排列与组合 (Permutations and Combinations) — A-Level Mathematics Stats 学习指南

适合谁：A-Level Mathematics 参加 Paper 5 (Probability & Statistics 1) 的考生。

覆盖内容：乘法与加法原理、不同对象的排列公式、组合公式、带限制条件的排列组合、允许/不允许重复的计数规则五类核心子主题。

前置知识：基本概率、求和、积分（Pure 1 微积分）。

关于练习题：下文「练习题」一节的所有题目均为我们按 A-Level Mathematics 风格编写的原创题目 (original problems)，仅用于教学。它们不是 Cambridge International 真题的复制，措辞、数值或语境可能不同。请把它们当作练手用；评分细则请对照 Cambridge 官方 mark scheme。

1. 什么是排列与组合？

排列与组合是统计中最基础的计数工具，核心解决「从$n$个对象中选取$r$个对象时，总共有多少种选法/排法」的问题，是所有概率计算的前置基础，在Paper 5考试中占比约10%-15%，常和概率、离散分布考点结合出大题。 简单来说，排列（permutation）对应「有顺序的计数」，组合（combination）对应「无顺序的计数」，两者的区分是本章节最核心的判断标准。

2. 乘法与加法原理（Multiplication and addition principles）

这是计数的两个基础规则，所有排列组合公式都由这两个原理推导而来：

• 加法原理：完成一件事有$k$类互斥的方案，第1类有$n_1$种方法，第2类有$n_2$种方法……第$k$类有$n_k$种方法，则总方法数为$N=n_1+n_2+...+n_k$。适用场景是「多选一」的互斥情况。 范例：你从家到学校可以选2条公交路线、3条地铁路线，总共有$2+3=5$种出行方案。
• 乘法原理：完成一件事需要$k$个独立的步骤，第1步有$n_1$种方法，第2步有$n_2$种方法……第$k$步有$n_k$种方法，则总方法数为$N=n_1\times n_2\times ...\times n_k$。适用场景是「多步完成」的顺序情况。 范例：你上学要先坐地铁再转公交，地铁有3种选择，公交有2种选择，总共有$3\times 2=6$种出行方案。 应试技巧：记住口诀「分类用加、分步用乘」，先判断事件是互斥分类还是顺序分步，再选对应规则。

3. 不同对象的排列：$n!$与${}^n{P}_r$（Permutations of distinct objects）

排列适用于选出来的对象有顺序要求的场景，比如排队、分配不同职位、组成数字/密码等，所有默认排列规则均基于「对象互不相同、不允许重复选取」的前提：

• 全排列：将$n$个不同对象全部排序，总方法数为$n$的阶乘（factorial）： $$n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times ...\times 1$$ 特殊规定$0!=1$，用于后续公式的统一计算。 范例：3个学生排队，总共有$3!=3\times 2\times 1=6$种排法。
• 选排列：从$n$个不同对象中选$r$个进行排序，总方法数为排列数${}^n{P}_r$： $${}^n{P}_r=\frac{n!}{(n-r)!}$$ 推导逻辑：第1个位置有$n$种选择，第2个有$n-1$种……第$r$个有$n-r+1$种，相乘后就是上述公式。 范例：从5个学生中选3个分别担任班长、副班长、学习委员，总共有${}^5{P}_3=\frac{5!}{2!}=5\times 4\times 3=60$种分配方法。

4. 组合${}^n{C}_r$：不考虑顺序的计数（Combinations, order doesn't matter）

组合适用于选出来的对象没有顺序要求的场景，比如选小组成员、选奖品、统计相同元素的分配等，核心是「只看选了谁，不看选的顺序」： 组合数${}^n{C}_r$的推导逻辑是：从$n$个对象选$r$个的排列数${}^n{P}_r$中，去掉$r$个对象内部的$r!$种重复排序，就得到无顺序的计数： $${}^n{C}_r=\frac{{}^n{P}_r}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$ 组合数也可记作$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)$，满足对称性${}^n{C}_r{=}^n{C}_{n-r}$，可以用来简化计算。 范例：从5个学生中选3个组成无分工的班委小组，总共有${}^5{C}_3=\frac{5!}{3!2!}=10$种选法，远小于排列的60种，就是因为去掉了内部排序的重复计数。 应试技巧：判断用排列还是组合的核心标准：选出来的对象交换位置后是否算新的情况，是就用排列，否就用组合。

5. 带限制条件的计数：固定位置、包含/排除特定对象（Restrictions）

这是Paper 5每年必考的题型，分值在4-6分之间，核心解题思路是「优先处理受限元素/位置，再处理无限制部分」，常见限制类型如下：

1. 固定位置：某个元素必须在/不能在某个位置，先给受限位置分配元素，再排剩下的。 范例：6人排队，甲必须站在第一位，乙不能站在最后一位：先固定甲在第一位，剩余5个位置中，最后一位不能是乙，有4种选择，中间4个位置全排列$4!$，总方法数$4\times 4!=96$。
2. 包含/排除特定对象：选组时必须包含某元素/必须排除某元素，先处理受限元素，再选剩余部分。 范例：从10个学生中选4人参赛，必须包含甲、不能包含乙：先把甲放进选中的组，再从除了甲和乙的8个学生中选3个，总方法数${}^8{C}_3=56$。
3. 相邻/不相邻限制：相邻用捆绑法（把相邻元素捆成一个整体参与排序，再算内部排序），不相邻用插空法（先排无限制元素，再把不相邻元素插进空隙）。

6. 允许重复vs不允许重复的计数（Repetition allowed vs not）

前面的排列组合规则都默认「不允许重复选取」，如果题目明确说明允许重复选择同一个对象，需要用专门的计数规则：

• 允许重复的排列：从$n$个对象中选$r$个排序，允许重复，总方法数为$n^r$，因为每个位置都有$n$种独立选择。 范例：4位数字密码，数字0-9可重复，总共有$10^4=10000$种组合。
• 允许重复的组合：从$n$个对象中选$r$个，不排序、允许重复，总方法数为${}^{n+r-1}{C}_r$，常用于相同元素分配问题。 范例：把5个相同的苹果分给3个小朋友，允许有人拿0个，总共有${}^{3+5-1}{C}_5{=}^7{C}_5=21$种分法。 应试提醒：读题时一定要注意题干有没有「不重复」「每个只能选一次」的表述，没有说明的话默认不允许重复。

7. 常见陷阱（Common Pitfalls）

1. 错误做法：混淆排列组合，选无顺序的小组时用${}^n{P}_r$计算。原因：没有先判断顺序要求，默认计数用排列。正确做法：第一步先判断「交换选出来的两个元素算不算新情况」，再选公式。
2. 错误做法：计算带排除限制的题时多减了重复部分，比如求「选3人不能同时有甲和乙」，用总方法数减有甲的、再减有乙的，得到的结果偏小。原因：同时有甲和乙的情况被减了两次，漏了加回来。正确做法：用容斥原理，总方法数 - 有甲的 - 有乙的 + 同时有甲和乙的。
3. 错误做法：计算允许重复的密码/数字时用${}^n{P}_r$。原因：默认按不重复处理，没注意题干允许重复。正确做法：看到「密码」「可重复」关键词，优先用$n^r$计算。
4. 错误做法：计算${}^n{P}_n$时得到0。原因：忘记$0!=1$的特殊规定，误以为分母$(n-n)!=0$。正确做法：牢记$0!=1$，全排列结果就是$n!$。

8. 练习题（A-Level Mathematics Paper 5 风格）

题1

一个班级有12名学生，其中5名男生，7名女生，要选4名代表参加校辩论赛，求下列情况的选法数： (a) 任意选4人；(b) 至少有1名男生；(c) 男生女生都至少有1名。

解答

(a) 无顺序要求，用组合：${}^{12}{C}_4=\frac{12!}{4!8!}=495$。 (b) 反面为全是女生，用总方法数减反面：$495{-}^7{C}_4=495-35=460$。 (c) 反面为全男或全女：$495{-}^5{C}_4{-}^7{C}_4=495-5-35=455$。

题2

用1、2、3、4、5五个数字组成无重复数字的四位数，求能组成多少个大于3000的偶数。

解答

限制条件：千位≥3，个位是2或4。优先处理个位和千位：

• 若个位是2：千位可以是3、4、5，共3种选择，中间两位从剩下的3个数字选2个排列：${}^3{P}_2=6$，共$3\times 6=18$个。
• 若个位是4：千位可以是3、5，共2种选择，中间两位从剩下的3个数字选2个排列：${}^3{P}_2=6$，共$2\times 6=12$个。 总个数为$18+12=30$。

题3

一个3位字母密码，从A-Z共26个字母中选取，允许重复，求密码包含至少1个A的概率。

解答

总密码数：$26^3=17576$。 不含A的密码数：$25^3=15625$。 至少1个A的概率：$\frac{26^3-25^3}{26^3}=\frac{1951}{17576}\approx 0.111$。

9. 速查表（Quick Reference Cheatsheet）

10. 接下来怎么学

排列组合是Paper 5后续概率、二项分布、离散随机变量等考点的基础，计数的准确率直接决定了你解概率综合题的速度和得分率，掌握本章节内容后，你可以开始练习「排列组合+概率」的综合题型，这是考试大题的高频出题方向。 如果你在练习过程中遇到错题、不会的题型或者有知识点疑惑，随时可以到小欧提问，我们会为你提供针对性的讲解和配套练习资源，帮你高效备考A-Level Mathematics统计考试。

本指南内容对齐 CIE 剑桥国际 AS & A Level 数学 9709 考纲。OwlsAi 与 Cambridge Assessment International Education 无附属关系。