 利用链式法则的逆运算积分 $(ax+b)^n$ 形式的表达式
- 利用微积分基本定理计算定积分
- 计算曲线与x轴围成的总面积
- 求曲线与直线之间或两条曲线之间的面积
- 计算绕x轴和y轴的旋转体体积
- 规避积分问题中的常见考试错误

## 真题考频

据 OwlsPrep 对官方 CIE 9709 P1 真题的聚合（2016–2025）: **积分** 近 10 年出现 **130 次**——占 P1 全部真题的 **17.5%**（692 题中 130 题）.

最常考形式: 不定积分 (59), 旋转体体积 (29), 曲线下面积 (28), 曲线之间面积 (17), 定积分 (6).

## 不定积分与幂函数积分法则

**不定积分** — $f(x)$ 所有原函数的通式，为了涵盖所有可能的原函数，总是包含任意积分常数 $C$。

*记法:* \int f(x) dx

*例:* $\int 2x dx = x^2 + C$

积分是求导的逆运算。对于任何幂函数 $x^n$ 其中 $n \neq -1$，幂函数积分法则遵循简单的两步：指数加1，再除以新指数，最后添加积分常数。

$$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1$$

**例题:** 求 $3x^2 - 4x + 5$ 关于 $x$ 的不定积分。

1. 用幂函数积分法则对第一项 $3x^2$ 积分：

   $$3 \times \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{3x^3}{3} = x^3$$
2. 用幂函数积分法则对第二项 $-4x$ 积分：

   $$-4 \times \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{-4x^2}{2} = -2x^2$$
3. 对常数项 $5 = 5x^0$ 积分：

   $$5 \times \frac{x^{0+1}}{0+1} = 5x$$
4. 添加积分常数，合并所有项：

   $$x^3 - 2x^2 + 5x + C$$

形如 $(ax+b)^n$ 的线性表达式的幂可以通过逆用链式法则直接积分：先对括号应用幂法则，再除以括号的导数 $a$。这是考试中最高频的积分技巧之一。

$$\int (ax+b)^n \, dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C, \quad n \neq -1$$

**例题:** 求 $\int (2x-3)^4 \, dx$。

1. 把括号的幂加1，再除以新的幂，与基础幂法则完全一样：

   $$\frac{(2x-3)^{5}}{5}$$
2. 再除以括号的导数 $a = 2$，因为括号内是线性的。这一步是学生最容易漏掉的：

   $$\frac{(2x-3)^{5}}{5 \times 2} = \frac{(2x-3)^{5}}{10}$$
3. 添加积分常数：

   $$\frac{(2x-3)^{5}}{10} + C$$

当题目给出梯度函数 $\frac{dy}{dx}$ 以及曲线经过的一个点时，先积分求出 $y$（记得加 $+C$），再代入该点求出 $C$ 的值。这样就能确定那一条特定的曲线，而不是整个曲线族。

**例题:** 一条曲线的梯度为 $\frac{dy}{dx} = 2x + 1$，且经过点 $(1, -2)$。求该曲线的方程。

1. 对梯度函数积分求出通式，包含积分常数：

   $$y = \int (2x + 1) \, dx = x^2 + x + C$$
2. 代入已知值 $x=1$、$y=-2$，得到关于 $C$ 的方程：

   $$-2 = 1^2 + 1 + C = 2 + C$$
3. 解出积分常数：

   $$C = -4$$
4. 写出这条特定曲线的方程：

   $$y = x^2 + x - 4$$

> **考试提示:** 阅卷官在不定积分题目中总会给积分常数分配整整一分——永远不要漏写它。

## 定积分与微积分基本定理

**定积分** — 等于 $y=f(x)$、x轴、下界 $x=a$ 和上界 $x=b$ 之间净面积的数值，通过微积分基本定理计算得到。

*记法:* \int_a^b f(x) dx

*例:* $\int_0^2 2x dx = [x^2]_0^2 = 4 - 0 = 4$

微积分基本定理将原函数与定积分联系起来。如果 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的任意一个原函数，那么 $a$ 和 $b$ 之间的定积分计算方式为：

$$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$$

**例题:** 计算 $\int_1^3 (2x + 1) dx$ 的值。

1. 首先求被积函数的不定积分：

   $$\int (2x + 1) dx = x^2 + x + C$$
2. 将原函数写成标准括号记法（常数会抵消，因此我们省略它）：

   $$[x^2 + x]_1^3$$
3. 计算原函数在上界 $x=3$ 处的值：

   $$F(3) = 3^2 + 3 = 12$$
4. 计算原函数在下界 $x=1$ 处的值：

   $$F(1) = 1^2 + 1 = 2$$
5. 用上界结果减去下界结果：

   $$12 - 2 = 10$$

**例题:** 计算反常积分 $\int_1^{\infty} x^{-2} \, dx$。

1. 无穷大的上限无法直接代入，因此把 $\infty$ 替换为有限值 $X$，再照常积分：

   $$\int_1^{X} x^{-2} \, dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^{X} = 1 - \frac{1}{X}$$
2. 然后令 $X \to \infty$，此时 $\frac{1}{X}$ 趋近于 $0$：

   $$\lim_{X \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{X} \right) = 1$$
3. 结果是有限值，因此该积分收敛于 $1$。如果这个极限是无穷大，那么积分就发散，没有有限值。

## 计算曲线下面积

积分可以得到两个边界之间曲线与x轴围成的面积。如果曲线完全在x轴上方，积分结果直接等于面积。如果曲线在边界之间穿过x轴，你必须将积分拆分为多个区间分别计算，因为x轴下方区域的积分结果为负，而面积永远是正数。

**例题:** 求 $y = x^2 - 4$、x轴、$x=0$ 和 $x=3$ 围成的总面积。

1. 找到曲线在0和3之间与x轴的交点：$x^2 - 4 = 0 \implies x=2$。对于 $0 \leq x < 2$，$y<0$；对于 $2 < x \leq 3$，$y>0$。
2. 计算第一个（负的）区域的积分：

   $$\int_0^2 (x^2 - 4) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 4x \right]_0^2 = -\frac{16}{3}$$
3. 取绝对值得到负区域的面积：

   $$\text{面积}_1 = \left| -\frac{16}{3} \right| = \frac{16}{3}$$
4. 计算第二个（正的）区域的积分：

   $$\int_2^3 (x^2 - 4) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 4x \right]_2^3 = \frac{7}{3}$$
5. 将两个面积相加得到总面积：

   $$\text{总面积} = \frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3} = 7\frac{2}{3}$$

要求两条曲线（或一条曲线和一条直线）所围区域的面积，先令两个表达式相等，求出交点的x坐标。在这两个界限之间，对上方函数减去下方函数积分。先做减法就不必再按符号拆分——结果本身就是所围区域的正面积。

$$\text{面积} = \int_a^b \left( y_{\text{top}} - y_{\text{bottom}} \right) dx$$

**例题:** 求曲线 $y = x^2$ 与直线 $y = x + 2$ 所围区域的面积。

1. 令曲线与直线相等，求出交点：

   $$x^2 = x + 2 \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies (x-2)(x+1) = 0$$
2. 所以曲线与直线在 $x = -1$ 和 $x = 2$ 处相交；这就是积分的界限。

   $$x = -1, \quad x = 2$$
3. 在这两个界限之间，直线在曲线上方，因此对（直线减曲线）积分：

   $$\int_{-1}^{2} \left[ (x + 2) - x^2 \right] dx = \left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2}$$
4. 代入上界和下界求值：

   $$\left( 2 + 4 - \tfrac{8}{3} \right) - \left( \tfrac{1}{2} - 2 + \tfrac{1}{3} \right) = \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right)$$
5. 合并得到所围面积：

   $$\text{面积} = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$$

## 负指数和分数指数的积分

幂函数积分法则适用于除 $n=-1$ 外的所有指数，包括负指数和分数指数。你只需要先把根式和倒数项改写为幂函数，再应用法则即可。

**例题:** 求 $\int \left( 2\sqrt{x} + \frac{3}{x^2} \right) dx$。

1. 将被积项改写为指数形式：

   $$2\sqrt{x} = 2x^{1/2}, \quad \frac{3}{x^2} = 3x^{-2}$$
2. 对第一项积分：指数加1，除以新指数：

   $$2 \times \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{4}{3}x^{3/2}$$
3. 对第二项积分：

   $$3 \times \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{3}{x}$$
4. 添加积分常数：

   $$\frac{4}{3}x^{3/2} - \frac{3}{x} + C$$

**概念自测**

测试你对负指数幂函数积分法则的理解：

1. $\int x^{-3} dx$ 的正确结果是？

   - $-\frac{1}{3}x^{-2} + C$
   - $-\frac{1}{2}x^{-2} + C$
   - $-2x^{-2} + C$
   - $\frac{1}{-2}x^{-2}$

   *答案:* $-\frac{1}{2}x^{-2} + C$

   *解析:* 指数加1：$-3 + 1 = -2$，然后除以新指数 $-2$。不要忘记积分常数 $C$！

## 旋转体体积

当一个由曲线和坐标轴围成的区域绕该轴旋转 $360^\circ$ 时，会扫出一个立体。把这个立体切成半径为 $y$、厚度为 $dx$ 的薄圆盘，每个圆盘的面积为 $\pi y^2$，通过积分把它们求和就得到体积。最常见的错误就是忘记把半径平方。

$$\text{绕 x 轴：} \quad V = \pi \int_a^b y^2 \, dx$$

$$\text{绕 y 轴：} \quad V = \pi \int_a^b x^2 \, dy$$

**例题:** $y = x^2$ 在 $x = 0$ 到 $x = 2$ 之间的区域绕x轴旋转 $360^\circ$。求所形成立体的体积。

1. 使用绕x轴的公式，先把 $y$ 平方——要对整个表达式平方，不能只照抄 $y$：

   $$V = \pi \int_0^2 y^2 \, dx = \pi \int_0^2 (x^2)^2 \, dx = \pi \int_0^2 x^4 \, dx$$
2. 用幂法则积分：

   $$\pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^2$$
3. 代入上下限求值：

   $$\pi \left( \frac{32}{5} - 0 \right) = \frac{32\pi}{5}$$

如果旋转的区域不接触坐标轴，那么立体中间会有一个洞——即垫圈形。用外边界扫出的体积减去内边界扫出的体积。关键在于这是平方之差 $y_{\text{outer}}^2 - y_{\text{inner}}^2$，而不是差的平方。

$$V = \pi \int_a^b \left( y_{\text{outer}}^2 - y_{\text{inner}}^2 \right) dx$$

**例题:** 曲线 $y = 9 - x^2$ 与直线 $y = 5$ 之间的区域绕x轴旋转 $360^\circ$。求所形成立体的体积。

1. 求曲线与直线的交点得到界限：

   $$9 - x^2 = 5 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$$
2. 外半径是曲线 $y = 9 - x^2$，内半径是直线 $y = 5$。把垫圈积分写成平方之差：

   $$V = \pi \int_{-2}^{2} \left[ (9 - x^2)^2 - 5^2 \right] dx$$
3. 积分前先展开平方：

   $$(9 - x^2)^2 - 25 = 81 - 18x^2 + x^4 - 25 = 56 - 18x^2 + x^4$$
4. 逐项积分：

   $$V = \pi \left[ 56x - 6x^3 + \frac{x^5}{5} \right]_{-2}^{2}$$
5. 被积函数是偶函数，因此结果等于从 $0$ 到 $2$ 的值的两倍：

   $$V = 2\pi \left( 112 - 48 + \frac{32}{5} \right) = 2\pi \cdot \frac{352}{5} = \frac{704\pi}{5}$$

> **考试提示:** 只要绕某轴旋转，就先把半径平方再积分，并把 $\pi$ 提到积分号外。对于不接触坐标轴的区域，用外半径的平方减去内半径的平方，绝不是差的平方。

## 常见错误

- **错误做法:** 不定积分漏写积分常数
  - 原因: 阅卷官明确给 $C$ 分配一分，因此这是很容易丢掉的一分
  - 正确做法: 任何不定积分结果的末尾都要加上 $+ C$
- **错误做法:** 面积问题中曲线穿过x轴时没有拆分积分
  - 原因: x轴下方的负面积会抵消正面积，得到的总面积比真实值小
  - 正确做法: 找出边界之间所有的x截距，按区间拆分积分，对每个积分取绝对值，再相加
- **错误做法:** 除以原指数而不是新指数
  - 原因: 这是积分负指数或分数指数时常见的计算错误
  - 正确做法: 永远记住：先给指数加1，再除以这个新指数
- **错误做法:** 用上界结果减去下界结果，顺序搞反
  - 原因: 这会让正积分得到错误的符号，导致面积题丢分
  - 正确做法: 永远计算 $F(\text{上界}) - F(\text{下界})$
- **错误做法:** 在P1中尝试用幂函数法则积分 $x^{-1}$
  - 原因: 这会导致除以零，且 $x^{-1}$ 的积分只在P2中考察
  - 正确做法: 如果你在P1的积分题中遇到 $x^{-1}$，检查你对被积函数的化简

## 速查表

| 法则类型 | 公式 | 要点 |
| --- | --- | --- |
| 不定积分幂法则 | $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, n \neq -1$ | 一定要加 $+C$ |
| 定积分 | $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$ | $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数 |
| 面积（x轴上方） | Area = $\int_a^b f(x) dx$ | 不需要取绝对值 |
| 面积（x轴下方） | Area = $\left\| \int_a^b f(x) dx \right\|$ | 一定要取绝对值 |
| 线性幂法则 | $\int (ax+b)^n dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C$ | 除以 $a(n+1)$；$n \neq -1$ |
| 两条曲线之间的面积 | Area = $\int_a^b (y_{\text{top}} - y_{\text{bottom}}) dx$ | 上方减下方 |
| 体积（绕x轴） | $V = \pi \int_a^b y^2 dx$ | 把 $y$ 平方；$\pi$ 提到外面 |
| 体积（绕y轴） | $V = \pi \int_a^b x^2 dy$ | 把 $x$ 平方；$\pi$ 提到外面 |

## 下一步

积分是A-Level数学中所有后续微积分知识点的核心基础。本主题中的两条曲线之间的面积和旋转体体积技巧本身就属于纯数学1——你在上文已经学过它们。真正推迟到纯数学2和纯数学3的是超越函数的积分：例如指数函数 $e^x$、倒数 $\frac{1}{x}$（其积分为对数），以及三角函数，还有换元积分法和分部积分法等方法。现在牢固掌握幂法则、定积分、面积和体积，之后处理这些知识点会容易得多。

- [求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-differentiation/)
- [纯数学 3](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u2-overview/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-integration/