# 求导（微分）

> CIE A-Level 数学 · 纯数学 1 (P1)
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-differentiation/

本子主题介绍CIE A-Level P1的核心求导概念。你将学习幂函数求导的核心法则，求解切线和法线，以及确定并分类驻点——这是考试中占分很高的高频考点。

**先修:** [坐标几何与直线](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-coordinate-geometry/); [多项式与指数法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-polynomials/)

## 学习目标

- 理解求导对应曲线切线的斜率
- 运用幂次法则对多项式、负幂和分数幂函数求导
- 求多项式曲线的切线和法线方程
- 确定并分类多项式函数的驻点
- 使用链式法则对复合函数求导
- 利用 $f'(x)$ 的符号确定函数的增减区间
- 将求导应用于变化率与关联变化率问题
- 求二阶导数 $\frac{d^2y}{dx^2}$ 并用其判定驻点的性质

## 真题考频

据 OwlsPrep 对官方 CIE 9709 P1 真题的聚合（2016–2025）: **求导（微分）** 近 10 年出现 **162 次**——占 P1 全部真题的 **21.2%**（692 题中 162 题）.

最常考形式: 驻点 / 极值 (68), 切线与法线 (54), 二阶导判别 (29), 变化率 (28), 单调性 (20).

## 定义与第一原理求导

**第一原理导数** — 导数是曲线上两点割线斜率，当两点间距离趋近于零时的极限，结果即为该点处切线的斜率。

*记法:* f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

*例:* 对于$f(x) = x^2$，第一原理求导得到的导数为2x

当割线的第二个点沿曲线滑向第一个点时，割线斜率构成的数列趋近于一个极限值——即该点处切线的斜率。这个极限就是导数 $f'(x)$。在 9709 试卷一中，你需要理解这一思想，但无需用第一原理求导；实际计算时使用随后介绍的幂次法则和链式法则。

> **考试提示:** 在 9709 P1 中你无需用第一原理求导。把导数理解为一系列割线斜率的极限，然后用幂次法则和链式法则来求导。

## 求导幂次法则

**幂次法则** — 任意幂函数求导的通用法则，对任意实常数 $a$ 和任意有理数幂 $n$ 都成立。该法则可以逐项应用于函数的和。

*记法:* \text{If } y = ax^n, \quad \frac{dy}{dx} = anx^{n-1}

*例:* $5x^3$ 求导得到 $15x^2$

> **tip**
>
> 应用幂次法则前，务必先将倒数和根号改写为负幂和分数幂，这可以避免常见的指数运算错误。

**例题:** 对$y = 4x^3 - \frac{2}{x^2} + 5\sqrt{x}$关于$x$求导。

1. 将所有项改写为$ax^n$的形式：
2. $$y = 4x^3 - 2x^{-2} + 5x^{\frac{1}{2}}$$
3. 逐项应用幂次法则：
4. $$\frac{d}{dx}(4x^3) = 4 \times 3 x^{2} = 12x^2$$
5. $$\frac{d}{dx}(-2x^{-2}) = (-2) \times (-2) x^{-3} = 4x^{-3}$$
6. $$\frac{d}{dx}(5x^{\frac{1}{2}}) = 5 \times \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{5}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
7. 最终答案改写为正幂/分母带根号的形式：
8. $$\frac{dy}{dx} = 12x^2 + \frac{4}{x^3} + \frac{5}{2\sqrt{x}}$$

## 链式法则

**链式法则** — 对复合函数 $y = f(g(x))$ 求导时，令 $u = g(x)$，使 $y$ 成为 $u$ 的函数。先对外层函数关于 $u$ 求导，再乘以内层函数的导数——先对外层求导，再乘以内层的导数。

*记法:* \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}

*例:* 对于 $y = (2x+1)^5$，令 $u = 2x+1$：$\frac{dy}{dx} = 5u^4 \times 2 = 10(2x+1)^4$。

> **tip**
>
> 最常见的错误是忘记乘以内层的导数。对于 $(2x+1)^5$，内层的导数是 $2$，所以答案是 $10(2x+1)^4$，而不是 $5(2x+1)^4$。

**例题:** 对 $y = \sqrt{3x^2 - 1}$ 关于 $x$ 求导。

1. 将函数写成幂的形式，并识别内层函数：
2. $$y = (3x^2 - 1)^{\frac{1}{2}}, \quad u = 3x^2 - 1$$
3. 对外层关于 $u$ 求导：
4. $$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2} u^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}(3x^2 - 1)^{-\frac{1}{2}}$$
5. 对内层关于 $x$ 求导：
6. $$\frac{du}{dx} = 6x$$
7. 将两个导数相乘（链式法则）：
8. $$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(3x^2 - 1)^{-\frac{1}{2}} \times 6x = \frac{3x}{\sqrt{3x^2 - 1}}$$

> **考试提示:** 对于括号的幂，$\frac{d}{dx}(ax+b)^n = n(ax+b)^{n-1} \times a$。务必乘上内层的导数。

## 切线与法线方程

曲线在点$(a, f(a))$处的导数给出该点处曲线切线的斜率。法线在切点处垂直于切线，因此法线的斜率是切线斜率的负倒数：$m_n = -\frac{1}{m_t}$。

**例题:** 求曲线$y = x^3 - 2x + 1$在点$(1, 0)$处法线的方程。

1. 首先对曲线求导得到斜率函数：
2. $$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 2$$
3. 计算$x=1$处切线的斜率：
4. $$m_t = 3(1)^2 - 2 = 1$$
5. 将法线斜率计算为负倒数：
6. $$m_n = -\frac{1}{1} = -1$$
7. 使用直线的点斜式求方程：
8. $$y - y_1 = m(x - x_1) \implies y - 0 = -1(x - 1)$$
9. 化简得到最终答案：
10. $$y = -x + 1$$

> **考试提示:** 反复确认题目要求的是切线还是法线，这是考试中最常见的可避免错误之一。

## 增函数与减函数

**增函数与减函数** — 在导数为正的区间上函数递增，在导数为负的区间上函数递减。$f'(x)$ 的符号告诉你当 $x$ 增大时曲线是上升还是下降。

*记法:* f'(x) > 0 \implies \nearrow, \quad f'(x) < 0 \implies \searrow

*例:* 对于 $f(x) = x^2$，$f'(x) = 2x$：函数在 $x < 0$ 时递减，在 $x > 0$ 时递增。

**例题:** 求使 $f(x) = x^3 - 3x^2$ 递减的 $x$ 的取值范围。

1. 求导得到斜率函数：
2. $$f'(x) = 3x^2 - 6x$$
3. 函数在 $f'(x) < 0$ 的区间递减：
4. $$3x^2 - 6x < 0 \implies 3x(x - 2) < 0$$
5. 解不等式（临界值为 $x = 0$ 和 $x = 2$）：
6. $$0 < x < 2$$
7. 因此 $f(x)$ 在 $0 < x < 2$ 时递减。

> **考试提示:** 答案用不等式或区间表示。函数在 $f'(x) > 0$ 处递增，在 $f'(x) < 0$ 处递减——不要弄反。

## 驻点

**驻点** — 曲线上斜率（导数）为零的点，此时切线为水平线。驻点分为两类：极大值点（斜率从正变负）和极小值点（斜率从负变正）。

*例:* 曲线$y = x^2$ 在$(0,0)$处有一个极小值驻点。

**例题:** 求并分类$y = x^3 - 3x + 2$的驻点。

1. 求导得到一阶导数：
2. $$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 3$$
3. 令导数等于零，求得驻点的x坐标：
4. $$3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \text{ or } x = -1$$
5. 求对应的y坐标：
6. $$x=1: y=1 - 3 + 2 = 0 \quad (1, 0)$$
7. $$x=-1: y=-1 + 3 + 2 = 4 \quad (-1, 4)$$
8. 使用二阶导数测试进行分类：
9. $$\frac{d^2y}{dx^2} = 6x$$
10. 对于$(1, 0)$: $\frac{d^2y}{dx^2} = 6(1) = 6 > 0$，因此是极小值点。对于$(-1, 4)$: $\frac{d^2y}{dx^2} = 6(-1) = -6 < 0$，因此是极大值点。

## 变化率与关联变化率

导数就是一种变化率：$\frac{dy}{dx}$ 衡量 $y$ 随 $x$ 变化的快慢。当两个量都随时间变化时，它们的变化率通过链式法则联系起来：$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \times \frac{dx}{dt}$。这样你就能由已知的变化率求出未知的变化率。

**例题:** 一个圆的半径 $r$ cm 以 $0.2$ cm s$^{-1}$ 的恒定速率增大。求当 $r = 5$ cm 时，面积 $A$ 增大的速率。

1. 写出已知的变化率以及 $A$ 与 $r$ 的关系：
2. $$\frac{dr}{dt} = 0.2, \quad A = \pi r^2$$
3. 对 $A$ 关于 $r$ 求导：
4. $$\frac{dA}{dr} = 2\pi r$$
5. 用链式法则关联变化率：
6. $$\frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dr} \times \frac{dr}{dt} = 2\pi r \times 0.2$$
7. 代入 $r = 5$：
8. $$\frac{dA}{dt} = 2\pi (5)(0.2) = 2\pi \approx 6.28 \text{ cm}^2\,\text{s}^{-1}$$

> **考试提示:** 先确定题目给出的变化率和所求的变化率，再建立把它们连接起来的导数链。最终答案要带单位。

## 常见错误

- **错误做法:** 对常数项求导后在导数中保留该常数
  - 原因: 忘记常数$c = c x^0$，因此幂次法则给出导数$0 \times c x^{-1} = 0$
  - 正确做法: 所有常数项求导结果都一定是零，最终导数中要去掉常数项
- **错误做法:** 省略改写负幂/分数幂的步骤，例如写出$\frac{d}{dx}(1/x) = 1$
  - 原因: 幂次法则仅对$ax^n$形式的项生效，因此倒数和根号必须先改写
  - 正确做法: 先改写$1/x = x^{-1}$，再应用法则得到导数$-x^{-2} = -1/x^2$
- **错误做法:** 求法线方程时使用切线斜率
  - 原因: 混淆了切线和法线的定义，或者忘记垂直斜率的关系
  - 正确做法: 始终将法线斜率计算为切线斜率的负倒数：$m_n = -1/m_t$
- **错误做法:** 颠倒二阶导数测试结果：将二阶导数为正判定为极大值
  - 原因: 记错了驻点的分类法则
  - 正确做法: 二阶导数为正 = 极小值，二阶导数为负 = 极大值

## 速查表

| 概念 | 法则/公式 |
| --- | --- |
| 第一原理导数 | f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} |
| 幂次法则 | y = ax^n \implies \frac{dy}{dx} = anx^{n-1} |
| 链式法则 | \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} |
| x=a处的切线斜率 | m_t = \frac{dy}{dx} \bigg\|_{x=a} |
| x=a处的法线斜率 | m_n = -\frac{1}{m_t} |
| 增减性 | $f'(x) > 0$：递增；$f'(x) < 0$：递减 |
| 驻点条件 | \frac{dy}{dx} = 0 |
| 二阶导数测试 | $d^2y/dx^2 > 0$: 极小值；$<0$: 极大值 |
| 关联变化率 | \frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dr} \times \frac{dr}{dt} |

## 下一步

求导是 A-Level 数学所有后续微积分内容的基础。在本 P1 主题中，你已经学习了链式法则、增函数与减函数、关联变化率，以及利用驻点求最优值（优化）。在纯数学 2 和纯数学 3 中，你将把求导拓展到三角函数、指数函数和对数函数，并学习乘积与商的求导新法则。掌握这里的 P1 法则与技能，是学习后续这些方法的前提。

- [积分（求导的逆运算）](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-integration/)
- [纯数学 3](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u2-overview/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-differentiation/