坐标几何

CIE A-Level 数学· 30 分钟阅读

1. 距离、中点和斜率★☆☆☆☆⏱ 10 min

📘 定义

斜率

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

衡量直线倾斜程度的量，等于直线上任意两点之间纵向变化量（升幅）与横向变化量（水平位移）的比值。

对于任意两点 $A (x_{1}, y_{1})$ 和 $B (x_{2}, y_{2})$ ，我们使用勾股定理计算两点间距离，通过坐标平均值求中点：

距离： $d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$
中点： $M = (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$

📐 例题

求 $A (1, 3)$ 和 $B (4, 7)$ 之间的距离，以及线段 $A B$ 中点 $M$ 的坐标。

1
标注坐标： $x_{1} = 1, y_{1} = 3, x_{2} = 4, y_{2} = 7$
2
计算坐标差值：
3
$x_2 - x_1 = 3, \quad y_2 - y_1 = 4$
4
代入距离公式：
5
$d = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
6
通过坐标平均值计算中点：
7
$M = \left(\frac{1+4}{2}, \frac{3+7}{2}\right) = (2.5, 5)$

Exam tip:

点的顺序对距离和斜率的计算没有影响，因为差值平方后会消除负号。

2. 直线方程★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

直线方程

y - y_1 = m(x-x_1) \quad \text{or} \quad y = mx + c

连接直线上所有点的 $x$ 坐标和 $y$ 坐标的代数关系式，其中 $m$ 是斜率， $c$ 是y轴截距（即直线与y轴交点的 $y$ 值）。

CIE考试几乎总是要求答案写成 $a x + b y + c = 0$ 的形式，其中 $a, b, c$ 为整数，且 $a$ 为正数。

📐 例题

求斜率为 $- 2$ 且过点 $(3, 1)$ 的直线方程，将答案写成 $a x + b y + c = 0$ 的形式。

1
将 $m = - 2$ 、 $x_{1} = 3$ 、 $y_{1} = 1$ 代入点斜式公式：
2
$y - 1 = -2(x - 3)$
3
展开右侧：
4
$y - 1 = -2x + 6$
5
将所有项移到左侧，整理成要求的形式：
6
$2x + y - 7 = 0$

Exam tip:

一定要将答案整理成题目指定的形式，避免丢分。

3. 平行线与垂线★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

垂直平分线

将给定线段以90°角平分的直线，常用于求过两个或三个点的圆的圆心。

📐 例题

求过点 $(1, 2)$ 且与 $2 x + y - 7 = 0$ 垂直的直线方程。

1
整理原直线方程求斜率：
2
$y = -2x + 7 \implies m_1 = -2$
3
计算垂线的斜率：
4
$m_2 = \frac{-1}{m_1} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$
5
用点斜式求直线方程：
6
$y - 2 = \frac{1}{2}(x - 1)$
7
两边同乘2，整理成标准形式：
8
$2y - 4 = x - 1 \implies x - 2y + 3 = 0$

Exam tip:

一定要检查垂线的斜率乘积：如果乘积不是 $- 1$ ，说明你计算错了。

4. 圆的方程★★★☆☆⏱ 20 min

📘 定义

圆的标准方程

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

圆心为 $(h, k)$ 、半径为 $r$ 的圆是所有到圆心距离为 $r$ 的点 $(x, y)$ 的集合。圆的一般形式为 $x^{2} + y^{2} + 2 g x + 2 f y + c = 0$ ，圆心为 $(- g, - f)$ ，半径为 $g^{2} + f^{2} - c$ 。

要将一般形式转化为标准形式，我们需要分别对 $x$ 项和 $y$ 项进行配方。

📐 例题

求方程为 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 3 = 0$ 的圆的圆心和半径。

1
合并x项和y项，将常数项移到等式右侧：
2
$(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) = 3$
3
对每组进行配方，在等式两边平衡常数项：
4
$(x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 + 6y + 9) - 9 = 3$
5
整理成标准形式：
6
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 - 13 = 3 \implies (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$
7
从标准形式中读出圆心和半径：
8
圆心为 $(2, - 3)$ ，半径为 $16 = 4$

Exam tip:

求圆心时，要反转括号内常数的符号： $(x + a)^{2}$ 对应的x坐标是 $- a$ ，不是 $+ a$ 。

5. 圆的几何性质：切线、弦与半圆角★★★☆☆⏱ 7 min

会写圆的方程之后，三条几何性质几乎能解开试卷 1 里所有圆的题目。每一条都能把圆的问题转化成你已经掌握的直线工具——斜率、垂直和距离。

📐 例题

圆 $(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 25$ 的圆心为 $C (2, 3)$ 。求圆在点 $P (5, 7)$ 处的切线方程。

1
先确认 $P$ 在圆上，再用性质 1： $P$ 处的切线垂直于半径 $C P$ 。先求半径的斜率：
2
$m_{CP} = \frac{7-3}{5-2} = \frac{4}{3}$
3
切线垂直于 $C P$ ，所以斜率取负倒数：
4
$m_{\text{tangent}} = -\frac{3}{4}$
5
用过 $P (5, 7)$ 的点斜式：
6
$y - 7 = -\frac{3}{4}(x - 5) \;\Rightarrow\; 3x + 4y = 43$

📐 例题

圆心为 $C (4, 1)$ 的圆的一条弦落在直线 $y = x + 1$ 上。不求端点，直接求该弦的中点 $M$ 。

1
由性质 3，从圆心 $C$ 到弦的垂线经过弦的中点 $M$ 。弦的斜率为 $1$ ，所以这条垂线斜率为 $- 1$ ：
2
$y - 1 = -1(x - 4) \;\Rightarrow\; y = -x + 5$
3
中点 $M$ 就是这条垂线与弦的交点。联立两条直线方程：
4
$x + 1 = -x + 5 \;\Rightarrow\; 2x = 4 \;\Rightarrow\; x = 2,\; y = 3$
5
所以 $M = (2, 3)$ ——只用「垂线平分弦」这一性质就求出来了，不必先求端点。

Exam tip:

几乎每道圆的题都从「向关键点画半径」开始。切线题：半径 $⊥$ 切线；弦题：从圆心向弦作垂线交于中点；直径题：找半圆里的 $9 0^{\circ}$ 直角。

6. 直线与曲线的交点★★★☆☆⏱ 6 min

求直线与曲线（圆、抛物线……）的交点，把直线代入曲线方程。这会得到一个二次方程，它的判别式 $b^{2} - 4 a c$ 在你解出来之前就告诉你有几个交点。

📐 例题

求直线 $y = x + 1$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 25$ 交点的坐标。

1
把 $y = x + 1$ 代入圆方程以消去 $y$ ：
2
$x^2 + (x+1)^2 = 25$
3
展开并整理成标准二次方程：
4
$2x^2 + 2x - 24 = 0 \;\Rightarrow\; x^2 + x - 12 = 0$
5
因式分解求解：
6
$(x+4)(x-3) = 0 \;\Rightarrow\; x = -4 \text{ or } x = 3$
7
由直线 $y = x + 1$ 求各自的 $y$ ：
8
$(-4,\,-3) \quad\text{and}\quad (3,\,4)$

📐 例题

求使直线 $y = x + k$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 8$ 相切的 $k$ 值。

1
把直线代入圆方程：
2
$x^2 + (x+k)^2 = 8 \;\Rightarrow\; 2x^2 + 2kx + (k^2 - 8) = 0$
3
「相切」意味着恰好一个解，所以令判别式为零（ $a = 2, b = 2 k, c = k^{2} - 8$ ）：
4
$(2k)^2 - 4(2)(k^2 - 8) = 0$
5
化简求 $k$ ：
6
$4k^2 - 8k^2 + 64 = 0 \;\Rightarrow\; k^2 = 16 \;\Rightarrow\; k = \pm 4$
7
所以有两条切线 $y = x + 4$ 和 $y = x - 4$ ——圆的两侧各一条。

Exam tip:

判别式不用解方程就回答「有几个交点」。令 $b^{2} - 4 a c = 0$ 是求相切条件（某个 $k$ 、某个斜率等）的标准做法——就是二次那节的判别式思想，换个场景再用。

7. 常见陷阱

错误做法:

将斜率算成 $\frac{x _{2} - x _{1}}{y _{2} - y _{1}}$ ，而非 $\frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$

原因:

混淆了纵变化量和横变化量

正确做法:

记住：斜率 = y的变化量除以x的变化量（升幅比水平位移）

错误做法:

将垂线斜率写成 $\frac{1}{m}$ ，而非 $- \frac{1}{m}$

原因:

忘记垂线需要加负号

正确做法:

一定要检查垂线是否满足 $m_{1} m_{2} = - 1$

错误做法:

将 $(x + 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 16$ 的圆心错写成 $(3, - 2)$

原因:

记错了圆方程的符号规则

正确做法:

反转每个括号内常数的符号得到圆心坐标

错误做法:

半径为3时，在圆方程右侧错写为3而非9

原因:

代入标准形式时跳步导致错误

正确做法:

写圆的标准方程时，一定要对半径取平方

错误做法:

将中点错算成 $(\frac{x _{1} - x _{2}}{2}, \frac{y _{1} - y _{2}}{2})$

原因:

记公式时犯的低级代数错误

正确做法:

中点是坐标的平均值，因此要将坐标相加后除以2

错误做法:

把半径的斜率当成切线的斜率

原因:

切线在切点处垂直于半径，所以两者斜率不相等

正确做法:

取半径斜率的负倒数：若 $m_{radius} = \frac{4}{3}$ ，则 $m_{tangent} = - \frac{3}{4}$

错误做法:

以为判别式为负（ $b^{2} - 4 a c < 0$ ）表示直线与曲线相切

原因:

相切是在一点接触，需要判别式恰好为零；判别式为负表示直线完全不碰曲线

正确做法:

相切用 $b^{2} - 4 a c = 0$ （一个交点）， $> 0$ 为两个交点， $< 0$ 为无交点

8. 速查表

概念	公式
两点间距离	$(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$
线段AB的中点	$(\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$
两点间斜率	$m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$
点斜式直线方程	$y - y_{1} = m (x - x_{1})$
斜截式	$y = m x + c$
平行线	$m_{1} = m_{2}$
垂线	$m_{1} m_{2} = - 1$
圆的标准方程	$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ , 圆心 $(h, k)$ , 半径 $r$
圆的一般方程	$x^{2} + y^{2} + 2 g x + 2 f y + c = 0$ , 圆心 $(- g, - f)$ , 半径 $g^{2} + f^{2} - c$

真题中的出现

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坐标几何是A-Level数学几乎所有其他主题的核心基础。你会在求直线与曲线交点、微积分中计算切线和法线、后续单元求解向量问题时用到这些直线和圆的概念。每一份纯1试卷都会出现坐标几何问题，因此掌握这些基础公式和关系对在考试中拿满分至关重要。