# 坐标几何

> CIE A-Level 数学 · 纯数学 1（第1单元）
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-coordinate-geometry/

本模块涵盖CIE A-Level纯1的核心坐标几何概念，包括距离/中点公式、直线方程、平行/垂直直线关系和圆方程，为更复杂的坐标问题奠定基础。

**先修:** 线性表达式的代数变形; 求解一元一次和一元二次方程; 二次式的配方

## 学习目标

- 计算二维平面中两点之间的距离、中点和斜率
- 根据要求的标准形式求直线方程
- 识别平行线和垂线，以及它们的斜率性质
- 从圆的一般方程中求出圆心和半径
- 用半径⊥切线、半圆上的圆周角等圆的性质解决直线与圆的问题
- 用代入法和判别式判断直线与曲线相交、相切还是相离

## 真题考频

据 OwlsPrep 对官方 CIE 9709 P1 真题的聚合（2016–2025）: **坐标几何** 近 10 年出现 **68 次**——占 P1 全部真题的 **9.8%**（692 题中 68 题）.

最常考形式: 平行与垂直 (34), 圆的方程 (29), 直线与圆相交 (25), 距离与中点 (20), 直线方程 (12).

## 距离、中点和斜率

**斜率** — 衡量直线倾斜程度的量，等于直线上任意两点之间纵向变化量（升幅）与横向变化量（水平位移）的比值。

*记法:* m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

对于任意两点 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$，我们使用勾股定理计算两点间距离，通过坐标平均值求中点：

- 距离：$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
- 中点：$M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$

**例题:** 求 $A(1, 3)$ 和 $B(4, 7)$ 之间的距离，以及线段 $AB$ 中点 $M$ 的坐标。

1. 标注坐标：$x_1 = 1, y_1 = 3, x_2 = 4, y_2 = 7$
2. 计算坐标差值：
3. $$x_2 - x_1 = 3, \quad y_2 - y_1 = 4$$
4. 代入距离公式：
5. $$d = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$
6. 通过坐标平均值计算中点：
7. $$M = \left(\frac{1+4}{2}, \frac{3+7}{2}\right) = (2.5, 5)$$

> **考试提示:** 点的顺序无关紧要：求距离时差被平方（消去符号），求斜率时纵坐标差与横坐标差同时变号，比值不变。

## 直线方程

**直线方程** — 连接直线上所有点的$x$坐标和$y$坐标的代数关系式，其中$m$是斜率，$c$是y轴截距（即直线与y轴交点的$y$值）。

*记法:* y - y_1 = m(x-x_1) \quad \text{or} \quad y = mx + c

CIE考试几乎总是要求答案写成 $ax + by + c = 0$ 的形式，其中 $a, b, c$ 为整数，且 $a$ 为正数。

**例题:** 求斜率为$-2$且过点$(3, 1)$的直线方程，将答案写成$ax + by + c = 0$的形式。

1. 将$m=-2$、$x_1=3$、$y_1=1$代入点斜式公式：
2. $$y - 1 = -2(x - 3)$$
3. 展开右侧：
4. $$y - 1 = -2x + 6$$
5. 将所有项移到左侧，整理成要求的形式：
6. $$2x + y - 7 = 0$$

> **考试提示:** 一定要将答案整理成题目指定的形式，避免丢分。

## 平行线与垂线

> **info**
>
> 若两条直线斜率相等，则它们**平行**：$m_1 = m_2$。若两条直线斜率乘积为$-1$，则它们**垂直**：$m_1 m_2 = -1$，即 $m_2 = -\frac{1}{m_1}$（负倒数）。

**垂直平分线** — 将给定线段以90°角平分的直线，常用于求过两个或三个点的圆的圆心。

**例题:** 求过点$(1, 2)$且与$2x + y - 7 = 0$垂直的直线方程。

1. 整理原直线方程求斜率：
2. $$y = -2x + 7 \implies m_1 = -2$$
3. 计算垂线的斜率：
4. $$m_2 = \frac{-1}{m_1} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$$
5. 用点斜式求直线方程：
6. $$y - 2 = \frac{1}{2}(x - 1)$$
7. 两边同乘2，整理成标准形式：
8. $$2y - 4 = x - 1 \implies x - 2y + 3 = 0$$

> **考试提示:** 一定要检查垂线的斜率乘积：如果乘积不是$-1$，说明你计算错了。

## 圆的方程

**圆的标准方程** — 圆心为$(h, k)$、半径为$r$的圆是所有到圆心距离为$r$的点$(x, y)$的集合。圆的一般形式为$x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$，圆心为$(-g, -f)$，半径为$\sqrt{g^2 + f^2 - c}$。

*记法:* (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

要将一般形式转化为标准形式，我们需要分别对$x$项和$y$项进行配方。

**例题:** 求方程为$x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$的圆的圆心和半径。

1. 合并x项和y项，将常数项移到等式右侧：
2. $$(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) = 3$$
3. 对每组进行配方，在等式两边平衡常数项：
4. $$(x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 + 6y + 9) - 9 = 3$$
5. 整理成标准形式：
6. $$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 - 13 = 3 \implies (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$$
7. 从标准形式中读出圆心和半径：
8. 圆心为$(2, -3)$，半径为$\sqrt{16} = 4$

> **考试提示:** 求圆心时，要反转括号内常数的符号：$(x + a)^2$ 对应的x坐标是 $-a$，不是 $+a$。

## 圆的几何性质：切线、弦与半圆角

会写圆的方程之后，三条几何性质几乎能解开试卷 1 里所有圆的题目。每一条都能把圆的问题转化成你已经掌握的直线工具——斜率、垂直和距离。

> **info**
>
> **三条圆的性质。**
> 1. **切线**在切点处垂直于**半径**。
> 2. **半圆上的圆周角为 $90^\circ$**：直径在圆上任一点所对的角是直角。
> 3. **从圆心到弦的垂线平分该弦**（它经过弦的中点）。

**例题:** 圆 $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25$ 的圆心为 $C(2,3)$。求圆在点 $P(5,7)$ 处的切线方程。

1. 先确认 $P$ 在圆上，再用性质 1：$P$ 处的切线垂直于半径 $CP$。先求半径的斜率：
2. $$m_{CP} = \frac{7-3}{5-2} = \frac{4}{3}$$
3. 切线垂直于 $CP$，所以斜率取负倒数：
4. $$m_{\text{tangent}} = -\frac{3}{4}$$
5. 用过 $P(5,7)$ 的点斜式：
6. $$y - 7 = -\frac{3}{4}(x - 5) \;\Rightarrow\; 3x + 4y = 43$$

**例题:** 圆心为 $C(4,1)$ 的圆的一条弦落在直线 $y = x + 1$ 上。不求端点，直接求该弦的中点 $M$。

1. 由性质 3，从圆心 $C$ 到弦的垂线经过弦的中点 $M$。弦的斜率为 $1$，所以这条垂线斜率为 $-1$：
2. $$y - 1 = -1(x - 4) \;\Rightarrow\; y = -x + 5$$
3. 中点 $M$ 就是这条垂线与弦的交点。联立两条直线方程：
4. $$x + 1 = -x + 5 \;\Rightarrow\; 2x = 4 \;\Rightarrow\; x = 2,\; y = 3$$
5. 所以 $M = (2,\,3)$——只用「垂线平分弦」这一性质就求出来了，不必先求端点。

> **考试提示:** 几乎每道圆的题都从「向关键点画半径」开始。切线题：半径 $\perp$ 切线；弦题：从圆心向弦作垂线交于中点；直径题：找半圆里的 $90^\circ$ 直角。

## 直线与曲线的交点

求直线与曲线（圆、抛物线……）的交点，把直线**代入**曲线方程。这会得到一个二次方程，它的**判别式** $b^2 - 4ac$ 在你解出来之前就告诉你有几个交点。

> **info**
>
> 代入后，二次方程的判别式决定一切：
> - $b^2 - 4ac > 0$：**两个**交点——直线与曲线相交。
> - $b^2 - 4ac = 0$：**一个**交点——直线与曲线**相切**。
> - $b^2 - 4ac < 0$：**没有**交点——直线与曲线相离。

**例题:** 求直线 $y = x + 1$ 与圆 $x^2 + y^2 = 25$ 交点的坐标。

1. 把 $y = x + 1$ 代入圆方程以消去 $y$：
2. $$x^2 + (x+1)^2 = 25$$
3. 展开并整理成标准二次方程：
4. $$2x^2 + 2x - 24 = 0 \;\Rightarrow\; x^2 + x - 12 = 0$$
5. 因式分解求解：
6. $$(x+4)(x-3) = 0 \;\Rightarrow\; x = -4 \text{ or } x = 3$$
7. 由直线 $y = x + 1$ 求各自的 $y$：
8. $$(-4,\,-3) \quad\text{and}\quad (3,\,4)$$

**例题:** 求使直线 $y = x + k$ 与圆 $x^2 + y^2 = 8$ 相切的 $k$ 值。

1. 把直线代入圆方程：
2. $$x^2 + (x+k)^2 = 8 \;\Rightarrow\; 2x^2 + 2kx + (k^2 - 8) = 0$$
3. 「相切」意味着恰好一个解，所以令判别式为零（$a=2,\, b=2k,\, c=k^2-8$）：
4. $$(2k)^2 - 4(2)(k^2 - 8) = 0$$
5. 化简求 $k$：
6. $$4k^2 - 8k^2 + 64 = 0 \;\Rightarrow\; k^2 = 16 \;\Rightarrow\; k = \pm 4$$
7. 所以有两条切线 $y = x + 4$ 和 $y = x - 4$——圆的两侧各一条。

> **考试提示:** 判别式不用解方程就回答「有几个交点」。令 $b^2 - 4ac = 0$ 是求相切条件（某个 $k$、某个斜率等）的标准做法——就是二次那节的判别式思想，换个场景再用。

## 常见错误

- **错误做法:** 将斜率算成 $\frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}$，而非 $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
  - 原因: 混淆了纵变化量和横变化量
  - 正确做法: 记住：斜率 = y的变化量除以x的变化量（升幅比水平位移）
- **错误做法:** 将垂线斜率写成 $\frac{1}{m}$，而非 $-\frac{1}{m}$
  - 原因: 忘记垂线需要加负号
  - 正确做法: 一定要检查垂线是否满足 $m_1 m_2 = -1$
- **错误做法:** 将$(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 16$的圆心错写成$(3, -2)$
  - 原因: 记错了圆方程的符号规则
  - 正确做法: 反转每个括号内常数的符号得到圆心坐标
- **错误做法:** 半径为3时，在圆方程右侧错写为3而非9
  - 原因: 代入标准形式时跳步导致错误
  - 正确做法: 写圆的标准方程时，一定要对半径取平方
- **错误做法:** 将中点错算成 $\left(\frac{x_1 - x_2}{2}, \frac{y_1 - y_2}{2}\right)$
  - 原因: 记公式时犯的低级代数错误
  - 正确做法: 中点是坐标的平均值，因此要将坐标相加后除以2
- **错误做法:** 把半径的斜率当成切线的斜率
  - 原因: 切线在切点处垂直于半径，所以两者斜率不相等
  - 正确做法: 取半径斜率的负倒数：若 $m_{\text{radius}} = \frac{4}{3}$，则 $m_{\text{tangent}} = -\frac{3}{4}$
- **错误做法:** 以为判别式为负（$b^2 - 4ac < 0$）表示直线与曲线相切
  - 原因: 相切是在一点接触，需要判别式恰好为零；判别式为负表示直线完全不碰曲线
  - 正确做法: 相切用 $b^2-4ac=0$（一个交点），$>0$ 为两个交点，$<0$ 为无交点

## 速查表

| 概念 | 公式 |
| --- | --- |
| 两点间距离 | $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ |
| 线段AB的中点 | $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ |
| 两点间斜率 | $m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ |
| 点斜式直线方程 | $y - y_1 = m(x - x_1)$ |
| 斜截式 | $y = mx + c$ |
| 平行线 | $m_1 = m_2$ |
| 垂线 | $m_1 m_2 = -1$ |
| 圆的标准方程 | $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$, 圆心 $(h,k)$, 半径 $r$ |
| 圆的一般方程 | $x^2+y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$, 圆心 $(-g,-f)$, 半径 $\sqrt{g^2+f^2-c}$ |

## 下一步

坐标几何是A-Level数学几乎所有其他主题的核心基础。你会在求直线与曲线交点、微积分中计算切线和法线、后续单元求解向量问题时用到这些直线和圆的概念。每一份纯1试卷都会出现坐标几何问题，因此掌握这些基础公式和关系对在考试中拿满分至关重要。

- [弧度度量](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-circular-measure/)
- [二次式](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u1-quadratics/)
- [二维坐标几何中的向量](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9709-u2-vectors/)

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