函数 (Functions) — CIE 9709 Pure 1 学习指南

适合谁：参加 Cambridge A-Level Mathematics 9709 Paper 1 (Pure Mathematics 1) 的考生。

覆盖内容：考纲第 2 章 (Topic 2) — 函数 (function) 的定义、定义域 (domain) 与值域 (range)、一一映射 (one-to-one)、复合函数 (composite function)、反函数 (inverse function)、二次函数 (quadratic function)、模数函数 (modulus function) 以及图像变换 (graph transformations)。

前置知识：代数运算、绘制基本曲线（ $y = x^{2}$ 、 $y = 1/ x$ 、 $y = x$ ）、解二次方程 (quadratic equations)。

关于练习题：第 10 节的所有练习题都是原创题目 (original problems)，按 CIE 9709 Pure 1 风格编写——难度、考点覆盖、题目结构都与真题一致，但数字和情境是全新的。它们不是 Cambridge 真题的复制。如需真题，请参考你的 Cambridge 教师资源或正版真题来源。

1. 什么是函数 (Function)？

函数 (function) $f$ 是从集合 $A$ 到集合 $B$ 的对应关系，使每个 $A$ 中的元素都对应唯一一个 $B$ 中的元素。记作：

$f : A \to B, x \mapsto f (x)$

核心理解：函数是一个规则 (rule)。每个输入唯一确定一个输出。

必须掌握的记号：

$f (x) = 2 x + 3$ — 定义了一个规则。
$f : x \mapsto 2 x + 3$ — 同一规则的"映射" (maps to) 记号。
$f (5) = 13$ — 函数 $f$ 在 $x = 5$ 时的值。

注意： $y = \pm x$ 不是函数（一个输入对应两个输出）。但 $y = + x$ 单独看是函数。

2. 定义域 (Domain) 与值域 (Range)

定义域 (domain) = 允许的输入 $x$ 的集合。
值域 (range) = 当 $x$ 在定义域内变化时，所有输出 $f (x)$ 的集合。

求值域的方法

方法 1 — 代数法（处理二次函数首选）：完成平方 (complete the square) 或用导数 (calculus)。

例子： $f (x) = x^{2} - 4 x + 7$ ， $x \in R$ 。

完成平方： $f (x) = (x - 2)^{2} + 3$ 。

由于 $(x - 2)^{2} \geq 0$ ，最小值是 $3$ ，在 $x = 2$ 时取得。所以值域 = $f (x) \geq 3$ ，即 $[3, \infty)$ 。

方法 2 — 图像法：画图后从 $y$ 值读出范围。

限制定义域 (Restricted Domain)

很多 9709 题目会限制定义域（例如 $x \geq 2$ ），这是为了让函数变成一一映射 (one-to-one)，从而可以求反函数（见第 4 节）。

3. 一一映射 (One-to-One Functions)

函数 $f$ 是一一映射 (one-to-one / injective) 如果不同输入给出不同输出：

$x_{1} \neq = x_{2} ⟹ f (x_{1}) \neq = f (x_{2})$

水平线测试 (horizontal line test)：函数是一一映射当且仅当任何水平线 (horizontal line) 与图像最多相交一次。

为什么重要：只有一一映射才有反函数 (inverse) — 见第 5 节。

例子： $f (x) = x^{2}$ 在 $R$ 上不是一一映射（因为 $f (- 2) = f (2) = 4$ ）。但限制定义域为 $x \geq 0$ 后， $f (x) = x^{2}$ 是一一映射。

4. 复合函数 (Composite Functions)

如果 $f : A \to B$ ， $g : B \to C$ ，复合函数 (composite function) $g f$ （或写作 $g \circ f$ ）的定义是：

$g f (x) = g (f (x))$

顺序很重要： $g f$ 表示"先用 $f$ ，再用 $g$ "。这跟 $f g$ 不同！

例子： $f (x) = 2 x + 1$ ， $g (x) = x^{2}$ 。

$g f (x) = g (2 x + 1) = (2 x + 1)^{2} = 4 x^{2} + 4 x + 1$ $f g (x) = f (x^{2}) = 2 x^{2} + 1$

显然 $g f \neq = f g$ （一般情况下）。

定义域规则 (domain rule)：要让 $g f$ 有意义， $f$ 的值域必须包含在 $g$ 的定义域里。

5. 反函数 (Inverse Functions)

如果 $f$ 是一一映射，它的反函数 (inverse function) $f^{- 1}$ 撤销 $f$ ：

$f^{- 1} (f (x)) = x 且 f (f^{- 1} (y)) = y$

代数法求 $f^{- 1}$

设 $y = f (x)$ 。
交换 $x$ 和 $y$ （或先解出 $x$ 关于 $y$ 的表达式，再重命名）。
得到 $f^{- 1} (x)$ 。

例子： $f (x) = 3 x - 5$ 。

$y = 3 x - 5 \Rightarrow x = \frac{y + 5}{3}$ ，所以 $f^{- 1} (x) = \frac{x + 5}{3}$ 。

定义域和值域的互换

$f^{- 1}$ 的定义域 = $f$ 的值域。
$f^{- 1}$ 的值域 = $f$ 的定义域。

图像

$y = f^{- 1} (x)$ 的图像是 $y = f (x)$ 在 $y = x$ 这条直线上的反射 (reflection)。考试中画 $f$ 和 $f^{- 1}$ 时一定要画出 $y = x$ 这条参考线 — 阅卷老师看到清晰的反射会给分。

6. 二次函数 (Quadratic Functions)

二次函数 (quadratic) 形如 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ， $a \neq = 0$ 。

完成平方 (Completing the Square) — 9709 的核心工具

$a x^{2} + b x + c = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} + (c - \frac{b ^{2}}{4 a})$

直接得到：

顶点 (vertex / turning point)： $(- \frac{b}{2 a}, c - \frac{b ^{2}}{4 a})$
最小值 (minimum, 当 $a > 0$ ) 或 最大值 (maximum, 当 $a < 0$ )： $c - \frac{b ^{2}}{4 a}$
值域： $f (x) \geq c - \frac{b ^{2}}{4 a}$ （当 $a > 0$ ）
对称轴 (line of symmetry)： $x = - \frac{b}{2 a}$

判别式 (Discriminant)

$Δ = b^{2} - 4 a c$ 决定根 (roots) 的情况：

$Δ > 0$ ：两个不同实根 (two distinct real roots)。
$Δ = 0$ ：一个重根 (one repeated root) — 曲线与 $x$ 轴相切 (touches)。
$Δ < 0$ ：没有实根 (no real roots) — 曲线不与 $x$ 轴相交。

9709 经典陷阱：很多"求 $k$ 的值使..."的题目最终归结为判别式条件 (discriminant condition)。

7. 模数函数 (The Modulus Function)

模数 (modulus / absolute value) 的定义：

$∣ x ∣ = {x - x 如果 x \geq 0 如果 x < 0$

画 $y = ∣ f (x) ∣$ 的图

先画 $y = f (x)$ 的图。
把 $x$ 轴下方的部分翻折 (reflect) 到 $x$ 轴上方。

解 $∣ f (x) ∣ = g (x)$ — 平方法 (Squaring Method)

两边都非负 (non-negative) 时，可以两边平方：

$∣ f (x) ∣ = g (x) ⟹ (f (x))^{2} = (g (x))^{2}$

解出后必须验根 — 平方可能引入虚假解 (extraneous roots)。

替代方法：分两种情况（ $f (x) = g (x)$ 和 $f (x) = - g (x)$ ），分别解，再验根。

8. 图像变换 (Graph Transformations)

四种核心变换 — 必须烂熟于心：

变换	效果	方向
$y = f (x) + a$	垂直平移 (vertical shift) $+ a$	$a > 0$ 向上， $a < 0$ 向下
$y = f (x + a)$	水平平移 $- a$ （符号相反）	$f (x + 2)$ 向左平移 2
$y = a f (x)$	垂直伸缩 (vertical stretch)，因子 $a$	$a < 0$ 时还会沿 $x$ 轴翻转
$y = f (a x)$	水平伸缩 (horizontal stretch)，因子 $1/ a$	$f (2 x)$ 水平压缩为原来 1/2

复合变换的顺序：在 $y = a f (b x + c) + d$ 中，按顺序：

水平平移 $- c / b$
水平伸缩因子 $1/ b$
垂直伸缩因子 $a$
垂直平移 $d$

（大多数考试只组合 2-3 个变换。考试要求描述每一步时务必明确写出。）

9. 常见陷阱 (Common Pitfalls)

混淆 $f^{- 1} (x)$ 和 $\frac{1}{f ( x )}$ 。 $f^{- 1}$ 是反函数 (inverse function)，不是倒数 (reciprocal)。这是低质量答案最常见的混淆。
忘记定义域限制使函数变成一一映射。题目给 $x \geq 2$ 时，这个限制是答案的一部分——求 $f^{- 1}$ 时也要写它的定义域。
把定义域和值域写反。 $f^{- 1}$ 的定义域 = $f$ 的值域。不要写成 $f$ 的定义域。
$f (x + a)$ 的符号方向。 $f (x + 3)$ 把图像向左平移 3，不是向右。要练到下意识。
解模数方程不验根。两边平方后一定要把解代回原方程验证。
题目要求"通过完成平方"求最值时，用导数解。9709 阅卷重视方法选择 — 题目说 "by completing the square" 时用导数会失分。

10. 练习题 (Practice Questions, CIE 9709 P1 风格)

下面两道题都是原创练习题 (original problems)，不是真题的复制。题目按 CIE 9709 Paper 1 Functions 的难度、考纲覆盖和结构编写。

练习题 1 — 复合函数与反函数 (Composite & Inverse, CIE 9709 P1 风格)

函数 $f$ 定义为 $f (x) = 2 x + 3$ （ $x \in R$ ），函数 $g$ 定义为 $g (x) = x^{2} - 4$ （ $x \in R$ ）。

(a) 求 $g f (x)$ 的表达式。

解答：

$g f (x) = g (2 x + 3) = (2 x + 3)^{2} - 4 = 4 x^{2} + 12 x + 9 - 4 = 4 x^{2} + 12 x + 5$

(b) 求 $f^{- 1} (x)$ ，并写出它的值域 (range)。

解答：

$y = 2 x + 3 \Rightarrow x = \frac{y - 3}{2}$ ，所以 $f^{- 1} (x) = \frac{x - 3}{2}$ 。

$f^{- 1}$ 的值域 = $f$ 的定义域 = $R$ 。

练习题 2 — 限制定义域的二次函数 (Quadratic with Restricted Domain, CIE 9709 P1 风格)

函数 $f$ 定义为 $f (x) = x^{2} - 6 x + 13$ ， $x \geq 3$ 。

(a) 把 $f (x)$ 写成 $(x - a)^{2} + b$ 的形式。

解答： $f (x) = (x - 3)^{2} + 4$ 。

(b) 写出 $f$ 的值域 (range)。

解答：由于 $x \geq 3$ ， $(x - 3)^{2} \geq 0$ ，所以 $f (x) \geq 4$ 。值域： $f (x) \geq 4$ 。

(c) 求 $f^{- 1} (x)$ ，并写出它的定义域 (domain)。

解答：

$y = (x - 3)^{2} + 4 \Rightarrow (x - 3)^{2} = y - 4 \Rightarrow x - 3 = y - 4$ （取正根，因为 $x \geq 3$ ）。

所以 $x = 3 + y - 4$ ，得 $f^{- 1} (x) = 3 + x - 4$ 。

$f^{- 1}$ 的定义域 = $f$ 的值域 = $x \geq 4$ 。

11. 速查表 (Quick Reference Cheatsheet)

概念 (中)	概念 (英)	关键公式 / 要点
复合函数	composite	$g f (x) = g (f (x))$ ，顺序重要
反函数存在	inverse exists	当且仅当 $f$ 是一一映射 (one-to-one)
求反函数	find inverse	交换 $x \leftrightarrow y$ ，解出 $y$
反射关系	reflection	$y = f^{- 1} (x)$ 是 $y = f (x)$ 在 $y = x$ 上的反射
定义域互换	domain swap	$dom (f^{- 1}) = ran (f)$
二次顶点	vertex	$(- \frac{b}{2 a}, c - \frac{b ^{2}}{4 a})$
判别式	discriminant	$Δ = b^{2} - 4 a c$
模数图像	modulus graph	把 $x$ 轴下方部分翻折 (reflect) 到上方
$f (x + a)$	horizontal shift	向左 (left) 平移 $a$
$f (a x)$	horizontal stretch	水平伸缩因子 $1/ a$

接下来怎么学

练习：做完上面两道练习题后，去做 CIE 9709 Paper 1 真题中关于 Functions 的题目（May/June 和 Oct/Nov 各 session、variants 11/12/13）。重点训练自己能否在读题 30 秒内识别出考点（例如"完成平方 (complete the square)"、"交换求反函数 (swap to find inverse)"等）。
相关章节：二次方程 (Topic 1: Quadratics)、坐标几何 (Topic 3: Coordinate Geometry)、三角学 (Topic 4: Trigonometry) — 复合函数和反函数经常在多步综合题 (multi-part questions) 中和这些章节结合。

最后更新：2026-05-06。 由 OwlsPrep 编写——专为 IB / AP / A-Level 国际课程学生打造的学习助手。