函数

CIE A-Level 数学· 第1单元：纯数学1，主题2· 15 分钟阅读

1. 函数、定义域和值域★★☆☆☆⏱ 4 min

📘 定义

函数

f(x)

从输入集合（定义域）到输出集合的映射，每个输入对应唯一一个输出。

例:

$f (x) = 2 x + 1$ 是一个函数； $x^{2} + y^{2} = 1$ 不是对所有 $x$ 都成立的函数。

竖线检验法用于判断一个图像是否表示函数：如果是函数，任意竖线与图像最多相交一次。

函数的定义域是所有有效输入值 $x$ 的集合。值域是所有可能输出值 $p (x)$ 的集合。

📐 例题

求 $f (x) = \frac{1}{x - 3}$ 在 $x \in R$ 上的定义域和值域。

1
首先，找出使函数无定义的 $x$ 。分母不能等于零：
2
$x - 3 = 0 \implies x = 3$
3
其他所有实数 $x$ 都是有效的，因此定义域为：
4
$\text{Domain: } x \in \mathbb{R}, x \neq 3$
5
求值域时，注意 $\frac{1}{x - 3}$ 永远不可能等于零（分子是不为零的常数1）。其他所有非零实数都是可能的输出：
6
$\text{Range: } f(x) \in \mathbb{R}, f(x) \neq 0$

Exam tip:

一定要检查两种常见的定义域限制：分母不能为零，平方根下的表达式不能为负。

2. 复合函数★★★☆☆⏱ 5 min

📘 定义

复合函数

f \circ g = f(g(x))

两个函数的组合，内层函数 $g$ 的输出作为外层函数 $f$ 的输入，即先应用 $g$ ，再应用 $f$ 。

例:

如果 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x + 1$ ，则 $f (g (x)) = (x + 1)^{2}$ 。

求复合函数 $f (g (x))$ 的定义域时，必须始终满足两个条件：1. $x$ 属于 $g$ 的定义域，2. $g (x)$ 属于 $f$ 的定义域。

📐 例题

已知 $f (x) = \frac{1}{x}$ ， $x \neq = 0$ ， $g (x) = x - 4$ ， $x \in R$ ，求 $f (g (x))$ 的定义域。

1
首先，要使 $f (g (x))$ 存在， $g (x)$ 必须是 $f$ 的有效输入：
2
$f$ 仅对非零输入有定义，因此要求 $g (x) \neq = 0$ ：
3
$x - 4 = 0 \implies x = 4$
4
接下来，检查 $g$ 的定义域： $g$ 对所有实数 $x$ 都有定义，因此唯一限制是 $x \neq = 4$ ：
5
$\text{Domain: } x \in \mathbb{R}, x \neq 4$

Exam tip:

复合函数的顺序很重要：大多数情况下 $f (g (x))$ 不等于 $g (f (x))$ 。始终先计算内层函数。

3. 反函数★★★☆☆⏱ 5 min

📘 定义

反函数

f^{-1}(x)

反转原一对一（单射）函数映射关系的函数。如果 $f$ 将 $x$ 映射到 $y$ ， $f^{- 1}$ 将 $y$ 映射回 $x$ 。

例:

如果 $f (x) = 2 x + 3$ ，则 $f^{- 1} (x) = \frac{x - 3}{2}$ 。

如果函数将每个输入映射到唯一输出，它就是一对一函数。使用横线检验法判断：对于一对一函数，任意横线与图像最多相交一次。核心性质： $domain of f^{- 1} = range of f$ ， $range of f^{- 1} = domain of f$ 。

📐 例题

求 $f (x) = 2 x - 5$ ， $x \in R$ 的反函数。

1
步骤1：令 $y = f (x)$ ：
2
$y = 2x - 5$
3
步骤2：整理方程，将 $x$ 表示为 $y$ 的函数：
4
$y + 5 = 2x \implies x = \frac{y + 5}{2}$
5
步骤3：交换 $x$ 和 $y$ 得到 $f^{- 1} (x)$ ：
6
$f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{2}$
7
验证： $f (f^{- 1} (x)) = 2 (\frac{x + 5}{2}) - 5 = x$ ，确认反函数正确。

4. 受限定义域的反函数★★★★☆⏱ 6 min

许多常见函数（如二次函数）在整个定义域上不是一对一的。要得到反函数，我们首先限制定义域使函数成为一对一的。这是CIE 9709考试中最常考的概念之一。

📐 例题

已知 $f (x) = x^{2}$ ， $x \geq 0$ ，求 $f^{- 1} (x)$ 并说明其定义域和值域。

1
步骤1：确认 $f (x)$ 在受限定义域上是一对一的。对于 $x \geq 0$ ，它通过横线检验，因此存在反函数。
2
步骤2：令 $y = x^{2}$ ，整理得 $x$ ：
3
$y = x^2 \implies x = \pm \sqrt{y}$
4
步骤3：原定义域是 $x \geq 0$ ，因此我们只取正根：
5
$x = \sqrt{y}$
6
步骤4：交换 $x$ 和 $y$ 得到反函数：
7
$f^{-1}(x) = \sqrt{x}$
8
步骤5：利用反函数性质说明定义域和值域：
9
$\text{Domain of } f^{-1} = \text{Range of } f = x \geq 0 \\ \text{Range of } f^{-1} = \text{Domain of } f = f^{-1}(x) \geq 0$

Exam tip:

一定要根据原受限定义域选择正确的根（正或负）。这是反函数题目中最容易丢分的点。

5. 图像变换★★★☆☆⏱ 6 min

📘 定义

y = f(x) 的变换

y = f(x)+a,\quad f(x+a),\quad af(x),\quad f(ax)

对方程 y = f(x) 所做的改变，它让图像按可预测的方式平移或拉伸，而不必逐点重画。

例:

若 $f (x) = x^{2}$ ，则 $y = f (x) + 3$ 是同一条抛物线向上移 3 个单位， $y = f (x - 2)$ 是它向右移 2 个单位。

有一个想法能解开本节所有变换：

对 $f$ 外部的改变作用在竖直方向，而且完全符合直觉；对 $f$ 内部（在 $f$ 作用之前对 $x$ 做的改变）的改变作用在水平方向，而且和直觉相反。

这就是为什么 $f (x) + a$ 把图像向上移（外部，符合直觉），而 $f (x + a)$ 却把它向左移（内部，方向相反）。

平移。

$y = f (x) + a$ ：向上移 $a$ （ $a < 0$ 则向下）。在 $f$ 外部，所以是竖直方向。
$y = f (x + a)$ ：向左移 $a$ （ $a < 0$ 则向右）。在 $f$ 内部，所以是水平方向且相反。

拉伸。

$y = a f (x)$ ：竖直拉伸，比例因子 $a$ 。每个 $y$ 值都乘以 $a$ ； $x$ 轴上的点不动。
$y = f (a x)$ ：水平拉伸，比例因子 $\frac{1}{a}$ 。每个 $x$ 值都除以 $a$ ； $y$ 轴上的点不动。

反射只是比例因子为负的拉伸： $y = - f (x)$ 关于 $x$ 轴反射， $y = f (- x)$ 关于 $y$ 轴反射。

📐 例题

函数 $f$ 定义为 $f (x) = x^{2}$ 。请完整描述把 $y = f (x)$ 映射到下列各式的单一变换：(a) $y = f (x) + 4$ ，(b) $y = f (x - 3)$ ，(c) $y = 2 f (x)$ ，(d) $y = f (2 x)$ 。

1
(a) $+ 4$ 在 $f$ 外部，作用在竖直方向且符合直觉，即向上平移 4 个单位：
2
$y = f(x) + 4 = x^2 + 4$
3
(b) $- 3$ 在 $f$ 内部，作用在水平方向且相反——减号把图像移向右边，即向右平移 3 个单位：
4
$y = f(x-3) = (x-3)^2$
5
(c) $2$ 乘的是整个函数（外部），所以是竖直拉伸，比例因子 2：
6
$y = 2f(x) = 2x^2$
7
(d) $2$ 乘的是 $f$ 内部的 $x$ ，所以是水平拉伸，比例因子取倒数为 $\frac{1}{2}$ ：
8
$y = f(2x) = (2x)^2 = 4x^2$

📐 例题

曲线 $y = f (x)$ 经过点 $(4, 3)$ 。它被变换为 $y = f (2 x) + 1$ 。请描述这两个变换，并求 $(4, 3)$ 的像。

1
先读出每个改变。 $f (2 x)$ 在 $f$ 内部 → 水平拉伸，比例因子 $\frac{1}{2}$ ； $+ 1$ 在外部 → 向上平移 1 个单位。水平改变作用在 $x$ 坐标上，竖直改变作用在 $y$ 坐标上。
2
水平拉伸比例因子 $\frac{1}{2}$ ，把 $x$ 坐标乘以 $\frac{1}{2}$ ：
3
$x:\quad 4 \times \frac{1}{2} = 2$
4
$+ 1$ 把 $y$ 坐标增加 1：
5
$y:\quad 3 + 1 = 4$
6
所以该点的像为：
7
$(4,\, 3) \;\longmapsto\; (2,\, 4)$
8
自检: $f$ 内部的因子 2 给出的是 $\frac{1}{2}$ 的拉伸，把点拉向 $y$ 轴（ $x = 4 \to x = 2$ ），绝不是 2 倍拉伸。这正是「内部 = 相反」的体现。

Exam tip:

考官常设的两个陷阱： $f (x + a)$ 的移动方向与 $a$ 的符号相反（ $+ a$ 是向左移），而 $f (a x)$ 的拉伸因子是 $\frac{1}{a}$ 而非 $a$ 。拿不准时，追踪一个简单的点，看它落到哪里。

6. 常见陷阱

错误做法:

认为 $x^{2} + y^{2} = 1$ 是 $x$ 的函数

原因:

一个 $x$ 值对应两个不同的 $y$ 值，因此不通过竖线检验

正确做法:

认识到这是一个关系，不是函数，因为 $- 1$ 到 $1$ 之间的每个 $x$ 都有两个输出

错误做法:

复合函数中忘记检查内层函数的定义域

原因:

只检查外层函数的限制，遗漏了内层函数本身的限制

正确做法:

始终检查两个条件： $x$ 属于内层函数的定义域，内层输出对外层函数有效

错误做法:

交换复合函数顺序，将 $f (g (x))$ 写成 $g (f (x))$

原因:

记错了记号 $f (g (x))$ 的含义：内层函数 $g$ 先计算

正确做法:

永远记住：复合函数先算内层，再算外层

错误做法:

求受限二次函数的反函数时保留两个根

原因:

原定义域限制了 $x$ 的符号，因此反函数只有一个根有效

正确做法:

根据原定义域为反函数选择正确的正根或负根

错误做法:

把 $y = f (x + 3)$ 读成向右平移 3 个单位

原因:

$+ 3$ 在 $f$ 内部，在函数作用前施加于 $x$ ，所以作用在水平方向且相反——图像向左移 3 个单位

正确做法:

用「内部 = 水平 = 相反」，或令括号为零（ $x + 3 = 0 \Rightarrow x = - 3$ ）看出图像移到 $x = - 3$ ，即向左移 3 个单位

7. 速查表

概念	核心规则
函数	每个输入对应唯一输出（通过竖线检验）
定义域	所有有效 $x$ ；排除使分母为零/平方根下为负的值
复合 $f (g (x))$	先算 $g$ ，再算 $f$ ；定义域： $x \in dom (g), g (x) \in dom (f)$
反函数 $f^{- 1} (x)$	仅一对一函数存在； $dom (f^{- 1}) = ran (f)$ ；图像关于 $y = x$ 对称
求反函数步骤	令 $y = f (x)$ 2. 整理得 $x$ 3. 交换 $x$ 和 $y$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · 1
求受限二次函数的值域
2022 · 1
求复合函数的反函数
2021 · 1
复合函数的定义域

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SyllabusCIE 9709 A-Level 数学 2025-2027

下一步

函数是几乎所有纯数学领域的基础，包括微积分、坐标几何和三角学。理解定义域和值域能帮助你正确解释极限、导数和积分，而反函数对于研究对数函数和反三角函数必不可少。本主题在CIE 9709试卷1中经常与函数变换结合出题，因此在这里打下坚实基础能帮助你应对课程后续更复杂的题目。