代数 (Pure 3) (Algebra (Pure 3)) — A-Level Mathematics Pure 3 学习指南

适合谁：A-Level Mathematics 参加 Paper 3 (Pure Mathematics 3) 的考生。

覆盖内容：全面覆盖绝对值函数图像与方程、多项式除法与因式/余数定理、部分分式、非整数/负指数二项式展开、分式不等式求解五大考纲要求子主题。

前置知识：A-Level Mathematics Pure 1（函数、微积分、三角）。

关于练习题：下文「练习题」一节的所有题目均为我们按 A-Level Mathematics 风格编写的原创题目 (original problems)，仅用于教学。它们不是 Cambridge International 真题的复制，措辞、数值或语境可能不同。请把它们当作练手用；评分细则请对照 Cambridge 官方 mark scheme。

1. 什么是代数 (Pure 3)？

代数 (Pure 3) 是A-Level Mathematics Paper 3的开篇核心章节，是Pure 1代数内容的延伸，难度明显提升，所有知识点均会和后续微积分、复数、级数等章节结合考察，在Paper 3考试中占比约15%-20%，通常出1-2道大题加1道小题，是必须牢牢掌握的基础内容。本章节所有规则均沿用国际课程通用符号体系，不需要额外转换国内数学表述。

2. 绝对值函数 $|x|$ — 图像与方程

绝对值函数 (Modulus function) 的定义为： $$|x|=\{\begin{array}{ll}x,& x\ge 0\\ -x,& x<0\end{array}$$ 几何意义是数轴上点$x$到原点的距离，图像为顶点在原点、开口向上的V型折线，对称轴为$y$轴。 解绝对值方程/不等式的核心方法有两种：① 分段讨论去绝对值符号；② 两边平方去绝对值（需保证两边均非负，避免增根）。 范例：解方程$|2x-5|=x+1$ 步骤1：确定定义域，右边$x+1\ge 0⟹x\ge -1$ 步骤2：平方去绝对值得$4x^2-20x+25=x^2+2x+1$ 步骤3：化简得$3x^2-22x+24=0$，解得$x=6$或$x=\frac{4}{3}$，两个解均满足定义域，因此最终解为$x=6,x=\frac{4}{3}$。 考官常考绝对值函数与直线的交点个数问题，可通过图像法快速判断，不需要解方程。

3. 多项式除法与因式/余数定理

多项式除法 (Long division of polynomials) 用于将高次多项式除以低次多项式，最终得到商式+余式的形式，其中余式的次数一定低于除式的次数。

• 余数定理 (Remainder theorem)：多项式$f(x)$除以线性式$ax+b$的余数为$f\left(-\frac{b}{a}\right)$
• 因式定理 (Factor theorem)：若$f\left(-\frac{b}{a}\right)=0$，则$ax+b$是$f(x)$的因式，反之也成立 范例：已知$f(x)=x^3+a{x}^2+bx-6$，除以$(x-1)$的余数为2，除以$(x+2)$的余数为-20，求$a,b$的值 步骤1：代入余数定理，$f(1)=1+a+b-6=2⟹a+b=7$ 步骤2：$f(-2)=-8+4a-2b-6=-20⟹2a-b=-3$ 步骤3：联立方程解得$a=\frac{4}{3},b=\frac{17}{3}$ 本考点常用来求解多项式的未知系数，或对三次/四次多项式做因式分解。

4. 部分分式

部分分式 (Partial fractions) 是将复杂代数分式拆分为多个简单分式之和的方法，是后续有理函数积分、二项式展开的基础。拆分前首先要判断分式类型：

• 真分式 (Proper fraction)：分子次数<分母次数，可直接拆分
• 假分式 (Improper fraction)：分子次数≥分母次数，需先做多项式除法，拆分为整式+真分式后再拆分 拆分规则按分母因子类型分为三类：

1. 不同线性因子：$\frac{f(x)}{(ax+b)(cx+d)}=\frac{A}{ax+b}+\frac{B}{cx+d}$
2. 重线性因子：$\frac{f(x)}{(ax+b{)}^2(cx+d)}=\frac{A}{ax+b}+\frac{B}{(ax+b{)}^2}+\frac{C}{cx+d}$
3. 不可约二次因子：$\frac{f(x)}{(ax+b)(x^2+c^2)}=\frac{A}{ax+b}+\frac{Bx+C}{x^2+c^2}$ 范例：将$\frac{7x-1}{(x+2)(x-3)}$拆分为部分分式 步骤1：设原式$=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-3}$，两边乘分母得$7x-1=A(x-3)+B(x+2)$ 步骤2：代入$x=3$得$20=5B⟹B=4$；代入$x=-2$得$-15=-5A⟹A=3$ 步骤3：最终拆分结果为$\frac{3}{x+2}+\frac{4}{x-3}$

5. 非整数/负指数二项式展开 — 收敛性

Pure 1中学习的二项式展开仅适用于$n$为正整数的情况，展开项数有限且对所有$x$收敛；Pure 3中$n$为负整数或分数，展开为无穷级数，仅当满足收敛条件时有效。 通用展开公式： $$(1+x{)}^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}{x}^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}{x}^3+...,|x|<1$$ 若原式为$(a+bx{)}^n$，需先提取公因子$a$化为$a^n{\left(1+\frac{b}{a}x\right)}^n$的形式，收敛条件为$\left|\frac{b}{a}x\right|<1$。 范例：求$(2-4x{)}^{-1}$的前3项展开式及收敛范围 步骤1：提取公因子2得$2^{-1}{\left(1-2x\right)}^{-1}=\frac{1}{2}(1-2x{)}^{-1}$ 步骤2：代入公式得$\frac{1}{2}\left[1+(-1)(-2x)+\frac{(-1)(-2)}{2!}(-2x{)}^2+...\right]$ 步骤3：化简前3项为$\frac{1}{2}+x+2x^2$，收敛条件为$|-2x|<1⟹|x|<\frac{1}{2}$ 考官常考结合部分分式的复杂分式展开，或用展开式求近似值。

6. 含代数分式的不等式求解

解分式不等式的核心原则：禁止直接两边乘分母，因为分母正负未知，会改变不等号方向。通用解法为：

1. 移项通分，将所有项移到不等号左侧，化为$\frac{f(x)}{g(x)}>0$（或<,≥,≤）的形式
2. 等价转换为$f(x)g(x)>0$（不等号方向不变），同时注意$g(x)\ne 0$ 范例：解不等式$\frac{x+3}{x-1}<2$ 步骤1：移项通分得$\frac{x+3}{x-1}-2<0⟹\frac{x+3-2(x-1)}{x-1}<0⟹\frac{-x+5}{x-1}<0$ 步骤2：等价转换为$\frac{x-5}{x-1}>0$，即$(x-5)(x-1)>0$且$x\ne 1$ 步骤3：解得$x<1$或$x>5$ 注意如果不等号含等号，最终解要排除分母为0的点，这是高频失分点。

7. 常见陷阱 (Common Pitfalls)

1. 错误：解绝对值方程平方后不检验定义域，出现增根。原因：学生忘记平方操作会扩大解的范围，比如解$|x-1|=2x-3$时，平方后得到的$x=\frac{4}{3}$不满足右边$2x-3\ge 0$，需要舍去。正确做法：所有平方去绝对值的题，最后都要代回原式或定义域检验。
2. 错误：拆分部分分式时，假分式不先做多项式除法直接拆分。原因：学生忘记部分分式仅适用于真分式。正确做法：先比较分子分母次数，分子≥分母次数时先做除法。
3. 错误：非整数二项式展开时，忘记调整收敛条件。原因：学生直接套用$(1+x{)}^n$的收敛条件$|x|<1，忽略原式提取公因子后的系数。\ast \ast 正确做法\ast \ast ：必须化为$(1+ax)^n$的形式后，再写收敛条件$|ax|<1$。
4. 错误：解分式不等式直接乘分母，漏解或多解。原因：学生忽略分母正负对不等号的影响。正确做法：永远用移项通分、转化为整式乘积的方法求解。

8. 练习题 (A-Level Mathematics P3 风格)

题1

解不等式$|2x+1|>x-2$ 解答： 方法1：分段讨论

• 当$2x+1\ge 0$即$x\ge -\frac{1}{2}$时，不等式化为$2x+1>x-2⟹x>-3$，结合定义域得$x\ge -\frac{1}{2}$
• 当$2x+1<0$即$x<-\frac{1}{2}$时，不等式化为$-2x-1>x-2⟹-3x>-1⟹x<\frac{1}{3}$，结合定义域得$x<-\frac{1}{2}$ 综上，解集为全体实数$x\in \mathbb{R}$

题2

将$\frac{4x^2+5x+3}{(x+1)(2x+1{)}^2}$拆分为部分分式 解答： 设原式$=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{2x+1}+\frac{C}{(2x+1{)}^2}$，两边乘分母得： $4x^2+5x+3=A(2x+1{)}^2+B(x+1)(2x+1)+C(x+1)$ 代入$x=-1$得$4-5+3=A(1)⟹A=2$ 代入$x=-\frac{1}{2}$得$4\ast \frac{1}{4}+5\ast (-\frac{1}{2})+3=C(\frac{1}{2})⟹\frac{3}{2}=\frac{1}{2}C⟹C=3$ 比较$x^2$系数：$4=4A+2B⟹4=8+2B⟹B=-2$ 最终拆分结果：$\frac{2}{x+1}-\frac{2}{2x+1}+\frac{3}{(2x+1{)}^2}$

题3

求$(3+6x{)}^{\frac{1}{2}}$的前3项展开式及收敛范围 解答： 提取公因子3得：$3^{\frac{1}{2}}{\left(1+2x\right)}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}{\left(1+2x\right)}^{\frac{1}{2}}$ 代入二项式公式： $$\sqrt{3}\left[1+\frac{1}{2}(2x)+\frac{\frac{1}{2}\ast (-\frac{1}{2})}{2!}(2x{)}^2+...\right]=\sqrt{3}\left(1+x-\frac{1}{2}{x}^2+...\right)$$ 前3项为$\sqrt{3}+\sqrt{3}x-\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^2$，收敛条件为$|2x|<1⟹|x|<\frac{1}{2}$

9. 速查表 (Quick Reference Cheatsheet)

10. 接下来怎么学

本章节的代数内容是P3后续复数、微分、积分、微分方程等章节的核心基础，比如部分分式会直接用于有理函数积分，二项式展开会和级数求和、近似计算结合考察，掌握好本章内容能为后续P3学习减少80%的障碍。 如果你在练习真题或复习考点时遇到任何问题，都可以随时到小欧提问，我们会为你提供针对性的讲解和练习资源。

本指南内容对齐 CIE 剑桥国际 AS & A Level 数学 9709 考纲。OwlsAi 与 Cambridge Assessment International Education 无附属关系。