电阻与电阻率

CIE A-Level 物理· 40 分钟阅读

1. 电阻与欧姆定律★★☆☆☆⏱ 10 min

📘 定义

电阻

R

元件两端电势差与通过元件电流的比值，由公式 $R = \frac{V}{I}$ 给出，单位为欧姆（ $Ω$ ）。

例:

一个5 $Ω$ 的电阻两端电压为10 V时，通过的电流为2 A。

📐 例题

一个灯丝灯泡两端施加12 V电压时，通过的电流为0.25 A，计算它的电阻。

1
回忆电阻的定义：
2
$R = \frac{V}{I}$
3
代入已知值 $V = 12$ V, $I = 0.25$ A：
4
$R = \frac{12}{0.25} = 48 \; \Omega$

2. 电阻率与公式 $R = \rho L / A$★★★☆☆⏱ 15 min

📘 定义

电阻率

$ρ$

描述对电流阻碍作用的材料固有属性，与材料尺寸无关，仅取决于材料类型和温度。电阻与电阻率的关系为：

例:

铜的电阻率很低（ $\approx 1.7 \times 1 0^{- 8} Ω \cdot m$ ），因此非常适合制作电线。

R = \frac{\rho L}{A}

📐 例题

一根铜丝长2.0 m，直径0.50 mm，电阻率为 $1.7 \times 1 0^{- 8} Ω \cdot m$ ，计算它的电阻。

1
将直径转换为米，计算横截面积 $A$ ：
2
$d = 0.50 \; \text{mm} = 0.50 \times 10^{-3} \; \text{m}, \; r = 0.25 \times 10^{-3} \; \text{m} \\ A = \pi r^2 = \pi (0.25 \times 10^{-3})^2 \approx 1.96 \times 10^{-7} \; \text{m}^2$
3
代入电阻率公式：
4
$R = \frac{\rho L}{A} = \frac{(1.7 \times 10^{-8})(2.0)}{1.96 \times 10^{-7}} \approx 0.17 \; \Omega$

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检查你对电阻和电阻率区别的理解：

下列哪个说法是正确的？
- 电阻是材料的固有属性
- 电阻率取决于导线的长度
- 恒定温度下，材料的电阻率恒定
- 电阻与温度无关
显示答案
2 —
正确！电阻率是固有属性，因此与导线尺寸无关，仅取决于材料和温度。

3. 电阻的温度依赖性★★★☆☆⏱ 12 min

电阻率随温度变化，对金属和半导体的影响不同：

金属：温度升高会加剧离子振动，导致自由电子与离子的碰撞更频繁。这会使电阻率升高，因此电阻随温度升高而增大。
半导体（例如NTC热敏电阻）：温度升高会释放更多自由电荷载流子。这个效应超过了碰撞增加的影响，因此电阻率和电阻随温度升高而降低。

📐 例题

一个NTC热敏电阻连接到恒定电压的电池上，解释温度升高时电流会发生什么变化。

1
NTC是负温度系数的缩写，意思是热敏电阻的电阻随温度升高而降低。
2
根据欧姆定律，电流由 $I = \frac{V}{R}$ 给出，此处 $V$ 恒定。
3
当 $R$ 减小时，电流 $I$ 的值增大。

4. 测定金属丝电阻率的实验★★★★☆⏱ 15 min

CIE考试经常考察测量金属丝电阻率的实验题，标准方法如下：

用米尺测量金属丝的总长度 $L$ 。
用千分尺在金属丝的3个不同位置测量直径 $d$ ，计算平均直径。
将金属丝与电池、电流表和滑动变阻器串联，将电压表并联在金属丝两端。
改变金属丝接入的长度，记录每种长度下的 $V$ 和 $I$ ，为每个长度计算 $R = V / I$ 。
绘制 $R$ 对 $L$ 的图像。梯度 = $ρ / A$ ，因此 $ρ = 梯度 \times A$ 。

Exam tip:

一定要说明你需要对直径测量取平均值，以减小千分尺带来的随机误差。

5. 常见陷阱

错误做法:

计算前忘记将直径/面积单位转换为米

原因:

直径通常以毫米为单位，保留毫米单位会得到比正确值大10⁶倍的结果

正确做法:

计算面积并代入电阻率公式前，将所有长度测量值转换为米

错误做法:

混淆电阻和电阻率，声称铜的电阻非常低

原因:

铜的电阻率（材料属性）低，但一根长而细的铜丝可以有很高的电阻

正确做法:

记住电阻率是材料的固有属性，电阻同时取决于材料和尺寸

错误做法:

声称所有材料的电阻都随温度升高而增大

原因:

这仅适用于金属，不适用于半导体

正确做法:

区分：金属 → 电阻随温度升高而增大；半导体/NTC热敏电阻 → 电阻随温度升高而减小

错误做法:

计算横截面积时对直径而不是半径平方

原因:

由直径计算时常见的算术错误

正确做法:

计算 $A = π r^{2}$ 前，一定要将直径除以2得到半径

错误做法:

声称欧姆导体的电阻不随温度变化，始终恒定

原因:

欧姆定律仅在恒定温度下成立；所有材料的电阻率都随温度变化

正确做法:

记住只有当温度恒定时，欧姆导体的电阻才保持恒定

6. 速查表

物理量/类型	关键关系	单位	关键属性
电阻	$R = \frac{V}{I}$	$Ω$	取决于材料、尺寸、温度
电阻率	$R = \frac{ρ L}{A}$	$Ω \cdot m$	材料固有属性，仅取决于材料和温度
金属	$ρ \propto T$		电阻随温度升高而增大
NTC热敏电阻	$ρ \propto 1/ T$		电阻随温度升高而减小

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · P2
电阻率计算问题
2022 · P1
电阻的温度依赖性
2021 · P1
金属丝电阻计算

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syllabusCIE 9702 电流大纲

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电阻与电阻率是A-Level物理中所有电路分析的基础。你在此学到的计算技巧会在解决串并联电路、分压器和实验电路问题时反复使用。理解电阻的温度依赖性也是解释热敏电阻、光敏电阻等常见元件行为的关键，这些都是常见的考试考点。掌握本子主题会让你更容易理解后续所有电学内容。