# 电阻与电阻率

> CIE A-Level 物理 · 9702
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u9-resistance-and-resistivity/

本子主题探讨电阻与电阻率、二者的关系、温度依赖性，以及测量电阻率的实验方法。这些概念是选择题和结构化试题中所有电路问题的核心内容。

**先修:** [电流与电势差](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u9-electric-current-potential-difference/)

## 学习目标

- 定义电阻与电阻率，并说明它们的正确单位
- 使用公式 $R = \rho L / A$ 求解计算问题
- 解释温度如何影响金属和半导体的电阻
- 描述测定金属丝电阻率的实验

## 电阻与欧姆定律

**电阻** — 元件两端电势差与通过元件电流的比值，由公式$R = \frac{V}{I}$给出，单位为欧姆（$\Omega$）。

*记法:* R

*例:* 一个5 $\Omega$的电阻两端电压为10 V时，通过的电流为2 A。

> **info**
>
> 欧姆定律指出，对于恒定温度下的欧姆导体，$V \propto I$，因此电阻恒定。非欧姆导体（灯丝灯泡、二极管）不遵守欧姆定律，因此它们的电阻随电流变化。

**例题:** 一个灯丝灯泡两端施加12 V电压时，通过的电流为0.25 A，计算它的电阻。

1. 回忆电阻的定义：
2. $$R = \frac{V}{I}$$
3. 代入已知值 $V = 12$ V, $I = 0.25$ A：
4. $$R = \frac{12}{0.25} = 48 \; \Omega$$

## 电阻率与公式 $R = \rho L / A$

**电阻率** — 描述对电流阻碍作用的材料固有属性，与材料尺寸无关，仅取决于材料类型和温度。电阻与电阻率的关系为：

*记法:* $\rho$

*例:* 铜的电阻率很低（$\approx 1.7 \times 10^{-8} \Omega \cdot \text{m}$），因此非常适合制作电线。

$$R = \frac{\rho L}{A}$$

**例题:** 一根铜丝长2.0 m，直径0.50 mm，电阻率为$1.7 \times 10^{-8} \Omega \cdot \text{m}$，计算它的电阻。

1. 将直径转换为米，计算横截面积 $A$：
2. $$d = 0.50 \; \text{mm} = 0.50 \times 10^{-3} \; \text{m}, \; r = 0.25 \times 10^{-3} \; \text{m} \\ A = \pi r^2 = \pi (0.25 \times 10^{-3})^2 \approx 1.96 \times 10^{-7} \; \text{m}^2$$
3. 代入电阻率公式：
4. $$R = \frac{\rho L}{A} = \frac{(1.7 \times 10^{-8})(2.0)}{1.96 \times 10^{-7}} \approx 0.17 \; \Omega$$

**概念自测**

检查你对电阻和电阻率区别的理解：

1. 下列哪个说法是正确的？

   - 电阻是材料的固有属性
   - 电阻率取决于导线的长度
   - 恒定温度下，材料的电阻率恒定
   - 电阻与温度无关

   *答案:* 恒定温度下，材料的电阻率恒定

   *解析:* 正确！电阻率是固有属性，因此与导线尺寸无关，仅取决于材料和温度。

## 电阻的温度依赖性

电阻率随温度变化，对金属和半导体的影响不同：

- **金属**：温度升高会加剧离子振动，导致自由电子与离子的碰撞更频繁。这会使电阻率升高，因此电阻随温度升高而增大。
- **半导体（例如NTC热敏电阻）**：温度升高会释放更多自由电荷载流子。这个效应超过了碰撞增加的影响，因此电阻率和电阻随温度升高而降低。

**例题:** 一个NTC热敏电阻连接到恒定电压的电池上，解释温度升高时电流会发生什么变化。

1. NTC是负温度系数的缩写，意思是热敏电阻的电阻随温度升高而降低。
2. 根据欧姆定律，电流由 $I = \frac{V}{R}$ 给出，此处 $V$ 恒定。
3. 当 $R$ 减小时，电流 $I$ 的值增大。

> **info**
>
> 由于NTC热敏电阻的电阻随温度变化规律可预测，因此被用作电路中的温度传感器。

## 测定金属丝电阻率的实验

CIE考试经常考察测量金属丝电阻率的实验题，标准方法如下：

1. 用米尺测量金属丝的总长度 $L$。
2. 用千分尺在金属丝的3个不同位置测量直径 $d$，计算平均直径。
3. 将金属丝与电池、电流表和滑动变阻器串联，将电压表并联在金属丝两端。
4. 改变金属丝接入的长度，记录每种长度下的 $V$ 和 $I$，为每个长度计算 $R = V/I$。
5. 绘制 $R$ 对 $L$ 的图像。梯度 = $\rho / A$，因此 $\rho = \text{梯度} \times A$。

> **考试提示:** 一定要说明你需要对直径测量取平均值，以减小千分尺带来的随机误差。

## 常见错误

- **错误做法:** 计算前忘记将直径/面积单位转换为米
  - 原因: 直径通常以毫米为单位，保留毫米单位会得到比正确值大10⁶倍的结果
  - 正确做法: 计算面积并代入电阻率公式前，将所有长度测量值转换为米
- **错误做法:** 混淆电阻和电阻率，声称铜的电阻非常低
  - 原因: 铜的电阻率（材料属性）低，但一根长而细的铜丝可以有很高的电阻
  - 正确做法: 记住电阻率是材料的固有属性，电阻同时取决于材料和尺寸
- **错误做法:** 声称所有材料的电阻都随温度升高而增大
  - 原因: 这仅适用于金属，不适用于半导体
  - 正确做法: 区分：金属 → 电阻随温度升高而增大；半导体/NTC热敏电阻 → 电阻随温度升高而减小
- **错误做法:** 计算横截面积时对直径而不是半径平方
  - 原因: 由直径计算时常见的算术错误
  - 正确做法: 计算 $A = \pi r^2$ 前，一定要将直径除以2得到半径
- **错误做法:** 声称欧姆导体的电阻不随温度变化，始终恒定
  - 原因: 欧姆定律仅在恒定温度下成立；所有材料的电阻率都随温度变化
  - 正确做法: 记住只有当温度恒定时，欧姆导体的电阻才保持恒定

## 速查表

| 物理量/类型 | 关键关系 | 单位 | 关键属性 |
| --- | --- | --- | --- |
| 电阻 | $R = \frac{V}{I}$ | $\Omega$ | 取决于材料、尺寸、温度 |
| 电阻率 | $R = \frac{\rho L}{A}$ | $\Omega \cdot \text{m}$ | 材料固有属性，仅取决于材料和温度 |
| 金属 | $\rho \propto T$ | - | 电阻随温度升高而增大 |
| NTC热敏电阻 | $\rho \propto 1/T$ | - | 电阻随温度升高而减小 |

## 下一步

电阻与电阻率是A-Level物理中所有电路分析的基础。你在此学到的计算技巧会在解决串并联电路、分压器和实验电路问题时反复使用。理解电阻的温度依赖性也是解释热敏电阻、光敏电阻等常见元件行为的关键，这些都是常见的考试考点。掌握本子主题会让你更容易理解后续所有电学内容。

- [电流-电压（I-V）特性曲线](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u9-i-v-characteristics/)
- [电阻的温度依赖性](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u9-temperature-dependence-of-resistance/)
- [直流电路](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u10-overview/)

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