A-Level · cie-9709 · Paper 5 (Probability & Statistics 1) · The Normal Distribution / 正态分布 · 阅读约 15 分钟 · 更新于 2026-05-06

正态分布 (The Normal Distribution) — A-Level Mathematics Stats 学习指南

适合谁：A-Level Mathematics 参加 Paper 5 (Probability & Statistics 1) 的考生。

覆盖内容：正态分布核心性质、标准化转换、Z值表查询、二项分布正态近似（带连续性修正）、逆正态概率反求变量五大核心子主题。

前置知识：基本概率、求和、积分（Pure 1 微积分）。

关于练习题：下文「练习题」一节的所有题目均为我们按 A-Level Mathematics 风格编写的原创题目 (original problems)，仅用于教学。它们不是 Cambridge International 真题的复制，措辞、数值或语境可能不同。请把它们当作练手用；评分细则请对照 Cambridge 官方 mark scheme。

1. 什么是正态分布？

正态分布（Normal Distribution）是自然界最常见的连续概率分布，适用于描述误差、身高、考试分数等围绕中心值对称分布的变量，是A-Level Mathematics Paper 5占比最高的核心考点之一，每年考察分值约15-20分。连续随机变量 $X$ 服从正态分布记为 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，其中 $μ$ 是均值（mean）， $σ^{2}$ 是方差（variance）， $σ$ 为标准差（standard deviation）。正态分布的概率密度曲线呈对称钟形，因此也常被称为钟形曲线。

2. 正态分布 $N (μ, σ^{2})$ 的核心性质

正态分布有5个必考核心性质：

曲线关于 $x = μ$ 完全对称，因此均值、中位数、众数完全相等，均为 $μ$
曲线与横轴围成的总面积为1，对应总概率为1
经验法则（68-95-99.7法则）：约68%的观测值落在 $μ \pm σ$ 区间内，约95%落在 $μ \pm 2 σ$ 区间内，约99.7%落在 $μ \pm 3 σ$ 区间内
正态分布的线性变换仍为正态分布：若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $a X + b \sim N (a μ + b, a^{2} σ^{2})$
两个独立正态变量的和/差仍为正态分布：若 $X \sim N (μ_{1}, σ_{1}^{2})$ ， $Y \sim N (μ_{2}, σ_{2}^{2})$ ，则 $X \pm Y \sim N (μ_{1} \pm μ_{2}, σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2})$

范例：已知某中学男生身高 $X \sim N (172, 36)$ （单位：cm），则95%的男生身高落在 $172 \pm 2 * 6 = 160$ 到 $184$ cm之间。

3. 标准化转换 $Z = \frac{X - μ}{σ}$

由于不同参数的正态分布曲线形状、位置不同，无法直接查表计算概率，因此需要通过标准化（standardisation）转换为标准正态分布（Standard Normal Distribution） $Z \sim N (0, 1)$ ，即均值为0、方差为1的正态分布。标准化公式为： $Z = \frac{X - μ}{σ}$ 转换后 $X$ 的任意取值都对应唯一的 $Z$ 值，表示该取值距离均值有多少个标准差。

范例：仍以上述身高分布 $X \sim N (172, 36)$ 为例，身高184cm对应的 $Z$ 值为： $Z = \frac{184 - 172}{6} = 2$ 即184cm比均值高2个标准差。

4. Z值表（正态分布表）的使用方法

Z值表（z-table）记录了标准正态分布下 $P (Z < z)$ 的累计概率，是考试时计算正态分布概率的核心工具，使用规则如下：

查正 $Z$ 值：例如求 $P (Z < 1.34)$ ，先找表格左侧1.3的行，再找顶部0.04的列，交叉值为0.9099，即 $P (Z < 1.34) = 0.9099$
查负 $Z$ 值：利用对称性 $P (Z < - z) = 1 - P (Z < z)$ ，例如 $P (Z < - 0.72) = 1 - P (Z < 0.72) = 1 - 0.7642 = 0.2358$
区间概率： $P (a < Z < b) = P (Z < b) - P (Z < a)$ ，例如 $P (0.5 < Z < 1.2) = 0.8849 - 0.6915 = 0.1934$
上尾概率： $P (Z > z) = 1 - P (Z < z)$ ，例如 $P (Z > 1.96) = 1 - 0.975 = 0.025$

5. 二项分布的正态近似与连续性修正

当二项分布（Binomial Distribution） $X \sim B (n, p)$ 满足 $n p \geq 5$ 且 $n (1 - p) \geq 5$ 时，可以用正态分布近似，近似的正态分布参数为： $μ = n p, σ^{2} = n p (1 - p)$ 即 $X \approx N (n p, n p (1 - p))$ 。由于二项分布是离散分布，正态分布是连续分布，转换时需要进行连续性修正（continuity correction），规则为：

离散二项分布概率	连续正态分布对应概率
$P (X = k)$	$P (k - 0.5 < X < k + 0.5)$
$P (X \leq k)$	$P (X \leq k + 0.5)$
$P (X \geq k)$	$P (X \geq k - 0.5)$
$P (X < k)$	$P (X < k - 0.5)$
$P (X > k)$	$P (X > k + 0.5)$

范例：抛均匀硬币100次，求正面朝上次数至少60次的概率。 $X \sim B (100, 0.5)$ ， $n p = 50$ ， $n (1 - p) = 50$ 均大于5，近似 $N (50, 25)$ ， $σ = 5$ 。连续性修正后 $P (X \geq 60) = P (X \geq 59.5)$ ，标准化得 $Z = \frac{59.5 - 50}{5} = 1.9$ ， $P (Z > 1.9) = 1 - 0.9713 = 0.0287$ 。

6. 逆正态计算：已知概率反求变量 $x$

逆正态（inverse normal）指已知 $P (X < x) = p$ ，反求 $x$ 的题型，解题步骤为：

查Z值表找到对应累计概率 $p$ 的 $z_{p}$ ，即满足 $P (Z < z_{p}) = p$ 的Z值
代入标准化公式变形得 $x = μ + z_{p} \cdot σ$

如果题目给出的是上尾概率 $P (X > x) = p$ ，先转换为累计概率 $P (X < x) = 1 - p$ 再查Z值。范例：已知某班考试分数 $X \sim N (68, 1 2^{2})$ ，要选前10%的学生获奖，求获奖分数线。 $P (X > x) = 0.1$ ，即 $P (X < x) = 0.9$ ，查得 $z_{0.9} = 1.28$ ，因此 $x = 68 + 1.28 * 12 = 83.36$ ，即分数线为84分。

7. 常见陷阱 (Common Pitfalls)

错误：把 $N (μ, σ^{2})$ 的第二个参数当标准差，标准化时直接除以 $σ^{2}$ 。原因：混淆方差和标准差的记号。正确做法：标准化时分母为 $σ$ ，要先对第二个参数开根号。
错误：连续性修正方向搞反，比如将 $P (X \geq 10)$ 修正为 $P (X \geq 10.5)$ 。原因：没有理解离散转连续的边界逻辑。正确做法：离散的"大于等于10"包含10，对应连续分布的起始点是9.5。
错误：逆正态计算时搞反上下尾，求前5%的分数线时用了负Z值。原因：混淆累计概率和上尾概率。正确做法：前5%对应 $P (X < x) = 0.95$ ，对应正Z值1.645。
错误：不验证条件就对二项分布做正态近似。原因：忽略近似适用条件。正确做法：先验证 $n p$ 和 $n (1 - p)$ 都大于等于5，否则不能用正态近似。

8. 练习题 (Paper 5 风格)

题1

已知某工厂生产的零件直径 $X \sim N (40, 0.25)$ （单位：mm），求：(a) $P (X < 39.2)$ ；(b) $P (39.7 < X < 40.3)$ 。

解答

$μ = 40$ ， $σ = 0.25 = 0.5$ (a) 标准化得 $Z = \frac{39.2 - 40}{0.5} = - 1.6$ ， $P (Z < - 1.6) = 1 - 0.9452 = 0.0548$ (b) 两个边界的Z值分别为 $Z_{1} = \frac{39.7 - 40}{0.5} = - 0.6$ ， $Z_{2} = \frac{40.3 - 40}{0.5} = 0.6$ ， $P (- 0.6 < Z < 0.6) = 0.7257 - 0.2743 = 0.4514$

题2

某抽奖活动中奖概率为0.2，某人抽40次，用正态近似求他中奖不超过10次的概率。

解答

$X \sim B (40, 0.2)$ ， $n p = 8$ ， $n (1 - p) = 32$ 均大于5，近似 $N (8, 6.4)$ ， $σ = 6.4 \approx 2.53$ 连续性修正得 $P (X \leq 10) = P (X \leq 10.5)$ ，标准化 $Z = \frac{10.5 - 8}{2.53} \approx 0.99$ ， $P (Z < 0.99) = 0.8389$

题3

已知某品种苹果重量 $X \sim N (μ, 2^{2})$ ，且 $P (X > 150) = 0.2$ ，求 $μ$ 的值。

解答

$P (X < 150) = 0.8$ ，对应 $z_{0.8} = 0.84$ ，代入公式 $\frac{150 - μ}{2} = 0.84$ ，解得 $μ = 150 - 2 * 0.84 = 148.32$ g

9. 速查表 (Quick Reference Cheatsheet)

知识点	核心公式/规则	注意事项
正态分布记号	$X \sim N (μ, σ^{2})$	第二个参数是方差，不是标准差
标准化转换	$Z = \frac{X - μ}{σ}$	$Z \sim N (0, 1)$
二项分布近似条件	$n p \geq 5, n (1 - p) \geq 5$	近似参数 $μ = n p, σ^{2} = n p (1 - p)$
连续性修正	$X = k \to [k - 0.5, k + 0.5]$ ， $X \geq k \to X \geq k - 0.5$ ， $X \leq k \to X \leq k + 0.5$	仅离散转连续时需要
逆正态计算	$x = μ + z_{p} \cdot σ$	$z_{p}$ 为 $P (Z < z_{p}) = p$ 对应的Z值

10. 接下来怎么学

正态分布是A-Level Mathematics统计部分的核心基础，后续Paper 6的置信区间、假设检验等考点全部以正态分布为逻辑基础，本章的掌握程度直接决定统计部分的得分上限。除了掌握基础公式和规则，你还需要多刷近5年的真题，熟悉不同题型的变形考法。如果你在刷题过程中遇到任何错题，或者对某个考点有疑问，都可以随时到小欧提问，我们会给你针对性的讲解和配套练习。

本指南内容对齐 CIE 剑桥国际 AS & A Level 数学 9709 考纲。OwlsAi 与 Cambridge Assessment International Education 无附属关系。

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