# 驻波

> CIE A-Level 物理 · 第8单元：波的叠加
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u8-stationary-waves/

本模块讲解了驻波如何由两列传播方向相反的全同行波叠加形成，你将学习识别驻波的关键特征，并解决弦线和空气柱的常见考试问题。

**先修:** [行波性质和波的叠加原理](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u8-progressive-waves/)

## 学习目标

- 解释驻波如何通过波的叠加形成
- 在不同介质中识别波节和波腹
- 根据谐频数据计算波长和频率
- 比较驻波和行波的性质
- 解决弦线、开管和闭管空气柱的相关问题

## 形成与核心特征

**驻波（定波）** — 当两列频率、振幅均相同的行波沿同一介质向相反方向传播并叠加后，形成的不发生净能量传播的波

*例:* 两端固定的吉他弦的振动

当两列波叠加时，持续发生相消干涉的点称为波节（振幅为零），持续发生相长干涉的点称为波腹（振幅最大）。两个相邻波节之间的所有点都同相振动。

**例题:** 一根长度为1.2 m的弦线两端固定，形成驻波后两个固定端之间有3个波腹。弦线上总共有多少个波节？

1. 弦线的固定端始终是波节，因此两端共有2个波节。
2. 3个波腹之间，每对相邻波腹之间有2个额外的内部波节。
3. 总波节数 = 2（两端） + 2（内部） = 总共4个波节

> **考试提示:** 请务必记住：弦线的固定端和空气管的闭端始终是波节；空气管的开端始终是波腹。

## 波长与谐频计算

所有驻波的一个核心关系是：两个相邻波节（或相邻波腹）之间的距离始终是$\frac{\lambda}{2}$。波节与相邻波腹之间的距离是$\frac{\lambda}{4}$。对于两端固定的弦线，弦长$L$与波长的关系为：

$$L = \frac{n\lambda}{2}, \quad n = 1, 2, 3,...$$

$n$是谐频次数，其中$n=1$是一次（基频）谐频。

**例题:** 一根长度0.8 m的两端固定弦线以3次谐频振动，计算该驻波的波长。

1. 对于两端固定的弦线，使用公式：$L = \frac{n\lambda}{2}$
2. 代入$L=0.8$ m和$n=3$：
3. $$\lambda = \frac{2L}{n} = \frac{2 \times 0.8}{3} = \frac{1.6}{3} \approx 0.53 \, \text{m}$$

**概念自测**

测试你的理解：

1. 波节与相邻下一个波腹之间的距离是多少？

   - $\lambda/4$
   - $\lambda/2$
   - $\lambda$
   - $3\lambda/4$

   *答案:* $\lambda/4$

   *解析:* 相邻波节间距为$\lambda/2$，因此波节与相邻波腹之间的距离为该值的一半，即$\lambda/4$。

## 空气柱中的驻波

声波在空气管两端反射形成驻波，常见两种情况：两端开口的开管和一端封闭一端开口的闭管，两种情况的端条件和波长关系不同。

- 两端开口：两端均为波腹，$L = \frac{n\lambda}{2}$，$n=1,2,3...$（所有整数）
- 一端封闭：闭端为波节，开端为波腹，$L = \frac{n\lambda}{4}$，$n=1,3,5...$（仅奇次谐频）

**例题:** 一根长度25 cm的闭管空气柱产生基频谐频，声速为340 m/s，计算该谐频的频率。

1. 将长度转换为米：$25 \, \text{cm} = 0.25 \, \text{m}$
2. 闭管的基频谐频：$n=1$，因此$L = \frac{\lambda}{4}$
3. 整理得$\lambda = 4L = 4 \times 0.25 = 1 \, \text{m}$
4. 使用波动方程$v = f\lambda$，整理得$f$：
5. $$f = \frac{v}{\lambda} = \frac{340}{1} = 340 \, \text{Hz}$$

> **考试提示:** 开始计算前，请务必确认空气柱是一端封闭还是两端开口，这是丢分的常见原因。

*计算器:* allowed

## 驻波与行波对比

| 性质 | 驻波 | 行波 |
| --- | --- | --- |
| 净能量传递 | 无净传递 | 传递能量 |
| 振幅 | 从波节处的0变化到波腹处的最大值 | 所有点振幅相同 |
| 相位 | 两个波节之间所有点同相 | 所有点相位不同 |
| 波长关系 | $\lambda = 2 \times$ 波节间距 | $\lambda = $ 相邻同相点之间的距离 |

**例题:** 说出相同频率下驻波和行波的两个区别，并说明驻波的净能量传递速率。

1. 两个有效的区别是：(1) 驻波没有净能量传递，而行波沿介质传递能量。(2) 驻波的振幅沿传播方向变化，而行波的振幅恒定。
2. 驻波的净能量传递速率为0 m/s，因为能量被束缚在各段的振动中。

## 常见错误

- **错误做法:** 误认为空气柱的开端是波节
  - 原因: 将其与始终为波节的弦线固定端混淆
  - 正确做法: 空气柱的开端允许空气最大幅度运动，因此始终是波腹
- **错误做法:** 对闭管空气柱的基频谐频使用$L = n\lambda/2$
  - 原因: 忽略了闭端不同的边界条件
  - 正确做法: 对一端封闭的空气柱使用$L = n\lambda/4$，且n仅为奇数
- **错误做法:** 认为波节间距等于一个完整波长$\lambda$
  - 原因: 混淆了行波和驻波的波长定义
  - 正确做法: 两个相邻波节之间的距离是$\lambda/2$，因此$\lambda = 2 \times$ 波节间距
- **错误做法:** 声称驻波完全没有能量
  - 原因: 误读了'无净能量传递'的规则
  - 正确做法: 能量储存在波的振动中；只是沿介质没有净能量传播
- **错误做法:** 称驻波上所有点振幅相同
  - 原因: 将驻波的性质与行波混淆
  - 正确做法: 驻波上的振幅从波节处的零变化到波腹处的最大值

## 速查表

| 介质类型 | 端条件 | 波长关系 | 允许谐频 |
| --- | --- | --- | --- |
| 两端固定弦线 | 两端均为波节 | $L = \frac{n\lambda}{2}$ | $n = 1, 2, 3...$ |
| 两端开口空气柱 | 两端均为波腹 | $L = \frac{n\lambda}{2}$ | $n = 1, 2, 3...$ |
| 一端封闭空气柱 | 闭端为波节，开端为波腹 | $L = \frac{n\lambda}{4}$ | $n = 1, 3, 5...$（仅奇数） |
| 相邻波节/波腹 | - | 距离 = $\frac{\lambda}{2}$ | - |
| 波节到相邻波腹 | - | 距离 = $\frac{\lambda}{4}$ | - |

## 下一步

驻波是波叠加原理的核心应用，是所有乐器、共振和声系统工作原理的基础。它是CIE A-Level物理最常考的考点之一，会出现在选择题和结构化答题中，因此掌握边界条件和谐频关系对拿满分至关重要。接下来，我们将把叠加原理推广到二维，讲解干涉和衍射，这两个内容都直接建立在你这里学到的波叠加概念之上。

- [干涉](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u8-interference/)
- [衍射](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u8-diffraction/)
- [杨氏双缝干涉实验](https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u8-young-s-double-slit-experiment/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/cie-9702-u8-stationary-waves/