# 函数

> CIE A-Level 数学 · 9709
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-functions/

本模块讲解CIE 9709 AS 纯数学1的核心函数概念，包括定义、定义域、值域、复合函数和反函数，提供贴合考试的例题帮助你掌握常见题型。

**先修:** [基础代数和坐标几何](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-algebra-basics/)

## 学习目标

- 使用竖线检验法定义并识别函数
- 求常见函数的定义域和值域
- 构造复合函数并确定其定义域
- 求一对一函数和受限定义域函数的反函数
- 描述四种图像变换及其简单组合

## 真题考频

据 OwlsPrep 对官方 CIE 9709 P1 真题的聚合（2016–2025）: **函数** 近 10 年出现 **100 次**——占 P1 全部真题的 **14.5%**（692 题中 100 题）.

最常考形式: 反函数 (61), 复合函数 (48), 定义域与值域 (33), 图像变换 (33).

## 函数、定义域和值域

**函数** — 从输入集合（定义域）到输出集合的映射，每个输入对应唯一一个输出。

*记法:* f(x)

*例:* $f(x) = 2x+1$ 是一个函数；$x^2 + y^2 = 1$ 不是对所有$x$都成立的函数。

**竖线检验法**用于判断一个图像是否表示函数：如果是函数，任意竖线与图像最多相交一次。

函数的*定义域*是所有有效输入值$x$的集合。*值域*是所有可能输出值$f(x)$的集合。

**例题:** 求$f(x) = \frac{1}{x - 3}$在$x \in \mathbb{R}$上的定义域和值域。

1. 首先，找出使函数无定义的$x$。分母不能等于零：
2. $$x - 3 = 0 \implies x = 3$$
3. 其他所有实数$x$都是有效的，因此定义域为：
4. $$\text{定义域：} x \in \mathbb{R}, x \neq 3$$
5. 求值域时，注意$\frac{1}{x-3}$永远不可能等于零（分子是不为零的常数1）。其他所有非零实数都是可能的输出：
6. $$\text{值域：} f(x) \in \mathbb{R}, f(x) \neq 0$$

> **考试提示:** 一定要检查两种常见的定义域限制：分母不能为零，平方根下的表达式不能为负。

## 复合函数

**复合函数** — 两个函数的组合，内层函数$g$的输出作为外层函数$f$的输入，即*先应用$g$，再应用$f$*。

*记法:* f \circ g = f(g(x))

*例:* 如果 $f(x) = x^2$ 且 $g(x) = x+1$，则 $f(g(x)) = (x+1)^2$。

> **info**
>
> 复合 $fg(x)=f(g(x))$ 只有当 **$g$ 的值域落在 $f$ 的定义域之内** 时才能构成——否则 $g$ 的某些输出无法作为 $f$ 的合法输入。举例:$f(x)=\sqrt{x}$ 只接受 $x\ge 0$——若 $g(x)=x^2+1$(值域 $\ge 1$,全非负)则 $fg$ 成立;若 $g(x)=x-5$ 会输出负数,$fg$ 在那些点就断了。

求复合函数$f(g(x))$的定义域时，必须始终满足两个条件：1. $x$属于$g$的定义域，2. $g(x)$属于$f$的定义域。

**例题:** 已知 $f(x) = \frac{1}{x}$，$x \neq 0$，$g(x) = x - 4$，$x \in \mathbb{R}$，求$f(g(x))$的定义域。

1. 首先，要使$f(g(x))$存在，$g(x)$必须是$f$的有效输入：
2. $f$仅对非零输入有定义，因此要求$g(x) \neq 0$：
3. $$x - 4 = 0 \implies x = 4$$
4. 接下来，检查$g$的定义域：$g$对所有实数$x$都有定义，因此唯一限制是$x \neq 4$：
5. $$\text{定义域：} x \in \mathbb{R}, x \neq 4$$

> **考试提示:** 复合函数的顺序很重要：大多数情况下$f(g(x))$不等于$g(f(x))$。始终先计算内层函数。

## 反函数

**反函数** — 反转原一对一（单射）函数映射关系的函数。如果$f$将$x$映射到$y$，$f^{-1}$将$y$映射回$x$。

*记法:* f^{-1}(x)

*例:* 如果 $f(x) = 2x + 3$，则 $f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}$。

如果不同的输入总是给出不同的输出——也就是每个输出值只来自一个输入——函数就是一对一的。（任何函数本来就把每个输入送到唯一一个输出；一对一是对*输出*的额外要求。）使用*横线检验法*判断：对于一对一函数，任意横线与图像最多相交一次。核心性质：$f^{-1}\text{ 的定义域} = f\text{ 的值域}$，$f^{-1}\text{ 的值域} = f\text{ 的定义域}$。

**例题:** 求$f(x) = 2x - 5$，$x \in \mathbb{R}$的反函数。

1. 步骤1：令$y = f(x)$：
2. $$y = 2x - 5$$
3. 步骤2：整理方程，将$x$表示为$y$的函数：
4. $$y + 5 = 2x \implies x = \frac{y + 5}{2}$$
5. 步骤3：交换$x$和$y$得到$f^{-1}(x)$：
6. $$f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{2}$$
7. 验证：$f(f^{-1}(x)) = 2\left(\frac{x+5}{2}\right) - 5 = x$，确认反函数正确。

> **info**
>
> $f^{-1}(x)$的图像始终是$f(x)$的图像关于直线$y = x$的对称图像。

## 受限定义域的反函数

许多常见函数（如二次函数）在整个定义域上不是一对一的。要得到反函数，我们首先限制定义域使函数成为一对一的。这是CIE 9709考试中最常考的概念之一。

**例题:** 已知$f(x) = x^2$，$x \geq 0$，求$f^{-1}(x)$并说明其定义域和值域。

1. 步骤1：确认$f(x)$在受限定义域上是一对一的。对于$x \geq 0$，它通过横线检验，因此存在反函数。
2. 步骤2：令$y = x^2$，整理得$x$：
3. $$y = x^2 \implies x = \pm \sqrt{y}$$
4. 步骤3：原定义域是$x \geq 0$，因此我们只取正根：
5. $$x = \sqrt{y}$$
6. 步骤4：交换$x$和$y$得到反函数：
7. $$f^{-1}(x) = \sqrt{x}$$
8. 步骤5：利用反函数性质说明定义域和值域：
9. $$f^{-1}\text{ 的定义域} = f\text{ 的值域} = x \geq 0 \\ f^{-1}\text{ 的值域} = f\text{ 的定义域} = f^{-1}(x) \geq 0$$

**例题:** 对同一个 $f(x) = x^2$，$x \geq 0$（因此 $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$），在同一坐标系中画出 $f$ 和 $f^{-1}$，并展示它们之间的关系。

1. 画出 $x \geq 0$ 上的 $f(x) = x^2$：抛物线的右半支，从原点出发向上升。两个好画的点是 $(1, 1)$ 和 $(2, 4)$。
2. 把 $f$ 上每个点的坐标对调，就得到 $x \geq 0$ 上的 $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$。于是 $(1, 1)$ 不动，$(2, 4)$ 移到 $(4, 2)$：
3. $$(2,\, 4) \;\longmapsto\; (4,\, 2)$$
4. 画出直线 $y = x$。$f^{-1}$ 的图像是 $f$ 关于这条直线的镜像：$f$ 上的每个点都反射到 $f^{-1}$ 上对应的点，两条曲线相交处都落在 $y = x$ 上（这里是 $(0,0)$ 和 $(1,1)$）。
5. 在 CIE 中，画函数及其反函数的草图时必须标出对称轴 $y = x$——把它画出来并标注清楚。

> **考试提示:** 一定要根据原受限定义域选择正确的根（正或负）。这是反函数题目中最容易丢分的点。

## 图像变换

**y = f(x) 的变换** — 对方程 y = f(x) 所做的改变，它让图像按可预测的方式平移或拉伸，而不必逐点重画。

*记法:* y = f(x)+a,\quad f(x+a),\quad af(x),\quad f(ax)

*例:* 若 $f(x)=x^2$，则 $y=f(x)+3$ 是同一条抛物线向上移 3 个单位，$y=f(x-2)$ 是它向右移 2 个单位。

有一个想法能解开本节所有变换：

**对 $f$ *外部* 的改变作用在 *竖直* 方向，而且完全符合直觉；对 $f$ *内部*（在 $f$ 作用之前对 $x$ 做的改变）的改变作用在 *水平* 方向，而且和直觉 *相反*。**

这就是为什么 $f(x)+a$ 把图像向 *上* 移（外部，符合直觉），而 $f(x+a)$ 却把它向 *左* 移（内部，方向相反）。

**平移。**

- $y = f(x) + a$：向 **上** 移 $a$（$a<0$ 则向下）。在 $f$ 外部，所以是竖直方向。
- $y = f(x + a)$：向 **左** 移 $a$（$a<0$ 则向右）。在 $f$ 内部，所以是水平方向且相反。

**拉伸。**

- $y = a\,f(x)$：**竖直** 拉伸，比例因子 $a$。每个 $y$ 值都乘以 $a$；$x$ 轴上的点不动。
- $y = f(ax)$：**水平** 拉伸，比例因子 $\frac{1}{a}$。每个 $x$ 值都除以 $a$；$y$ 轴上的点不动。

**反射** 只是比例因子为负的拉伸：$y = -f(x)$ 关于 $x$ 轴反射，$y = f(-x)$ 关于 $y$ 轴反射。

> **info**
>
> 口诀：**外部 = 竖直 = 符合直觉；内部 = 水平 = 方向相反。** 记住这一句，就不用把四种情形分开硬背。

**例题:** 函数 $f$ 定义为 $f(x) = x^2$。请完整描述把 $y = f(x)$ 映射到下列各式的单一变换：(a) $y = f(x) + 4$，(b) $y = f(x - 3)$，(c) $y = 2f(x)$，(d) $y = f(2x)$。

1. (a) $+4$ 在 $f$ *外部*，作用在竖直方向且符合直觉：
2. $$y = f(x) + 4 = x^2 + 4 \quad\Rightarrow\quad \text{向上平移 4 个单位}$$
3. (b) $-3$ 在 $f$ *内部*，作用在水平方向且相反——减号把图像移向 *右* 边：
4. $$y = f(x-3) = (x-3)^2 \quad\Rightarrow\quad \text{向右平移 3 个单位}$$
5. (c) $2$ 乘的是整个函数（*外部*），所以是竖直拉伸：
6. $$y = 2f(x) = 2x^2 \quad\Rightarrow\quad \text{竖直拉伸，比例因子 2}$$
7. (d) $2$ 乘的是 $f$ *内部* 的 $x$，所以是水平拉伸，比例因子取倒数：
8. $$y = f(2x) = (2x)^2 = 4x^2 \quad\Rightarrow\quad \text{水平拉伸，比例因子 } \frac{1}{2}$$

**例题:** 曲线 $y = f(x)$ 经过点 $(4, 3)$。它被变换为 $y = f(2x) + 1$。请描述这两个变换，并求 $(4, 3)$ 的像。

1. 先读出每个改变。$f(2x)$ 在 $f$ *内部* → 水平拉伸，比例因子 $\frac{1}{2}$；$+1$ 在 *外部* → 向上平移 1 个单位。水平改变作用在 $x$ 坐标上，竖直改变作用在 $y$ 坐标上。
2. 水平拉伸比例因子 $\frac{1}{2}$，把 $x$ 坐标乘以 $\frac{1}{2}$：
3. $$x:\quad 4 \times \frac{1}{2} = 2$$
4. $+1$ 把 $y$ 坐标增加 1：
5. $$y:\quad 3 + 1 = 4$$
6. 所以该点的像为：
7. $$(4,\, 3) \;\longmapsto\; (2,\, 4)$$
8. 自检:$f$ *内部* 的因子 2 给出的是 $\frac{1}{2}$ 的拉伸，把点拉向 $y$ 轴（$x=4 \to x=2$），绝不是 2 倍拉伸。这正是「内部 = 相反」的体现。

> **info**
>
> **顺序重要吗？** 当你组合 **两个竖直** 变换（或 **两个水平** 变换）时，施加的先后顺序 *可能* 改变结果。当你组合 **一个水平和一个竖直** 变换时——比如上面的 $f(2x)+1$——顺序就永远无关紧要，因为它们作用在不同的坐标上。竖直变换遵循正常的运算顺序；水平变换遵循 *相反* 的顺序。

**例题:** 曲线 $y = f(x)$ 经过点 $(3, 5)$。请描述 $y = 2f(x) - 3$ 中的变换，求 $(3, 5)$ 的像，并解释为什么这里顺序重要。

1. 两个改变都在 $f$ *外部*，所以都是竖直方向：$2f(x)$ 是比例因子 2 的竖直拉伸，$-3$ 是向下平移 3 个单位。两个竖直变换遵循正常运算顺序——先乘，再减。
2. $x$ 坐标不变（没有任何水平方向的作用）。先把 $y$ 坐标做 $\times 2$ 的拉伸，再减去 3：
3. $$y:\quad 5 \times 2 - 3 = 7$$
4. 所以该点的像为：
5. $$(3,\, 5) \;\longmapsto\; (3,\, 7)$$
6. 顺序重要，是因为两步都作用在同一个（$y$）坐标上：如果 *先* 减 3 再拉伸，会得到 $2(5 - 3) = 4$，而不是 $7$。这与 $f(2x)+1$ 不同——那里水平和竖直两步作用在不同坐标上，谁先谁后都行。

> **考试提示:** 考官常设的两个陷阱：$f(x+a)$ 的移动方向与 $a$ 的符号 *相反*（$+a$ 是向左移），而 $f(ax)$ 的拉伸因子是 $\frac{1}{a}$ 而非 $a$。拿不准时，追踪一个简单的点，看它落到哪里。

## 常见错误

- **错误做法:** 认为$x^2 + y^2 = 1$是$x$的函数
  - 原因: 一个$x$值对应两个不同的$y$值，因此不通过竖线检验
  - 正确做法: 认识到这是一个关系，不是函数，因为$-1$到$1$之间的每个$x$都有两个输出
- **错误做法:** 复合函数中忘记检查内层函数的定义域
  - 原因: 只检查外层函数的限制，遗漏了内层函数本身的限制
  - 正确做法: 始终检查两个条件：$x$属于内层函数的定义域，内层输出对外层函数有效
- **错误做法:** 交换复合函数顺序，将$f(g(x))$写成$g(f(x))$
  - 原因: 记错了记号$f(g(x))$的含义：内层函数$g$先计算
  - 正确做法: 永远记住：复合函数先算内层，再算外层
- **错误做法:** 求受限二次函数的反函数时保留两个根
  - 原因: 原定义域限制了$x$的符号，因此反函数只有一个根有效
  - 正确做法: 根据原定义域为反函数选择正确的正根或负根
- **错误做法:** 把 $y = f(x + 3)$ 读成向右平移 3 个单位
  - 原因: $+3$ 在 $f$ 内部，在函数作用前施加于 $x$，所以作用在水平方向且相反——图像向 *左* 移 3 个单位
  - 正确做法: 用「内部 = 水平 = 相反」，或令括号为零（$x+3=0 \Rightarrow x=-3$）看出图像移到 $x=-3$，即向左移 3 个单位

## 速查表

| 概念 | 核心规则 |
| --- | --- |
| 函数 | 每个输入对应唯一输出（通过竖线检验） |
| 定义域 | 所有有效$x$；排除使分母为零/平方根下为负的值 |
| 复合 $f(g(x))$ | 先算$g$，再算$f$；定义域：$x \in \text{dom}(g), g(x) \in \text{dom}(f)$ |
| 反函数 $f^{-1}(x)$ | 仅一对一函数存在；$\text{dom}(f^{-1}) = \text{ran}(f)$；图像关于$y=x$对称 |
| 求反函数步骤 | 1. 令$y=f(x)$ 2. 整理得$x$ 3. 交换$x$和$y$ |
| 图像变换 | $f(x)+a$ 向上；$f(x+a)$ 向左；$af(x)$ 竖直 $\times a$；$f(ax)$ 水平 $\times \frac{1}{a}$ |

## 下一步

函数是几乎所有纯数学领域的基础，包括微积分、坐标几何和三角学。理解定义域和值域能帮助你正确解释极限、导数和积分，而反函数对于研究对数函数和反三角函数必不可少。本指南最后一节讲解的图像变换本身就是CIE 9709试卷1中的高频考点，并常与定义域、值域和反函数的题目结合出现，因此在这里打下坚实基础能帮助你应对课程后续更复杂的题目。

- [二次式](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-quadratics/)
- [求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-differentiation/)
- [坐标几何](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-coordinate-geometry/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-functions/