# 电荷载流子与漂移速度

> A-Level 物理 · CIE 9702
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u9-charge-carriers-and-drift-velocity/

本小节讲解运动电荷载流子如何产生电流，介绍漂移速度的概念，并推导出用于求解不同材料中电流问题的核心关系式 $I = nAve$。

**先修:** [电流的定义](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u9-electric-current/)

## 学习目标

- 定义电荷载流子、数密度和漂移速度
- 推导出电流的 $I = nAve$ 关系式
- 比较不同材料的漂移速度和数密度
- 使用漂移速度公式求解计算问题

## 电荷载流子与数密度

所有电流都是由被称为电荷载流子的运动带电粒子产生的。在金属导体中，电荷载流子是穿过静止金属晶格运动的自由电子。在电解质中，电荷载流子是正离子和负离子，而在半导体中，电荷载流子是电子和带正电的空穴。

**数密度** — 数密度是单位体积材料内的电荷载流子数量，单位测量为 $\text{m}^{-3}$

*记法:* $n$

*例:* 金属的数密度非常高（$\approx 10^{29} \text{ m}^{-3}$），而绝缘体几乎没有自由电荷载流子。

**概念自测**

测试你对数密度的理解：

1. 以下哪种材料的自由电子数密度最高？

   - 本征硅
   - 铜线
   - 纯锗
   - 玻璃

   *答案:* 铜线

   *解析:* 铜是金属导体，自由电子浓度非常高，远高于半导体和绝缘体。

**例题:** 一块体积为 $1.5 \times 10^{-6} \text{ m}^3$ 的铜块含有 $1.2 \times 10^{23}$ 个自由电子。计算电荷载流子的数密度。

1. 数密度等于总电荷载流子数量除以总体积：
2. $$n = \frac{N}{V}$$
3. 代入给定数值：
4. $$n = \frac{1.2 \times 10^{23}}{1.5 \times 10^{-6}} = 8.0 \times 10^{28} \text{ m}^{-3}$$

## 什么是漂移速度？

当导体两端没有施加电势差时，自由电子由于热能做高速无规则运动，沿导体方向的净位移为零。当施加电势差后，电场对电子施加力，使它们向一个方向加速。电子会不断与静止的金属晶格碰撞，损失能量并改变方向。这就导致电子沿导体方向有一个很小的平均净运动，称为漂移。

**漂移速度** — 漂移速度是电荷载流子沿导体、电场方向的平均净速度。

*记法:* $v$

**例题:** 解释为什么金属中的典型漂移速度远小于自由电子的瞬时速率。

1. 即使没有电流，自由电子也具有很高的瞬时无规则热运动速率（约 $10^6 \text{ m s}^{-1}$）。
2. 当施加电场后，电场只给无规则运动增加了一个很小的净方向分量，因为电子与晶格的频繁碰撞会不断终止、反转电子的加速过程。
3. 这种很小的净方向运动的平均值就是漂移速度，典型值约为 $10^{-4} \text{ m s}^{-1}$，远小于瞬时热运动速率。

> **考试提示:** 阅卷人经常考察漂移速度较小的原因解释。一定要提到无规则热运动以及与金属晶格的碰撞。

## $I = nAve$ 的推导与应用

**推导:** 推导出电流与漂移速度之间的关系式

*起点:* 电流的定义：$I = \frac{\Delta Q}{\Delta t}$

1. 考虑一根横截面积为 $A$ 的导体，电荷载流子数密度为 $n$，每个载流子电荷量为 $e$，漂移速度为 $v$。
2. 在时间 $\Delta t$ 内，电荷载流子移动的距离为 $v\Delta t$。这段时间内通过某一横截面的电荷体积为：
3. $$V = A v \Delta t$$
4. 该体积内的电荷载流子数量为 $nV = n A v \Delta t$，因此通过横截面的总电荷量为：
5. $$\Delta Q = e \times n A v \Delta t$$

*结论:* 代入 $I = \frac{\Delta Q}{\Delta t}$ 后约去 $\Delta t$，得到核心关系式：$I = n A v e$

**例题:** 一根直径为 2.0 mm 的铜线通有 3.0 A 的电流。自由电子数密度为 $8.0 \times 10^{28} \text{ m}^{-3}$，且 $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$。计算漂移速度。

1. 将直径转换为半径：$r = \frac{2.0 \text{ mm}}{2} = 1.0 \text{ mm} = 1.0 \times 10^{-3} \text{ m}$
2. 计算横截面积：
3. $$A = \pi r^2 = \pi (1.0 \times 10^{-3})^2 \approx 3.14 \times 10^{-6} \text{ m}^2$$
4. 将 $I = nAve$ 变形求解 $v$：
5. $$v = \frac{I}{n A e}$$
6. 代入数值：
7. $$v = \frac{3.0}{(8.0 \times 10^{28})(3.14 \times 10^{-6})(1.6 \times 10^{-19})} \approx 7.5 \times 10^{-5} \text{ m s}^{-1}$$

> **info**
>
> 对于相同的电流和横截面积，$v \propto \frac{1}{n}$。半导体的 $n$ 远小于金属，因此半导体中的漂移速度高得多。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 直接用直径代入面积公式，而没有先转换为半径
  - 原因: 这会导致计算出的面积是正确值的4倍，最终得到的漂移速度是正确值的1/4
  - 正确做法: 一定要将直径除以2得到半径，并将所有长度单位转换为米（国际单位制）
- **错误做法:** 混淆总电荷载流子数量和数密度
  - 原因: 数密度是单位体积内的数量，不是整个材料的总数量，混淆会导致结果的数量级错误
  - 正确做法: 检查单位：数密度的单位是 $\text{m}^{-3}$，这可以确认你使用的是正确物理量
- **错误做法:** 假设所有电荷载流子的电荷量都等于 $e$
  - 原因: 在电解质中，离子的电荷量可以是 $2e$、$3e$ 等，使用 $e$ 会得到错误的电流值
  - 正确做法: 检查题目给出的电荷载流子类型，将正确的单个载流子电荷量代入公式
- **错误做法:** 表述漂移速度就是导线中电子的运动速率
  - 原因: 这种说法忽略了电子高速的无规则热运动，这正是阅卷人考察的点
  - 正确做法: 一定要明确漂移速度是电场方向上的平均净速度

## 速查表

| 物理量 | 符号 | 单位 | 描述 |
| --- | --- | --- | --- |
| 数密度 | $n$ | $\text{m}^{-3}$ | 单位体积内的电荷载流子数量 |
| 横截面积 | $A$ | $\text{m}^2$ | 导体横截面的面积 |
| 漂移速度 | $v$ | $\text{m s}^{-1}$ | 电荷载流子的平均净速度 |
| 单个载流子电荷量 | $e$ | $\text{C}$ | 一个电荷载流子的电荷量 |
| 电流 | $I$ | $\text{A}$ | 电流 |
| 核心公式 | $I = nAve$ | - | 电流与漂移速度的关系式 |

## 下一步

电荷载流子和漂移速度是解释不同材料为何具有不同电阻率的基础概念，也是理解半导体工作原理的基础。该知识点在CIE 9702考试的选择题和结构化试题中都频繁考察，经常与电阻率计算结合。接下来，你将在此概念基础上学习电阻率和欧姆定律，之后再学习半导体器件和电流电学的其他应用。

- [电势差与电动势](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u9-potential-difference-and-e-m/)
- [电阻与电阻率](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u9-resistance-and-resistivity/)
- [电流-电压（I-V）特性曲线](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u9-i-v-characteristics/)

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