功、能量与功率 (Energy, Work and Power) — A-Level Mathematics Mechanics 学习指南

适合谁：A-Level Mathematics 参加 Paper 4 (Mechanics) 的考生。

覆盖内容：功的计算、动能与动能定理、重力势能与能量守恒、功率公式、变阻力与牵引力相关计算

前置知识：A-Level Mathematics Pure 1 微积分、基本向量。

关于练习题：下文「练习题」一节的所有题目均为我们按 A-Level Mathematics 风格编写的原创题目 (original problems)，仅用于教学。它们不是 Cambridge International 真题的复制，措辞、数值或语境可能不同。请把它们当作练手用；评分细则请对照 Cambridge 官方 mark scheme。

1. 什么是功、能量与功率？

功 (work)、能量 (energy)、功率 (power) 是力学中描述力对空间累积效应的核心概念，和之前学的冲量（力对时间的累积）共同构成力学分析的两大核心工具。本章节在A-Level Mathematics Paper4中占10-15分，常结合运动学、牛顿定律出综合题，核心逻辑是通过能量的变化绕过复杂的中间运动过程，大幅简化计算。

2. 力做的功 (Work done by a force)

功是力在位移方向的分量与位移大小的乘积，仅适用于恒力 (constant force) 做功的场景，公式为： $$W=Fd\cos \theta$$ 其中$F$是恒力的大小，$d$是位移 (displacement) 的大小，$\theta$是力与位移正方向的夹角，功的单位为焦耳 (Joule, J)，$1\mathrm{J}=1\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$。

• 当$\theta <90^{\circ }$时$\cos \theta >0$，力做正功，比如拉力拉物体前进；
• 当$\theta =90^{\circ }$时$\cos \theta =0$，力不做功，比如水平运动物体的支持力、匀速圆周运动的向心力都不做功；
• 当$\theta >90^{\circ }$时$\cos \theta <0$，力做负功，比如滑动摩擦力对运动物体做负功。

范例：大小为10N的拉力与水平方向成$30^{\circ }$角，拉木块水平移动2m，拉力做的功为： $$W=10\times 2\times \cos 30^{\circ }=10\sqrt{3}\approx 17.3\mathrm{J}$$

3. 动能与动能定理 (Kinetic energy and the work-energy theorem)

动能 (kinetic energy, KE) 是物体因运动具有的能量，是标量，公式为： $$KE=\frac{1}{2}m{v}^2$$ 其中$m$是物体质量，$v$是物体的瞬时速率，单位为焦耳。

动能定理指合外力对物体做的总功等于物体动能的变化量，公式为： $$W_{total}=\Delta KE=\frac{1}{2}m{v}_2^2-\frac{1}{2}m{v}_1^2$$ 该定理的优势是无需考虑中间的加速度、运动时间，仅通过初末状态的速率和总功即可求解问题，是考官最偏好的简化计算考点。

范例：质量为2kg的物体初速度为$3m/s$，合外力对它做了20J的正功，求末速度： $$20=\frac{1}{2}\times 2\times (v^2-3^2)⟹v^2=29⟹v\approx 5.39m/s$$

4. 重力势能与能量守恒 (Gravitational potential energy and conservation)

重力势能 (gravitational potential energy, GPE) 是物体因在重力场中所处高度具有的能量，是标量，公式为： $$GPE=mgh$$ 其中$h$是物体相对于参考平面的竖直高度，单位为焦耳。

当只有重力做功时，系统的机械能 (mechanical energy，即动能与重力势能之和) 守恒，即： $$\Delta KE+\Delta GPE=0$$ 如果存在拉力、摩擦力等非重力做功，那么非重力做的总功等于机械能的变化量： $$W_{other}=\Delta (KE+GPE)$$

范例：质量为1kg的小球从10m高处静止释放，忽略空气阻力，求落地速率： 由机械能守恒，重力势能的减少量等于动能的增加量：$\frac{1}{2}m{v}^2=mgh$，约去$m$得$v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times 9.8\times 10}=14m/s$。

5. 功率 (Power)

功率是力做功的速率，单位为瓦特 (Watt, W)，$1\mathrm{W}=1J/s$。当恒力作用下物体沿力的方向做匀速运动时，功率可简化为： $$P=Fv$$ 推导逻辑为$P=\frac{W}{t}=\frac{Fd}{t}=Fv$，如果力与速度方向存在夹角$\theta$，则公式为$P=Fv\cos \theta$，和功的计算逻辑一致。该考点常考汽车、起重机的额定功率问题。

范例：汽车发动机额定输出功率为50kW，在水平路面匀速行驶时受到的阻力为2000N，求最大匀速行驶速度： 匀速时牵引力等于阻力，因此$v=\frac{P}{F}=\frac{50000}{2000}=25m/s$（即$90km/h$）。

6. 变阻力与牵引力 (Variable resistive forces and tractive force)

实际场景中阻力通常是变化的（比如空气阻力与速率成正比），此时恒力做功的公式不再适用，变力做功需要通过积分计算： $$W=\int Fdx$$ 其中$F$是沿位移方向的力的大小，$x$是位移。如果无法直接积分，可以通过动能定理，用初末状态的动能变化间接求变力做的功。

对于汽车恒定功率启动等变牵引力场景，也需结合动能定理解题：牵引力做的功为$Pt$，减去阻力做的功等于动能变化。

范例：质量为1000kg的汽车受到的空气阻力为$f=5v$（单位：N，$v$为速率，单位：m/s），当汽车以$10m/s$的速度匀速行驶时，求发动机的输出功率： 匀速时牵引力等于阻力，$F=f=5\times 10=50\mathrm{N}$，因此$P=Fv=50\times 10=500\mathrm{W}$。

7. 常见陷阱 (Common Pitfalls)

1. 错误：计算功时直接用$F$乘以$d$，忽略夹角$\theta$。原因：忘记功是力在位移方向的分量的乘积。正确：必须确认力与位移的夹角，尤其斜向拉力、重力做功的场景，重力做功仅与竖直位移有关，$W_G=-mg\Delta h$。
2. 错误：动能定理仅代入单个力的功，未计算总功。原因：混淆单个力的功和合外力的功。正确：动能定理左侧是所有力做功的代数和，包括重力、摩擦力、拉力等所有作用力。
3. 错误：所有场景都直接用机械能守恒，忽略非重力做功。原因：默认能量无条件守恒。正确：只有重力做功时机械能才守恒，存在摩擦力、拉力等力做功时，非重力的功等于机械能的变化量。
4. 错误：变力做功时仍然使用$W=Fd$计算。原因：混淆恒力和变力的适用条件。正确：变力做功优先用动能定理通过初末动能变化求解，无法用动能定理时用积分计算。
5. 错误：用$P=Fv$时忽略力与速度的夹角。原因：只记住了同方向的简化公式。正确：力与速度方向不同时要乘以$\cos \theta$，即$P=Fv\cos \theta$。

8. 练习题 (A-Level Mathematics Paper4 风格)

题1

质量为5kg的木箱受到与水平方向成$37^{\circ }$角的拉力$F=20\mathrm{N}$作用，在水平地面移动4m，已知滑动摩擦系数$\mu =0.2$，$g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$，$\cos 37^{\circ }\approx 0.8$，$\sin 37^{\circ }\approx 0.6$。求：(a) 拉力做的功；(b) 摩擦力做的功；(c) 合外力总功。 解答： (a) 拉力做功：$W_F=Fd\cos 37^{\circ }=20\times 4\times 0.8=64\mathrm{J}$ (b) 竖直方向受力平衡：$N+F\sin 37^{\circ }=mg$，得$N=5\times 9.8-20\times 0.6=37\mathrm{N}$，摩擦力$f=\mu N=7.4\mathrm{N}$，摩擦力与位移反向，$\theta =180^{\circ }$，因此$W_f=7.4\times 4\times \cos 180^{\circ }=-29.6\mathrm{J}$ (c) 重力、支持力与位移垂直，做功为0，总功$W_{total}=64-29.6=34.4\mathrm{J}$

题2

质量为1200kg的汽车关闭发动机后，以$15m/s$的初速度冲上倾角$\sin \theta =0.1$的斜坡，沿斜坡行驶200m后速度变为$5m/s$，忽略空气阻力，求平均阻力大小。 解答： 由动能定理：重力做功+阻力做功=动能变化 重力做功：$W_G=-mg\Delta h=-1200\times 9.8\times 200\times 0.1=-235200\mathrm{J}$ 动能变化：$\Delta KE=\frac{1}{2}\times 1200\times (5^2-15^2)=-120000\mathrm{J}$ 代入得：$-235200-200f=-120000$，解得$f=576\mathrm{N}$

题3

起重机输出功率恒为10kW，将质量为500kg的货物竖直向上吊起，$g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$，求：(a) 货物的最大上升速度；(b) 速度为$1m/s$时的加速度。 解答： (a) 最大速度时牵引力等于重力，$F=mg=4900\mathrm{N}$，因此$v_{max}=\frac{P}{F}=\frac{10000}{4900}\approx 2.04m/s$ (b) 速度为$1m/s$时，牵引力$F=\frac{P}{v}=10000\mathrm{N}$，合力$F_{合}=10000-4900=5100\mathrm{N}$，加速度$a=\frac{F_{合}}{m}=10.2m/{\mathrm{s}}^2$

9. 速查表 (Quick Reference Cheatsheet)

10. 接下来怎么学

本章节的能量分析方法是后续Paper4中圆周运动、简谐运动、刚体动力学等章节的核心工具，几乎所有力学综合题都会用到功和能量的思路简化计算，掌握好本章内容能至少提升30%的综合题解题速度。 如果你在刷真题的过程中遇到任何功、能量与功率相关的问题，都可以随时到小欧提问，我们会为你提供定制化的讲解和练习。

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