驻波

CIE A-Level 物理· 第8单元：波的叠加，主题2· 15 分钟阅读

1. 形成与核心特征★★☆☆☆⏱ 4 min

📘 定义

驻波（定波）

当两列频率、振幅均相同的行波沿同一介质向相反方向传播并叠加后，形成的不发生净能量传播的波

例:

两端固定的吉他弦的振动

当两列波叠加时，持续发生相消干涉的点称为波节（振幅为零），持续发生相长干涉的点称为波腹（振幅最大）。两个相邻波节之间的所有点都同相振动。

📐 例题

一根长度为1.2 m的弦线两端固定，形成驻波后两个固定端之间有3个波腹。弦线上总共有多少个波节？

1
弦线的固定端始终是波节，因此两端共有2个波节。
2
3个波腹之间，每对相邻波腹之间有2个额外的内部波节。
3
总波节数 = 2（两端） + 2（内部） = 总共4个波节

Exam tip:

请务必记住：弦线的固定端和空气管的闭端始终是波节；空气管的开端始终是波腹。

2. 波长与谐频计算★★★☆☆⏱ 5 min

所有驻波的一个核心关系是：两个相邻波节（或相邻波腹）之间的距离始终是 $\frac{λ}{2}$ 。波节与相邻波腹之间的距离是 $\frac{λ}{4}$ 。对于两端固定的弦线，弦长 $L$ 与波长的关系为：

L = \frac{n\lambda}{2}, \quad n = 1, 2, 3,...

$n$ 是谐频次数，其中 $n = 1$ 是一次（基频）谐频。

📐 例题

一根长度0.8 m的两端固定弦线以3次谐频振动，计算该驻波的波长。

1
对于两端固定的弦线，使用公式： $L = \frac{nλ}{2}$
2
代入 $L = 0.8$ m和 $n = 3$ ：
3
$\lambda = \frac{2L}{n} = \frac{2 \times 0.8}{3} = \frac{1.6}{3} \approx 0.53 \, \text{m}$

✓ 快速检测

测试你的理解：

波节与相邻下一个波腹之间的距离是多少？
- $λ /4$
- $λ /2$
- $λ$
- $3 λ /4$

3. 空气柱中的驻波★★★☆☆⏱ 5 min

✓ 计算器

声波在空气管两端反射形成驻波，常见两种情况：两端开口的开管和一端封闭一端开口的闭管，两种情况的端条件和波长关系不同。

两端开口：两端均为波腹， $L = \frac{nλ}{2}$ ， $n = 1, 2, 3...$ （所有整数）
一端封闭：闭端为波节，开端为波腹， $L = \frac{nλ}{4}$ ， $n = 1, 3, 5...$ （仅奇次谐频）

📐 例题

一根长度25 cm的闭管空气柱产生基频谐频，声速为340 m/s，计算该谐频的频率。

1
将长度转换为米： $25 cm = 0.25 m$
2
闭管的基频谐频： $n = 1$ ，因此 $L = \frac{λ}{4}$
3
整理得 $λ = 4 L = 4 \times 0.25 = 1 m$
4
使用波动方程 $v = f λ$ ，整理得 $f$ ：
5
$f = \frac{v}{\lambda} = \frac{340}{1} = 340 \, \text{Hz}$

Exam tip:

开始计算前，请务必确认空气柱是一端封闭还是两端开口，这是丢分的常见原因。

4. 驻波与行波对比★★☆☆☆⏱ 3 min

性质	驻波	行波
净能量传递	无净传递	传递能量
振幅	从波节处的0变化到波腹处的最大值	所有点振幅相同
相位	两个波节之间所有点同相	所有点相位不同
波长关系	$λ = 2 \times$ 波节间距	$λ =$ 相邻同相点之间的距离

📐 例题

说出相同频率下驻波和行波的两个区别，并说明驻波的净能量传递速率。

1
两个有效的区别是：(1) 驻波没有净能量传递，而行波沿介质传递能量。(2) 驻波的振幅沿传播方向变化，而行波的振幅恒定。
2
驻波的净能量传递速率为0 m/s，因为能量被束缚在各段的振动中。

5. 常见陷阱

错误做法:

误认为空气柱的开端是波节

原因:

将其与始终为波节的弦线固定端混淆

正确做法:

空气柱的开端允许空气最大幅度运动，因此始终是波腹

错误做法:

对闭管空气柱的基频谐频使用 $L = nλ /2$

原因:

忽略了闭端不同的边界条件

正确做法:

对一端封闭的空气柱使用 $L = nλ /4$ ，且n仅为奇数

错误做法:

认为波节间距等于一个完整波长 $λ$

原因:

混淆了行波和驻波的波长定义

正确做法:

两个相邻波节之间的距离是 $λ /2$ ，因此 $λ = 2 \times$ 波节间距

错误做法:

声称驻波完全没有能量

原因:

误读了'无净能量传递'的规则

正确做法:

能量储存在波的振动中；只是沿介质没有净能量传播

错误做法:

称驻波上所有点振幅相同

原因:

将驻波的性质与行波混淆

正确做法:

驻波上的振幅从波节处的零变化到波腹处的最大值

6. 速查表

介质类型	端条件	波长关系	允许谐频
两端固定弦线	两端均为波节	$L = \frac{nλ}{2}$	$n = 1, 2, 3...$
两端开口空气柱	两端均为波腹	$L = \frac{nλ}{2}$	$n = 1, 2, 3...$
一端封闭空气柱	闭端为波节，开端为波腹	$L = \frac{nλ}{4}$	$n = 1, 3, 5...$ （仅奇数）
相邻波节/波腹		距离 = $\frac{λ}{2}$
波节到相邻波腹		距离 = $\frac{λ}{4}$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · 12
数出驻波上的波节数量
2023 · 22
计算闭管空气柱的频率
2021 · 11
比较驻波和行波

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syllabusCIE 9702 A-Level 物理大纲

下一步

驻波是波叠加原理的核心应用，是所有乐器、共振和声系统工作原理的基础。它是CIE A-Level物理最常考的考点之一，会出现在选择题和结构化答题中，因此掌握边界条件和谐频关系对拿满分至关重要。接下来，我们将把叠加原理推广到二维，讲解干涉和衍射，这两个内容都直接建立在你这里学到的波叠加概念之上。