求导（微分）

CIE A-Level 数学· 9709 P1 主题7: 求导· 15 分钟阅读

1. 定义与第一原理求导★★☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

第一原理导数

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

导数是曲线上两点割线斜率，当两点间距离趋近于零时的极限，结果即为该点处切线的斜率。

例:

对于 $f (x) = x^{2}$ ，第一原理求导得到的导数为2x

📐 例题

用第一原理求 $f (x) = 3 x^{2}$ 的导数。

1
首先计算 $f (x + h)$ ：
2
$f(x+h) = 3(x+h)^2 = 3(x^2 + 2xh + h^2) = 3x^2 + 6xh + 3h^2$
3
减去 $f (x)$ 并对结果因式分解：
4
$f(x+h) - f(x) = (3x^2 + 6xh + 3h^2) - 3x^2 = 6xh + 3h^2 = h(6x + 3h)$
5
除以 $h$ 并取 $h \to 0$ 的极限：
6
$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = 6x + 3h, \quad \lim_{h \to 0} (6x + 3h) = 6x$
7
最终结果： $f^{'} (x) = 6 x$

Exam tip:

当题目要求用第一原理方法时，务必写出完整四步，每一步都会给分。

2. 求导幂次法则★★★☆☆⏱ 6 min

📘 定义

幂次法则

\text{If } y = ax^n, \quad \frac{dy}{dx} = anx^{n-1}

任意幂函数求导的通用法则，对所有实常数 $a$ 和 $n$ 都成立。该法则可以逐项应用于函数的和。

例:

$5 x^{3}$ 求导得到 $15 x^{2}$

📐 例题

对 $y = 4 x^{3} - \frac{2}{x ^{2}} + 5 x$ 关于 $x$ 求导。

1
将所有项改写为 $a x^{n}$ 的形式：
2
$y = 4x^3 - 2x^{-2} + 5x^{\frac{1}{2}}$
3
逐项应用幂次法则：
4
$\frac{d}{dx}(4x^3) = 4 \times 3 x^{2} = 12x^2$
5
$\frac{d}{dx}(-2x^{-2}) = (-2) \times (-2) x^{-3} = 4x^{-3}$
6
$\frac{d}{dx}(5x^{\frac{1}{2}}) = 5 \times \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{5}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
7
最终答案改写为正幂/分母带根号的形式：
8
$\frac{dy}{dx} = 12x^2 + \frac{4}{x^3} + \frac{5}{2\sqrt{x}}$

3. 切线与法线方程★★★☆☆⏱ 6 min

曲线在点 $(a, f (a))$ 处的导数给出该点处曲线切线的斜率。法线在切点处垂直于切线，因此法线的斜率是切线斜率的负倒数： $m_{n} = - \frac{1}{m _{t}}$ 。

📐 例题

求曲线 $y = x^{3} - 2 x + 1$ 在点 $(1, 0)$ 处法线的方程。

1
首先对曲线求导得到斜率函数：
2
$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 2$
3
计算 $x = 1$ 处切线的斜率：
4
$m_t = 3(1)^2 - 2 = 1$
5
将法线斜率计算为负倒数：
6
$m_n = -\frac{1}{1} = -1$
7
使用直线的点斜式求方程：
8
$y - y_1 = m(x - x_1) \implies y - 0 = -1(x - 1)$
9
化简得到最终答案：
10
$y = -x + 1$

Exam tip:

反复确认题目要求的是切线还是法线，这是考试中最常见的可避免错误之一。

4. 驻点★★★★☆⏱ 7 min

📘 定义

驻点

曲线上斜率（导数）为零的点，此时切线为水平线。驻点分为两类：极大值点（斜率从正变负）和极小值点（斜率从负变正）。

例:

曲线 $y = x^{2}$ 在 $(0, 0)$ 处有一个极小值驻点。

📐 例题

求并分类 $y = x^{3} - 3 x + 2$ 的驻点。

1
求导得到一阶导数：
2
$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 3$
3
令导数等于零，求得驻点的x坐标：
4
$3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \text{ or } x = -1$
5
求对应的y坐标：
6
$x=1: y=1 - 3 + 2 = 0 \quad (1, 0)$
7
$x=-1: y=-1 + 3 + 2 = 4 \quad (-1, 4)$
8
使用二阶导数测试进行分类：
9
$\frac{d^2y}{dx^2} = 6x$
10
对于 $(1, 0)$ : $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = 6 (1) = 6 > 0$ ，因此是极小值点。对于 $(- 1, 4)$ : $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = 6 (- 1) = - 6 < 0$ ，因此是极大值点。

5. 常见陷阱

错误做法:

对常数项求导后在导数中保留该常数

原因:

忘记常数 $c = c x^{0}$ ，因此幂次法则给出导数 $0 \times c x^{- 1} = 0$

正确做法:

所有常数项求导结果都一定是零，最终导数中要去掉常数项

错误做法:

省略改写负幂/分数幂的步骤，例如写出 $\frac{d}{d x} (1/ x) = 1$

原因:

幂次法则仅对 $a x^{n}$ 形式的项生效，因此倒数和根号必须先改写

正确做法:

先改写 $1/ x = x^{- 1}$ ，再应用法则得到导数 $- x^{- 2} = - 1/ x^{2}$

错误做法:

求法线方程时使用切线斜率

原因:

混淆了切线和法线的定义，或者忘记垂直斜率的关系

正确做法:

始终将法线斜率计算为切线斜率的负倒数： $m_{n} = - 1/ m_{t}$

错误做法:

颠倒二阶导数测试结果：将二阶导数为正判定为极大值

原因:

记错了驻点的分类法则

正确做法:

二阶导数为正 = 极小值，二阶导数为负 = 极大值

6. 速查表

概念	法则/公式
第一原理导数	f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
幂次法则	y = ax^n \implies \frac{dy}{dx} = anx^{n-1}
x=a处的切线斜率	m_t = \frac{dy}{dx} \bigg\|_{x=a}
x=a处的法线斜率	m_n = -\frac{1}{m_t}
驻点条件	\frac{dy}{dx} = 0
二阶导数测试	$d^{2} y / d x^{2} > 0$ : 极小值； $< 0$ : 极大值

7. 常见问题

求导时总是需要用第一原理吗？

不需要，只有当题目明确要求用第一原理证明时才需要。其他题目都可以直接使用幂次法则。

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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下一步

求导是A-Level数学所有后续微积分内容的基础。掌握P1的入门内容后，你将在纯数学2中把这些概念拓展到三角函数、指数函数和对数函数，学习乘积和商的求导新法则，并将求导应用于相关变化率和优化问题。这些核心考点都直接建立在你在本子主题学习的基础法则和技能之上，因此掌握本内容对整个A-Level考试的成功至关重要。