衍射

CIE A-Level 物理· 第8单元：叠加，主题5：衍射· 15 分钟阅读

1. 1. 什么是衍射？★☆☆☆☆⏱ 3 min

📘 定义

衍射

波穿过孔径或绕过障碍物时发生的弯曲或扩散现象，所有类型的波都会发生衍射。

例:

声波在门口发生衍射，让你能听到另一个房间的声音。

衍射效应最显著的时候，是孔径或障碍物的尺寸与入射波的波长近似相等（相近）时。

📐 例题

海港墙开了一个宽度 1 m 的缺口，以下哪种波衍射程度最大：无线电波 ( $λ = 100$ m), 声波 ( $λ = 1$ m), 可见光 ( $λ = 5 \times 1 0^{- 7}$ m)?

1
记住：当孔径宽度与波的波长近似相等时，衍射效应最显著。
2
将每种波长与 1 m 的缺口进行比较：
3
$100 \text{ m} \gg 1 \text{ m}, \quad 1 \text{ m} \approx 1 \text{ m}, \quad 5 \times 10^{-7} \text{ m} \ll 1 \text{ m}$
4
声波的波长最接近孔径宽度，因此它们衍射程度最大。

2. 2. 单缝衍射公式★★☆☆☆⏱ 5 min

当单色光穿过狭窄单缝投射到远处的光屏上时，会形成衍射图样：中间是宽而亮的中央主极大，两侧是更暗、更窄的次级极大，极大之间由暗的极小值（强度为零）隔开。

📘 定义

第n级极小值

距离图样中心的第n个强度为零的点，第一极小值的位置决定了中央主极大的宽度。

第n级极小值的角位置由以下公式给出：

a \sin\theta = n \lambda

Where $a$ = 缝宽， $θ$ = 从中央线到第n级极小值的角度， $n = 1, 2, 3...$ = 极小值的级数， $λ$ = 入射光的波长。对于小角度（当光屏距离很远时）， $sin θ \approx \frac{y}{D}$ ，因此公式可近似为：

a y = n \lambda D

此处， $y$ = 第n级极小值到图样中心的距离， $D$ = 单缝到光屏的距离。

📐 例题

宽度为 0.1 mm 的单缝被波长 650 nm 的红光照射，光屏放置在距离单缝 2.0 m 处，计算中央主极大到第一级极小值的距离。

1
将所有值转换为国际单位制：
2
$a = 0.1 \text{ mm} = 1 \times 10^{-4} \text{ m}, \quad \lambda = 650 \text{ nm} = 6.5 \times 10^{-7} \text{ m}, \quad D = 2.0 \text{ m}, \quad n = 1$
3
整理小角度公式得到 $y$ ：
4
$y = \frac{n \lambda D}{a}$
5
代入数值：
6
$y = \frac{1 \times 6.5 \times 10^{-7} \times 2.0}{1 \times 10^{-4}} = 1.3 \times 10^{-2} \text{ m} = 13 \text{ mm}$
7
最终答案：距离为 13 mm（或 0.013 m）

3. 3. 缝宽和波长变化的影响★★☆☆☆⏱ 4 min

中央主极大的宽度 $W$ 是中心到第一极小值（ $n = 1$ ）距离的两倍，因此从小角度公式可得：

W = \frac{2 \lambda D}{a}

如果缝宽 $a$ 减小： $W$ 增大，中央主极大变宽，所有极大间距变大，由于穿过的光更少，总强度降低。
如果缝宽 $a$ 增大： $W$ 减小，中央主极大变窄，所有极大间距变小，总强度升高。
如果波长 $λ$ 增大： $W$ 增大，因此相同缝宽下红光产生的衍射图样比蓝光更宽。
如果波长 $λ$ 减小： $W$ 减小，中央主极大变窄。

📐 例题

波长 450 nm 的蓝光在光屏上产生宽度为 10 cm 的中央主极大。如果缝宽减半、波长加倍，新的中央主极大宽度是多少？

1
We know that $W \propto \frac{λ}{a}$ from the formula $W = \frac{2 λ D}{a}$ .
2
New values: $λ^{'} = 2 λ$ , $a^{'} = \frac{a}{2}$
3
$W' = \frac{2 \lambda' D}{a'} = \frac{2 (2\lambda) D}{a/2} = 4 \times \frac{2 \lambda D}{a} = 4W$
4
Original $W = 10$ cm, so new $W^{'} = 4 \times 10 = 40$ cm

4. 4. 强度分布★★★☆☆⏱ 3 min

远离中心方向，极大的强度迅速下降，相对强度如下表所示：

极大位置	相对强度
中央主极大	100%
第一级次级极大	~4%
第二级次级极大	~1.6%

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测试你的理解

以下哪种变化会增大中央主极大的宽度？
- 减小缝宽
- 减小波长
- 增大缝宽
- 增大单缝到光屏的距离
显示答案
[ "减小缝宽", "增大单缝到光屏的距离" ] —
From $W = \frac{2 λ D}{a}$ , width increases when $D$ increases or $a$ decreases. Correct answer is the two options above.

5. 常见陷阱

错误做法:

将单缝公式与双缝公式混淆

原因:

两者都含有 $nλ$ ，但描述不同现象，变量含义也不同

正确做法:

记住： $a sin θ = nλ$ = 单缝极小值公式， $d sin θ = nλ$ = 双缝/光栅极大值公式

错误做法:

计算时保留波长单位为nm或缝宽单位为mm

原因:

这会导致结果差几个数量级

正确做法:

代入前始终将所有长度转换为国际单位制（米）

错误做法:

认为只有孔径尺寸等于波长时才会发生衍射

原因:

所有孔径尺寸下都会发生衍射，只是当孔径尺寸与波长相近时衍射最显著

正确做法:

当孔径尺寸与波长在同一个数量级内时，衍射效应显著

错误做法:

认为增大缝宽会增强衍射

原因:

更宽的孔径产生的衍射更少，更窄的孔径产生的衍射更多

正确做法:

缝宽越小，衍射图样越宽，意味着衍射效应越强

错误做法:

使用 $a sin θ = nλ$ 计算极大位置

原因:

该公式只给出极小值位置，不是极大值

正确做法:

极大值近似位于相邻两个极小值的中点，需要时可通过极小位置计算得到

6. 速查表

关系	公式	注释
衍射最显著	$a \approx λ$	孔径宽度与波长相近
第n级极小位置	$a sin θ = nλ$	$n = 1, 2, 3...$
小角度近似	$y = \frac{nλ D}{a}$	$y$ = 到极小的距离， $D$ = 单缝到光屏距离
中央主极大宽度	$W = \frac{2 λ D}{a}$	是到第一极小距离的两倍
减小缝宽 $a$	$W \propto \frac{1}{a}$	W 增大，强度降低
增大波长 $λ$	$W \propto λ$	W 增大

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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单缝衍射计算
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下一步

衍射是波的基本性质，是叠加模块后续主题的基础，最重要的就是衍射光栅，这是CIE A-Level物理考试中非常常见的考点。理解单缝衍射也能帮助你区分衍射效应和多缝干涉，这是选择题中常见的易错点。衍射原理也用于涉及波粒二象性的主题，因此掌握本子主题有助于你学习大纲中后续内容。