A-Level · cie-9709 · Paper 1 (Pure Mathematics 1) · Quadratics / 二次函数 · 阅读约 15 分钟 · 更新于 2026-05-06

二次函数 (Quadratics) — A-Level Mathematics Pure 1 学习指南

适合谁：A-Level Mathematics 参加 Paper 1 (Pure Mathematics 1) 的考生。

覆盖内容：判别式根的性质、配方法、二次方程求解、二次不等式、二次函数图像、隐式二次函数、函数最值、直线与曲线交点全部考纲子主题。

前置知识：基本代数、绘制 $y = x^{2}$ 等基础曲线、解一次方程。

关于练习题：下文「练习题」一节的所有题目均为我们按 A-Level Mathematics 风格编写的原创题目 (original problems)，仅用于教学。它们不是 Cambridge International 真题的复制，措辞、数值或语境可能不同。请把它们当作练手用；评分细则请对照 Cambridge 官方 mark scheme。

1. 什么是二次函数？

二次函数（quadratic function）是最高次项为二次项的多项式函数，是A-Level Mathematics Paper 1的第一个核心考点，占卷面分约8%-12%，常和函数、坐标几何、微积分结合出题。其标准形式为： $y = a x^{2} + b x + c$ 其中 $a \neq = 0$ ， $a 、 b 、 c$ 均为常数， $a$ 决定开口方向， $b$ 影响对称轴位置， $c$ 是y轴截距。

2. 判别式（Discriminant）与根的性质

判别式是判断二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 实根数量的核心工具，定义为： $Δ = b^{2} - 4 a c$ 根的性质分为三类：

$Δ > 0$ ：方程有两个不相等的实根（two distinct real roots），对应二次曲线与x轴有两个交点
$Δ = 0$ ：方程有一个重根（repeated real root），对应二次曲线与x轴相切（tangent）
$Δ < 0$ ：方程没有实根（no real roots），对应二次曲线与x轴无交点

范例：判断 $3 x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 的根的性质： $Δ = (- 2)^{2} - 4 \times 3 \times 1 = 4 - 12 = - 8 < 0$ ，因此无实根。

3. 配方法（Completing the square）与顶点式

配方法是将二次函数标准式转化为顶点式 $y = a (x - h)^{2} + k$ 的核心方法，顶点式可以直接读出二次函数的顶点坐标，是求最值、画图像的基础。配方法步骤：

提取二次项系数 $a$ ，将括号内整理为 $x^{2} + p x$ 的形式
对 $x^{2} + p x$ 配完全平方： $x^{2} + p x = (x + \frac{p}{2})^{2} - (\frac{p}{2})^{2}$
展开整理常数项得到顶点式

范例：将 $y = 2 x^{2} + 8 x + 5$ 转化为顶点式： $$ \begin{align*} y&=2(x^2+4x)+5 \ &=2\left[(x+2)^2 - 4\right]+5 \ &=2(x+2)^2 - 8 +5 \ &=2(x+2)^2 -3 \end{align*} $$

4. 二次方程的求解方法

二次方程有三种常用求解方法，考纲要求全部掌握：

因式分解法（factoring）：将方程整理为 $(m x + n) (p x + q) = 0$ 的形式，直接得到根 $x = - \frac{n}{m}$ 和 $x = - \frac{q}{p}$ ，仅适用于有有理根的方程
求根公式法：由配方法推导而来，当 $Δ \geq 0$ 时，根为： $x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$
配方法：将方程转化为 $(x - h)^{2} = k$ 的形式，开方求解，适用于所有有实根的方程

范例：解 $2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$ ：因式分解得 $(2 x + 1) (x - 3) = 0$ ，因此根为 $x = - \frac{1}{2}$ 和 $x = 3$ ，与求根公式计算结果一致。

5. 二次不等式的求解

二次不等式的求解核心是结合二次函数图像的开口方向和根的位置做符号分析，步骤如下：

将不等式整理为 $a x^{2} + b x + c > 0$ 或 $< 0$ 的形式，优先将 $a$ 调整为正数（避免符号判断错误）
求解对应二次方程的根
结合开口方向判断解集： $a > 0$ 时， $> 0$ 取两根外侧， $< 0$ 取两根之间

范例：解 $x^{2} + x - 6 < 0$ ：方程 $x^{2} + x - 6 = 0$ 的根为 $x = - 3$ 和 $x = 2$ ， $a = 1 > 0$ 开口向上，因此解集为 $- 3 < x < 2$ 。

6. 二次函数的图像特征

二次函数的图像是抛物线，核心特征可以直接从标准式或顶点式读出：

顶点坐标：顶点式中为 $(h, k)$ ，标准式中为 $(- \frac{b}{2 a}, \frac{4 a c - b ^{2}}{4 a})$
对称轴（axis of symmetry）：过顶点的竖直线，方程为 $x = h$ 或 $x = - \frac{b}{2 a}$
开口方向： $a > 0$ 开口向上， $a < 0$ 开口向下， $∣ a ∣$ 越大开口越窄
截距：y轴截距为 $c$ （x=0时的函数值），x轴截距为方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的实根

7. 隐式二次函数（Disguised quadratics）

隐式二次函数指表面不是二次结构，通过换元可以转化为标准二次方程的表达式，是考官常出的拉分考点，常用换元包括 $u = x^{2}$ 、 $u = e^{x}$ 、 $u = x$ 等，换元时必须先明确新变量的取值范围。

范例：解方程 $x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$ ：令 $u = x^{2}$ （ $u \geq 0$ ），原方程转化为 $u^{2} - 10 u + 9 = 0$ ，解得 $u = 1$ 或 $u = 9$ ，对应 $x^{2} = 1$ 得 $x = \pm 1$ ， $x^{2} = 9$ 得 $x = \pm 3$ ，四个根均有效。

8. 顶点式求函数最值

从顶点式可以直接读出二次函数的最值：

当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上，顶点为最小值点，最小值为 $k$ ，定义域为全体实数时无最大值
当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下，顶点为最大值点，最大值为 $k$ ，定义域为全体实数时无最小值如果题目给定了限定定义域，需要同时比较顶点值和定义域两端的端点值，取最大/最小值。

范例：求 $y = - x^{2} + 4 x + 1$ 的最大值：配方得 $y = - (x - 2)^{2} + 5$ ， $a = - 1 < 0$ ，因此最大值为5，在 $x = 2$ 时取到。

9. 直线与二次曲线的交点判断

判断直线与二次曲线的交点数量，核心是用联立方程的判别式判断：

联立直线与二次曲线的方程，消去 $y$ 得到关于 $x$ 的二次方程
计算判别式 $Δ$ ： $Δ > 0$ 有两个交点， $Δ = 0$ 直线是曲线的切线， $Δ < 0$ 无交点

范例：求直线 $y = 3 x + k$ 与曲线 $y = x^{2} - x + 2$ 相切时 $k$ 的值：联立得 $x^{2} - x + 2 = 3 x + k$ ，整理为 $x^{2} - 4 x + (2 - k) = 0$ ，相切时 $Δ = (- 4)^{2} - 4 \times 1 \times (2 - k) = 0$ ，解得 $16 - 8 + 4 k = 0$ ， $k = - 2$ 。

10. 常见陷阱 (Common Pitfalls)

错误：用判别式时直接套公式，忽略二次项系数 $a = 0$ 的情况。原因：默认所有最高次为二次的表达式都是二次函数，忘记 $a = 0$ 时是一次方程，不能用判别式。正确做法：先判断 $a$ 是否为0，若 $a = 0$ 按一次方程规则处理。
错误：解二次不等式时不调整 $a$ 的符号，直接按 $a > 0$ 的规则判断解集。原因：死记硬背解集规则，忽略开口方向对符号的影响。正确做法：若 $a < 0$ ，先两边乘-1并翻转不等号，再求解。
错误：隐式二次换元后忘记新变量的取值范围，保留不符合要求的根。原因：只关注解方程，忽略换元的定义域限制。正确做法：换元第一步先写新变量的取值范围，最后验根舍去不符合的解。
错误：求限定定义域的二次函数最值时，只计算顶点值，忽略端点值。原因：默认定义域为全体实数，忽略题目给出的范围限制。正确做法：先判断顶点是否在给定定义域内，再比较顶点和两个端点的函数值，取最大/最小值。

11. 练习题 (A-Level Mathematics 风格)

题1

已知二次函数 $y = 2 x^{2} + k x + 8$ 的图像与x轴有两个不同的交点，求 $k$ 的取值范围。解答：图像与x轴有两个不同交点对应 $Δ > 0$ ，代入得： $Δ = k^{2} - 4 \times 2 \times 8 = k^{2} - 64 > 0$ 解得 $k > 8$ 或 $k < - 8$ 。

题2

解不等式 $3 x^{2} + 2 x - 8 \leq 0$ 。解答：先求对应方程 $3 x^{2} + 2 x - 8 = 0$ 的根，因式分解得 $(3 x - 4) (x + 2) = 0$ ，根为 $x = - 2$ 和 $x = \frac{4}{3}$ 。 $a = 3 > 0$ 开口向上， $\leq 0$ 取两根之间，解集为 $- 2 \leq x \leq \frac{4}{3}$ 。

题3

解方程 $e^{2 x} - 5 e^{x} + 6 = 0$ 。解答：令 $u = e^{x}$ （ $u > 0$ ），原方程转化为 $u^{2} - 5 u + 6 = 0$ ，解得 $u = 2$ 或 $u = 3$ 。对应 $e^{x} = 2$ 得 $x = ln 2$ ， $e^{x} = 3$ 得 $x = ln 3$ ，均为有效根。

12. 速查表 (Quick Reference Cheatsheet)

分类	核心公式/规则
标准式	$y = a x^{2} + b x + c (a \neq = 0)$
判别式	$Δ = b^{2} - 4 a c$ ： $Δ > 0$ 两不等实根， $Δ = 0$ 重根/相切， $Δ < 0$ 无实根
顶点式	$y = a (x - h)^{2} + k$ ，顶点 $(h, k)$ ，对称轴 $x = h$
求根公式	$x = \frac{- b \pm Δ}{2 a} (Δ \geq 0)$
二次不等式（ $a > 0$ ）	$a x^{2} + b x + c > 0$ 取两根外侧， $< 0$ 取两根之间
直线与曲线交点	联立后二次方程的 $Δ$ 判断交点个数
最值规则	$a > 0$ 顶点取最小值， $a < 0$ 顶点取最大值

13. 接下来怎么学

二次函数是A-Level Mathematics Pure 1的基础考点，后续你会在坐标几何、微积分、函数值域等章节频繁用到它的性质，掌握好二次函数能大幅降低后续知识点的学习难度，也能帮你更快解决跨考点的综合题。如果你在刷题过程中遇到任何二次函数相关的问题，都可以随时去小欧提问，我们会为你提供针对性的讲解和定制练习。

本指南内容对齐 CIE 剑桥国际 AS & A Level 数学 9709 考纲。OwlsAi 与 Cambridge Assessment International Education 无附属关系。

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